Dependência Linear e Wronskiano

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Indique a única res posta correta de α que torna linearmente dependentes (LD) as soluções f 1 ( x ) = e α x   e   f 2 ( x ) = e - α x de uma ED, onde α é uma constante.

( )   α = - 1

( )   α = 1

( ) α = 2

( ) α = - 2

( ) α = 0

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Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que as funções f 1 ( x ) e f 2 ( x ) sejam linearmente dependentes, ou seja,

c 1 f 1 x = f 2 ( x )

Onde c 1 é uma constante qualquer. Aí vai ficar assim:

c 1 e α x = e - α x

Bom, para isso acontecer, temos que c 1 = 1 e temos que α = - α

Olha, só temos um caso em que é possível termos essa última condição, que é quando α = 0

Resposta

α = 0

Exercício Resolvido #2

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 15

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 , f 3 x = 4 x - x 2

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Passo 1

Perceba que f 3 ( x ) tem muita cara de ser uma combinação linear de f 1 ( x ) e f 2 ( x ) . Portanto vamos tentar colocar as funções na forma:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x + k 3 f 3 x = 0  

Com pelo menos uma das 3 constantes diferentes de zero.

Temos então:

k 1 x + k 2 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0   ( i )

Ajeitando temos:

k 1 x + k 2 x 2 = - 4 k 3 x + k 3 x 2

Do termo elevado ao quadrado temos:

k 2 = k 3

Do termo de expoente 1:

k 1 = - 4 k 3

Passo 2

Agora vamos substituir as constantes na equação ( i ) :

- 4 k 3 x + k 3 x 2 + 4 k 3 x - k 3 x 2 = 0

Fica:

0 = 0

Portanto provamos que f 1 x ,   f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são linearmente dependentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente dependentes.

Exercício Resolvido #3

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 20

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 x = 2 + x ,   f 2 x = 2 + | x |

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Passo 1

Para que f 1 ( x ) e f 2 ( x ) sejam linearmente dependentes, temos de ter:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Para todo x   ∈ ( - ∞ , ∞ ) , com pelo menos uma das constantes diferente de zero.

Ou seja:

k 1 f 1 x + k 2 f 2 x = 0

Tem que ser satisfeita para x   ∈ ( - ∞ , 0 ) , que é o mesmo que x < 0 , e para x   ∈ ( 0 , ∞ ) , que é mesmo que x > 0 .

Passo 2

Vamos analisar a situação x < 0 :

Para x < 0 , f 2 x = 2 - x , então temos:

k 1 2 + x + k 2 2 - x = 0

Fica:

2 k 1 + k 1 x + 2 k 2 - k 2 x = 0

Ajeitando:

2 k 1 + k 1 x = - 2 k 2 + k 2 x

Igualando o termo constante do lado esquerdo com o do lado direito temos:

2 k 1 = - 2 k 2

A única possibilidade é:

k 1 = k 2 = 0

O que não satisfaz as condições para dependência linear pois para isso seria necessário que pelo menos uma das constantes fosse diferente de zero.

Logo, f 1 ( x ) e f 2 ( x ) são linearmente independentes em ( -   ∞ , ∞ )

Resposta

f 1 e   f 2 são Linearmente independentes.

Exercício Resolvido #4

EDO de 2ª Ordem Homogênea

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

Todas as soluções da equação diferencial

t 2 y ' ' - 2 y = 0 ,   t > 0

São dadas pela fórmula y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1 , onde C 1 e C 2 são constantes.

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Passo 1

Vamos começar vendo se t 2 é solução

y 1 t = t 2

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

Substituindo na equação

t 2 2 - 2 t 2 = 2 t 2 - 2 t 2 = 0

Beleza ele é solução.

Vamos ver se t - 1 também vai ser

y 2 t = t - 1

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Substituindo na equação

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.

Passo 2

Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.

O Wroskiano é o determinante abaixo

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W = t 2 t - 1 2 t - t - 2 = t 2 - t - 2 - 2 t t - 1 = - 1 - 2 = - 3 ≠ 0

Como ele é diferente de 0 essas duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser

y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1

Logo essa afirmação é verdadeira

Resposta

Exercício Resolvido #5

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 164 - 21

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo - ∞ , ∞

f 1 ( x ) = 1 + x ,   f 2 ( x ) = x , f 3 ( x ) = x 2

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Passo 1

Observando as funções dadas no problema, não tem nenhuma que, de cara, podemos desconfiar que seja combinação linear das outras. Logo, para verificar a independência linear, vamos ter de calcular o Wronskiano das funções.

Passo 2

Vimos na teoria como calcular o Wronskiano de duas funções. Para calcular o Wronskiano de 3 funções vamos ter:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 "

Portanto vamos começar calculando as derivadas:

Para f 1 ( x )

f 1 x = 1 + x

f 1 ' x = 1

f 1 " ( x ) = 0

Para f 2 ( x )

f 2 x = x

f 2 ' x = 1

f 2 " ( x ) = 0

Para f 3 ( x )

f 3 x = x 2

f 3 ' x = 2 x

f 3 " ( x ) = 2

Perceba que f 1 x , f 2 ( x ) e f 3 ( x ) são diferenciáveis n vezes no intervalo ( - ∞ , ∞ )

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano agora:

W f 1 , f 2 , f 3 = f 1 f 2 f 3 f ' 1 f 2 ' f 3 ' f 1 " f 2 " f 3 " = 1 + x x x 2 1 1 2 x 0 0 2 =

1 + x 2 -   0 - x 2 - 0 + x 2 0 - 0 = 2 + 2 x - 2 x + 0 = 2

Passo 4

Pelo teorema que estudamos, como o Wronskiano nunca se anula no intervalo I = ( - ∞ , ∞ )

Podemos afirmar que f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Resposta

f 1 ,   f 2 e f 3 são Linearmente Independentes.

Exercício Resolvido #6

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Passo 1

Para determinar a relação de dependência entre as funções, precisamos calcular o wronskiano. Para isso, precisamos determinar as derivadas.

f 1 = 2 x - 3 ;     f 2 = x 2 + 1 ;     f 3 = 2 x 2 - x

Derivando

f 1 ' = 2 ;     f 2 ' = 2 x ;       f 3 ' = 4 x - 1

f 1 ' ' = 0 ;       f 2 ' ' = 2 ;       f 3 ' ' = 4

Então, o wronskiano será:

W 2 x - 3 , x 2 + 1 ; 2 x 2 - x = 2 x - 3 x 2 + 1 2 x 2 - x 2 2 x 4 x - 1 0 2 4

Passo 2

Calculando o wronskiano

W = 2 x - 3 2 x 4 + 2 x 2 - x 2 2 - 2 x - 3 4 x - 1 2 - ( x 2 + 1 ) ( 2 ) ( 4 )

W = 16 x 2 - 24 x + 8 x 2 - 4 x - 2 8 x 2 - 12 x - 2 x + 3 - 8 x 2 - 8

W = 16 x 2 - 24 x + 8 x 2 - 4 x - 16 x 2 + 28 x - 6 - 8 x 2 - 8

W = - 14

W ≠ 0

O wronskiano é diferente de 0. Logo, as funções são linearmente independentes.

Resposta