EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)
Teoria
Módulo 2
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
Vamos seguir o passo a passo que a gente estudou. Nosso objetivo é encontrar:
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea. Como a nossa equação é:
Pra achar a solução homogênea, temos que fazer:
Passo 2
Desenvolvendo, temos:
Temos então duas raízes reais, então a solução homogênea é da forma:
A solução homogênea nesse caso então é:
Passo 3
Vamos partir agora para a solução particular , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela nosso chute vai ser dessa forma aqui:
Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:
Passo 4
Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais, e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:
Passo 5
Agora temos que substituir essas derivadas na equação. Teremos, então:
No lugar de a gente vai colocar e no lugar de a gente vai colocar :
Passo 6
Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:
Como não há a função seno do lado direito da equação:
Então substituindo aqui:
Passo 7
Assim, a solução geral é:
Porém encontramos:
Então fica:
E prontinho! EDO resolvida😊
Resposta
Exercício Resolvido #2
EDO de 2ª Ordem não Homogênea
Determine a solução geral da equação diferencial:
Com as seguintes condições iniciais
e .
Passo 1
Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea. Como temos:
Vamos encontrar:
Passo 2
Aplicando a fórmula de Bháskara:
E sendo que no nosso caso temos: , vamos ter:
Beleza, encontramos esses valores para ! Assim, como temos suas raízes reais, nossa solução homogênea é da forma:
Passo 3
Vamos ver a solução particular agora! Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com . Então vamos chutar que nossa solução tem essa forma aqui:
Passo 4
Agora temos que comparar e . Veja que está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: (porque são constantes).
Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por até que ela fique diferente
Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.
Vamos achar as derivadas, aqui a gente vai ter que usar a regra do produto:
Sendo que aqui: e :
Derivando de novo:
Passo 5
Agora vamos substituir a solução particular e suas derivadas na EDO. Teremos, então:
Como do lado de lá só temos , pegamos o termo que tem só do lado de cá e igualamos:
Devemos ter
A solução particular então é:
Passo 6
E como a solução geral é:
A nossa vai ser:
Passo 7
Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos para resolver o PVI.
Colocando em , temos:
Como :
Passo 8
Agora, vejamos o . Para isso, precisamos derivar , o que nos dá:
Colocando , teremos:
Passo 9
Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:
Fazendo a de baixo menos a de cima, temos:
Substituindo esse valor para na primeira equação, temos:
Colocando esses dois valores na equação de , teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 15
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
A solução é:
Temos duas raízes reais e diferentes, e a solução é:
Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , uma constante, e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma constante vezes :
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é e não faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim uma possível solução vai ser uma função de primeiro grau multiplicando uma exponencial:
Passo 5
E a solução tentativa vai ser a soma das duas:
Por enquanto é isso pessoal, essa é a solução tentativa😊
Vamos pra próxima?
Resposta
Exercício Resolvido #4
James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 6ª edição americana. Capítulo 17 Seção 2 Problema 18
Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a soma da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
As raízes são complexas do tipo a solução é:
Beleza? Aqui temos e . Vamos substituir os valores encontrados?
Show! Essa é a solução homogênea! Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
A função é , uma exponencial, e não faz parte da solução da equação homogênea, então uma possível solução vai ser:
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é . então nossa tentativa seria da forma:
Mas essa solução faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim devemos multiplicar por uma possível solução tentativa:
Perceba que a possível solução é a multiplicação entre um polinômio e a parte trigonométrica, visto que buscamos a solução para
Passo 5
E a solução tentativa vai ser a soma das duas:
Veja que o problema não pediu pra resolver, só para escrever a solução tentativa, que é essa aí😊
Por enquanto é isso pessoal😉
Resposta
Exercício Resolvido #5
EDO de 2ª ordem não homogênea
Determine a solução geral:
Passo 1
Opa! Bora ver mais essa?
A solução geral é dada pela soma entre a solução homogênea e a solução particular:
Bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro para determinar a homogênea:
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Bháskara aqui:
Onde na nossa , temos :
Assim:
Temos então raízes complexas, e a solução vai ser da forma:
Onde a raiz complexa é: .
Assim a solução da homogênea então é dada por:
Passo 3
Beleza, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!
Perceba que aqui temos uma função exponencial somada a uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:
Beleza, esse é o nosso chute para a solução particular, sendo que são coeficientes constantes que a gente vai achar.
Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.
Passo 4
Agora derivando a solução particular:
Substituindo isso na EDO:
Juntando os coeficientes dos termos de mesmo grau:
Passo 5
Agora vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado:
Substituindo isso na solução particular que encontramos:
Passo 6
E como a solução geral é dada por:
Temos:
E pronto! Encerramos mais essa😊