EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Com as seguintes condições iniciais

y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

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Passo 1

a) Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 4 r + 3 = 0

r = - - 4 ± - 4 2 - 4.1 . 3 2

r = 4 ± 16 - 12 2

r = 4 ± 4 2

r = 4 ± 2 2

r = 1 ,     o u ,     r = 3

Beleza, encontramos esses valores para r ! Assim, como o Δ foi maior do que 0 , a solução homogênea é:

y h x = C 1 e 1 . x + C 2 e 3 . x

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com d = 1 . Pela nossa tabelinha devemos fazer

y p x = A e x

Passo 3

Agora temos que comparar y h ( x ) e y p ( x ) . Veja que y p ( x ) está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: C 2 e x . Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por x até que ela fique diferente

y p x = A x e x

Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.

Vamos achar as derivadas

y p ' x = A e x + A x e x

y p ' ' x = A e x + A e x + A x e x = 2 A e x + A x e x

Passo 4

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x + A x e x + 3 A x e x = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x - 4 A x e x + 3 A x e x = 3 e x

- 2 A e x = 3 e x

Devemos ter

A = - 3 2

Assim, a solução geral é:

y x = C 1 e x + C 2 e 3 x - 3 2 x e x

Passo 5

b) Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos! Colocando 0 em y x , temos:

y 0 = C 1 e 0 + C 2 e 3.0 - 3 2 0 e 0 = 1

C 1 + C 2 = 1

Passo 6

Agora, vejamos o y ' 0 . Para isso, precisamos derivar y x , o que nos dá:

y ' x = C 1 e x + 3 C 2 e 3 x - 3 2 e x - 3 2 x e x

Colocando x = 0 , teremos:

y ' 0 = C 1 e 0 + 3 C 2 e 3.0 - 3 2 e 0 - 3 2 . 0 e 0

C 1 + 3 C 2 - 3 2 = 0

Passo 7

Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:

C 1 + C 2 = 1 C 1 + 3 C 2 = 3 2

Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:

2 C 2 = 1 2

C 2 = 1 4

Substituindo esse valor para C 2 na primeira equação, temos:

C 1 + 1 4 = 1

C 1 = 3 4

Colocando esses dois valores na equação de y x , teremos:

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Resposta

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

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Passo 1

Vamos seguir o passo a passo. Nosso objetivo é encontrar:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea:

r 2 - 9 = 0

r + 3 r - 3 = 0

r 1 = - 3 , r 2 = 3

A solução homogênea é:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

Passo 2

Partamos agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela tabelinha nosso chute vai ser:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:

y p ' x = - 3 A s e n 3 x + 3 B c o s ( 3 x ) y p ' ' ( x ) = - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n ( 3 x )

Passo 3

Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:

y p x = A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x

Passo 4

Agora temos que colocar essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 9 y = c o s ⁡ ( 3 x )

- 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x = c o s ⁡ ( 3 x )

- 18 A c o s 3 x - 18 B s e n 3 x = c o s ⁡ ( 3 x )

Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:

- 18 A = 1

A = - 1 18

Como não há a função seno do lado direito da equação:

B = 0

Então temos:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Passo 5

Assim, a solução geral é:

y x = y h x + y p x

Porém encontramos:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Então fica:

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

Resposta

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

Exercício Resolvido #3

EDO de 2ª ordem não homogênea

Determine a solução geral:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

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Passo 1

Bem bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro:

r 2 + r + 1 = 0

∆ = 1 2 - 4.1 . 1 = - 3

Assim:

r 1,2 = - 1 ± - 3 2 = - 1 2 ± i 3 2

Assim a solução da homogênea é dada por:

y h = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x  

Passo 2

Beleza clã, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!Então simbora:

Perceba que a que temos uma função exponencial e uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:

y P 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e x

y p = A x 2 + B x + C + D e x

Passo 3

Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.

Passo 4

Agora derivando:

y p ' = 2 A x + B + D e x

y p ' ' = 2 A + D e x

Substituindo esses paranauês loucos na EDO:

2 A + D e x + 2 A x + B + D e x + A x 2 + B x + C + D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Juntando os coeficientes:

A x 2 + 2 A + B x + 2 A + B + C + 3 D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x