EDOs Não-Homogêneas (Exponencias e Trigonométricas)

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Teoria

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:

y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos seguir o passo a passo que a gente estudou. Nosso objetivo é encontrar:

y x = y h x + y p x

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea. Como a nossa equação é: y ' ' - 9 y = cos ⁡ 3 x

Pra achar a solução homogênea, temos que fazer:

r 2 - 9 = 0

Passo 2

Desenvolvendo, temos:

r + 3 r - 3 = 0

r 1 = - 3 , r 2 = 3

Temos então duas raízes reais, então a solução homogênea é da forma:

y x = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

A solução homogênea nesse caso então é:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

Passo 3

Vamos partir agora para a solução particular y p x , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma trigonométrica, então pela nosso chute vai ser dessa forma aqui:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:

y p ' x =   - A sen ⁡ 3 x ⋅ 3 + B c o s   3 x ⋅ 3           ( r e g r a   d a   c a d e i a )

y p ' ' = - A c o s   3 x ⋅ 3 ⋅ 3 + B cos ⁡ 3 x ⋅ 3 ⋅ 3

y p ' x = - 3 A s e n 3 x + 3 B c o s ( 3 x ) y p ' ' ( x ) = - 9 A c o s 3 x - 9 B s e n ( 3 x )

Passo 4

Agora temos que comparar a particular com a homogênea. Bem a homogênea envolve exponenciais, e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:

y p x = A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x

Passo 5

Agora temos que substituir essas derivadas na equação. Teremos, então:

y ' ' - 9 y = c o s ⁡ ( 3 x )

No lugar de y ' ' a gente vai colocar y p ' ' e no lugar de y a gente vai colocar y p :

- 9 A c o s 3 x - 9 B s e n 3 x - 9 ( A c o s 3 x + B s e n 3 x ) = c o s ⁡ ( 3 x )

- 9 A c o s   3 x - 9 B s e n   3 x - 9 A cos ⁡ 3 x - 9 B sen ⁡ 3 x = cos ⁡ 3 x

- 18 A c o s 3 x - 18 B s e n 3 x = c o s ⁡ ( 3 x )

Passo 6

Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:

- 18 A cos ⁡ 3 x = cos ⁡ ( 3 x )

- 18 A = 1

A = - 1 18

Como não há a função seno do lado direito da equação:

- 18 B s e n 3 x = 0

B = 0

Então substituindo aqui:

y p x = A c o s 3 x + B s e n ( 3 x )

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Passo 7

Assim, a solução geral é:

y x = y h x + y p x

Porém encontramos:

y h x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x

y p x = - 1 18 c o s 3 x

Então fica:

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

E prontinho! EDO resolvida😊

Resposta

y x = C 1 e - 3 . x + C 2 e 3 . x - 1 18 c o s 3 x

Exercício Resolvido #2

Determine a solução geral da equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Com as seguintes condições iniciais

y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

Passo 1

Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Basta a gente seguir o passo a passo que não tem o que dar errado! Nossa solução deve ser a forma:

y x = y h x + y p x

Onde y h é a solução homogênea, e y p é a solução particular.

Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa a equação homogênea. Como temos: y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

Vamos encontrar:

r 2 - 4 r + 3 = 0

Passo 2

Aplicando a fórmula de Bháskara:

x = - b ± √ ( b 2 - 4 a c ) 2 a

E sendo que no nosso caso temos: a = 1 ,   b = - 4   e   c = 3 , vamos ter:

r = - - 4 ± - 4 2 - 4.1 . 3 2

r = 4 ± 16 - 12 2

r = 4 ± 4 2

r = 4 ± 2 2

r 1 = 1 ,     e         r 2 = 3

Beleza, encontramos esses valores para r ! Assim, como temos suas raízes reais, nossa solução homogênea é da forma:

y x = C 1 e r 1 . x + C 2 e r 2 . x

y h x = C 1 e 1 . x + C 2 e 3 . x

Passo 3

Vamos ver a solução particular agora! Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com d = 1 . Então vamos chutar que nossa solução tem essa forma aqui:

y p x = A e x

Passo 4

Agora temos que comparar y h ( x ) e y p ( x ) . Veja que y p ( x ) está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: C 2 e x (porque A   e   C 2 são constantes).

Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por x até que ela fique diferente

y p x = A x e x

Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.

Vamos achar as derivadas, aqui a gente vai ter que usar a regra do produto:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Sendo que aqui: f = A x → f ' = A e g = e x → g ' = e x :

y p ' x = A e x + A x e x

Derivando de novo:

y p ' ' x = A e x + A e x + A x e x

= 2 A e x + A x e x

Passo 5

Agora vamos substituir a solução particular e suas derivadas na EDO. Teremos, então:

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x + A x e x + 3 A x e x = 3 e x

2 A e x + A x e x - 4 A e x - 4 A x e x + 3 A x e x = 3 e x

Como do lado de lá só temos e x , pegamos o termo que tem só e x do lado de cá e igualamos:

- 2 A e x = 3 e x

Devemos ter

A = - 3 2

A solução particular então é:

y p = - 3 2 x e x

Passo 6

E como a solução geral é: y x = y h x + y p x

A nossa vai ser:

y x = C 1 e x + C 2 e 3 x - 3 2 x e x

Passo 7

Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos para resolver o PVI.

Colocando 0 em y x , temos:

y 0 = C 1 e 0 + C 2 e 3.0 - 3 2 0 e 0 = 1

Como e 0 = 1 :

C 1 + C 2 = 1

Passo 8

Agora, vejamos o y ' 0 . Para isso, precisamos derivar y x , o que nos dá:

y ' x = C 1 e x + 3 C 2 e 3 x - 3 2 e x - 3 2 x e x

Colocando x = 0 , teremos:

y ' 0 = C 1 e 0 + 3 C 2 e 3.0 - 3 2 e 0 - 3 2 . 0 e 0

C 1 + 3 C 2 - 3 2 = 0

Passo 9

Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:

C 1 + C 2 = 1 C 1 + 3 C 2 = 3 2

Fazendo a de baixo menos a de cima, temos:

2 C 2 = 1 2

C 2 = 1 4

Substituindo esse valor para C 2 na primeira equação, temos:

C 1 + 1 4 = 1

C 1 = 1 - 1 4

C 1 = 4 4 - 1 4

C 1 = 3 4

Colocando esses dois valores na equação de y x , teremos:

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Resposta

y x = 3 4 e x + 1 4 e 3 x - 3 2 x e x

Exercício Resolvido #3

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 9 y ' = 1 + x e 9 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 9 y ' = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 9 k = 0

A solução é:

k k + 9 = 0

k 1 = 0 ,         k 2 = - 9

Temos duas raízes reais e diferentes, e a solução é:

y x = C 1 e - 9 x + C 2 e 0

y x = C 1 e - 9 x + C 2

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G 1 x é G 1 x = 1 , uma constante, e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma constante vezes x :

y p 1 x = A x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x e 9 x e não faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim uma possível solução vai ser uma função de primeiro grau multiplicando uma exponencial:

y p 2 x = B x + C e 9 x

Passo 5

E a solução tentativa vai ser a soma das duas:

y p = y p 1 + y p 2

y p = A x + B x + C e 9 x

Por enquanto é isso pessoal, essa é a solução tentativa😊

Vamos pra próxima?

Resposta

y p = A x + B x + C e 9 x

Exercício Resolvido #4

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 4 y = e 3 x + x s e n ( 2 x )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a soma da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 4 y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 4 = 0

k 2 = - 4

k = ± - 4

k = ± 2 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui temos α = 0 e β = 2 . Vamos substituir os valores encontrados?

y h x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

Show! Essa é a solução homogênea! Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.

A função G 1 x é G 1 x = e 3 x , uma exponencial, e não faz parte da solução da equação homogênea, então uma possível solução vai ser:

y p 1 x = A e 3 x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x s e n ( 2 x ) . então nossa tentativa seria da forma:

y p 2 = B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Mas essa solução faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim devemos multiplicar por x uma possível solução tentativa:

y p 2 x = x B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Perceba que a possível solução é a multiplicação entre um polinômio e a parte trigonométrica, visto que buscamos a solução para x sen ⁡ ( 2 x ) .

Passo 5

E a solução tentativa vai ser a soma das duas:

y p = y p 1 + y p 2

y p = A e 3 x + x B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Veja que o problema não pediu pra resolver, só para escrever a solução tentativa, que é essa aí😊

Por enquanto é isso pessoal😉

Resposta

y p = A e 3 x + x B x + C [ D sen ⁡ 2 x + E cos ⁡ 2 x ]

Exercício Resolvido #5

Determine a solução geral:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

Passo 1

Opa! Bora ver mais essa?

A solução geral é dada pela soma entre a solução homogênea e a solução particular:

y x = y h + y p

Bem, como de costume, vamos resolver a equação característica primeiro para determinar a homogênea:

y ' ' + y ' + y = 0

r 2 + r + 1 = 0

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Bháskara aqui:

x = - b ± Δ 2 a       e     Δ = b 2 - 4 a c

Onde na nossa r 2 + r + 1 = 0 , temos a = 1 ,   b = 1   e   c = 1 :

∆ = 1 2 - 4.1 . 1 = - 3

Assim:

r 1 = - 1 + - 3 2 = - 1 2 + i 3 2

r 2 = - 1 - - 3 2 = - 1 2 - i 3 2

Temos então raízes complexas, e a solução vai ser da forma:

y x = C 1 e a x cos ⁡ b x + C 2 e a x sen ⁡ b x

Onde a raiz complexa é: r = a + i b .

Assim a solução da homogênea então é dada por:

y h = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x  

Passo 3

Beleza, agora temos que analisar a solução da particular, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, ok?!

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x ⏟

Perceba que aqui temos uma função exponencial somada a uma função polinomial, vamos chutar polinomial do mesmo grau acrescida da exponencial:

y P 1 x = A x 2 + B x + C

y p 2 x = D e x

y p = A x 2 + B x + C + D e x

Beleza, esse é o nosso chute para a solução particular, sendo que A ,   B , C , D são coeficientes constantes que a gente vai achar.

Comparando a solução homogênea com a particular não vemos nenhum termo que se repete, então podemos ficar com esse palpite para a solução particular e seguir no passo a passo.

Passo 4

Agora derivando a solução particular:

y p ' = 2 A x + B + D e x

y p ' ' = 2 A + D e x

Substituindo isso na EDO:

y ' ' + y ' + y = x 2 + 2 x - 1 + e x

2 A + D e x + 2 A x + B + D e x + A x 2 + B x + C + D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Juntando os coeficientes dos termos de mesmo grau:

A x 2 + 2 A + B x + 2 A + B + C + 3 D e x = x 2 + 2 x - 1 + e x

Passo 5

Agora vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado:

A = 1

2 A + B = 2 →

    B = 2 - 2 A = 2 - 2 1

B = 0

2 A + B + C = - 1

C = - 1 - 2 - 0

C = - 3

3 D = 1 → D = 1 3

Substituindo isso na solução particular que encontramos:

y p = A x 2 + B x + C + D e x

y p = x 2 - 3 + 1 3 e x

Passo 6

E como a solução geral é dada por:

y = y h + y p

Temos:

y = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x

E pronto! Encerramos mais essa😊

Resposta

y = e - 1 2 x c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 sen ⁡ 3 2 x + x 2 - 3 + 1 3 e x