EDOs Não-Homogêneas (Polinômios)

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Cálculo – Guidorizzi – Volume 4 – Capítulo 11 – Seção 1 – Exercício 2a

Uma partícula desloca-se no eixo O x de modo que a soma da velocidade com a posição x = x t é constante e igual a 2 . Sabe-se que x 0 = 0 .

a) Determine a posição x = x t da partícula no instante t .

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Passo 1

Essa questão aborda um pouco de Física mas relacionando com EDO, saca só. O enunciado disse que a soma da velocidade com a posição é uma constante igual a 2 e sabemos que se a posição é x = x t , a velocidade é:

v t = d x d t

Então,

d x d t + x = 2

Beleza? Isso tem carinha de uma EDO linear de primeira ordem do tipo,

d x d t + a x = f t

Passo 2

Nesse caso, a primeira coisa a se fazer é achar o fator integrante:

I = e ∫ a   d t

Como a = 1 :

I = e ∫ 1   d t = e t

Agora vamos multiplicar a equação toda por esse fator:

d x d t e t + x   e t = 2 e t

Passo 3

Repara que o lado esquerdo é na verdade:

d x d t e t + x   e t = d d t x   e t

Então,

d d t x   e t = 2 e t

Agora que está mais arrumadinho vamos integrar dos dois lados:

x   e t = ∫ 2 e t   d t = 2 e t + C

Jogando o e t da esquerda para baixo:

x = 2 e t e t + C e t

x t = 2 + C e - t

Passo 4

Show! Agora nós vamos usar a condição inicial x 0 = 0 . Substituindo na equação anterior, onde agora t = 0 :

x 0 = 2 + C e 0 = 0

Logo,

C = - 2

Portanto,

x t = 2 + ( - 2 ) e - t

Colocando o 2 em evidência:

x t = 2 1 - e - t

Prontinho 😊

Resposta

x t = 2 1 - e - t

Exercício Resolvido #2

Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 4, 5ª edição, capítulo 11, seção 1, exercício 1, letra c

Determine a solução geral.

c )   2 d q d t + 2 q = t

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Passo 1

Nós já vimos que as soluções de:

d q d t + a q = f ( t )

São as funções da forma:

q = k e - a t + e - a t ∫ e a t f ( t ) d t

Com k constante.

Passo 2

E nós podemos rearranjar a equação dada para ficar nesse formato, certo? Dividindo a equação por 2 :

d q d t + q = t 2

Então para a nossa equação, temos:

a = 1   e   f t = t 2

Passo 3

Substituindo na solução:

q = k e - 1 . t + e - 1 . t ∫ e 1 . t ⋅ t 2 d t

Vamos começar integrando. Com isso:

∫ e t ⋅ t 2 d t = 1 2 ∫ e t ⋅ t d t = 1 2 e t t - e t

Para fazer essa integral, usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = t e d v = e t   d t , temos que

d u = d t             e               v = e t

Assim,

1 2 ∫ t   e t   d t = 1 2 t   e t - ∫ e t   d t = 1 2 t e t - e t

Voltando na solução:

q = k e - t + e - t ⋅ 1 2 e t t - e t

Passo 4

Podemos ainda simplificar a solução da seguinte forma:

q = k e - t + e - t . e t t 2 - e t . e - t 2

q = k e - t + e - t + t t 2 - e t - t 2

q = k e - t + e 0 t 2 - e o 2

q = k e - t + t 2 - 1 2

Resposta

q = k e - t + t 2 - 1 2

Exercício Resolvido #3

Cálculo – Guidorizzi – Volume 4 – Capítulo 11 – Seção 1 – Exercício 3

Uma partícula desloca-se sobre a parábola y = x 2 . Sabe-se que o movimento da sua projeção sobre o eixo O x é regido pela equação

d x d t + x = t

e que x 0 = 0 . Determine a posição no instante t .

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Passo 1

Fala aiii, tudo beleza? Aqui a EDO que temos que resolver é:

d x d t + x = t

Que é uma EDO linear de primeira ordem do tipo:

d x d t + a x = f t

Então,

f t = t

a = 1

Passo 2

Para resolver essa EDO nós precisamos achar o fator integrante,

I = e ∫ a   d t

Como a = 1 :

I = e ∫ 1   d t = e t

Agora podemos multiplicar a equação por esse fator:

d x d t e t + x   e t = t e t

Passo 3

Repara que o lado esquerdo é na verdade:

d x d t e t + x   e t = d d t x   e t

Então,

d d t x   e t = t   e t

Integrando dos dois lados:

x   e t = ∫ t   e t   d t

Passo 4

Para fazer essa integral, vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = t e d v = e t   d t , temos que

d u = d t             e               v = e t

Assim,

∫ t   e t   d t = t   e t - ∫ e t   d t = t e t - e t + C

Logo,

x   e t = t   e t - e t + C

Portanto,

x t = t - 1 + C e - t

Passo 5

Como x 0 = 0 :

0 = 0 - 1 + C e 0

Portanto,

C = 1

Assim,

x t = e - t + t - 1

Passo 6

Já achamos a coordenada x como função de t , ainda falta encontrar y :

y = x 2

Assim,

y = e - t + t - 1 2 = e - t + t - 1 e - t + t - 1

Portanto, fazendo o chuveirinho:

y = [ e - t e - t + e - t t + ( - 1 ) e - t ] + [ t e - t + t . t + t ( - 1 ) ] + [ - 1 e - t + - 1 t + ( - 1 ) ( - 1 ) ]

y = [ e - 2 t + e - t t - e - t ] + [ t e - t + t 2 - t ) ] + [ - e - t - t + 1 ]

y = e - 2 t + t 2 + 1 + 2 t e - t - 2 t

Assim,

x t = e - t + t - 1 y t = e - 2 t + 2 t e - t + t 2 - 2 t + 1

Resposta

x t = e - t + t - 1 y t = e - 2 t + 2 t e - t + t 2 - 2 t + 1

Exercício Resolvido #4

Capítulo 3, Seção 5, exercício 32

Siga as instruções no Problema 31 para resolver a equação diferencial

y ' ' + 2 y ' + 5 y =   1 ,       0 ≤ t ≤   π / 2   0 ,                       t >   π / 2

com condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

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Passo 1

Primeiro vamos encontrar a equação característica para a parte homogênea da função:

r 2 + 2 r + 5 = 0

r = - 2 ± 2 2 - 4 1 5 2 1 = - 1 ± 2 i

Onde a = - 1 (parte real) e b = 2 (parte imaginária).

y c = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t

Passo 2

Agora, assumindo o intervalo onde y ≤   π / 2 . A solução particular contem termos do lado direito da EDO (1) e tem equivalência com termos seno-cosseno:

y p = A 1 = A

A primeira e segunda derivada da solução particular é nula, colocando essas expressões na EDO, obtemos:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 1

0 + 0 + 5 A = 1

A = 1 5

A solução geral será dada por :

y = y c + y p

y = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

Passo 3

Aplicando nas condições dadas:

y 0 = 0

y ' 0 = 0

Determinando a primeira derivada da solução geral:

y ' t = - 2 c 1 e - t sen ⁡ 2 t - c 2 e - t cos ⁡ 2 t - c 2 e - t sen ⁡ 2 t + 2 c 2 e - t cos ⁡ 2 t

Aplicando a condição dada:

y ' t = - 2 c 1 e 0 sen ⁡ 0 - c 2 e 0 cos ⁡ 0 - c 2 e 0 sen ⁡ 0 + 2 c 2 e 0 cos ⁡ 0