EDOs Homogêneas com Coeficientes Constantes

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

EDO de 2ª ordem homogênea

Determine a solução geral y ( x ) da equação diferencial de segunda ordem

y ' ' + y = 0

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Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer aqui é colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + y = 0

Show, a equação já está na forma que queremos! Agora podemos escrever no formato da equação auxiliar e adequar a resposta ao caso que encontrarmos.

Passo 2

Colocando a equação no formato da equação auxiliar temos que:

y ' ' = r 2

y = 1

Então, vamos trabalhar agora com a nossa nova equação:

r 2 + 1 = 0

Passo 3

Agora, precisamos analisar quem é o nosso Δ , ou seja, verificar se: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 . Para isso, vamos lembrar do nosso amigo Bhaskara, o qual usamos para encontrar as raízes da equação que está no formato:

a r 2 + b r + c = 0

Precisamos, então, encontrar a , b e c . Comparando as equações:

a r 2 + b r + c = 0 r 2 + 1 = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = 1

Passo 4

Já com os valores dos coeficientes em mãos podemos jogar na fórmula de Δ :

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( 1 )

⇒ Δ = - 4

Ou seja,

⇒ Δ < 0

Passo 5

Como Δ < 0 , vamos trabalhar com raízes complexas pois:

r = - b ± Δ 2 . a

r = ( - 0 ) ± - 4 2 . 1 = ± - 4 2

Sendo que,

r = ± - 4 2 = ± - 1 × 4 2 = ± i × 2 2 = ± i

Pois,

i = - 1

Outra maneira de encontrar as raízes seria fazendo:

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± i

Mas isso é para esse caso, na maioria das vezes precisamos usar Bhaskara. Então já adiantei para você

Passo 6

Show! Encontramos então que nossas raízes são:

r = ± i

Logo:

r = 0 ± 1 i

Comparando com,

r = α ± β i

Temos que

α = 0 β = 1

Passo 7

Agora podemos colocar no modelinho de resposta que já vem pronto e só precisamos substituir os valores encontrados:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

⇒ y x = e 0 x c 1 cos ⁡ 1 x + c 2 sen ⁡ 1 x

⇒ y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Exercício Resolvido #2

EDO de 2ª Ordem Homogênea

Sabe-se que y = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sin ⁡ 2 t é a solução de y ' ' + a y ' + b y = 0 . Quanto valem a e b ?

a)   a = 4 e b = 0

b)   a = 2 e b = 4

c) a = 0 e b = 4

d)   a = 2 e b = 2

e)   a = 1 e b = 2

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Passo 1

Olhando para a solução, vemos que se assemelha com a do terceiro caso, na qual Δ < 0 na equação auxiliar, beleza? Onde solução deve ser:

y x = e α x C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x

Então vamos comparar com a solução dada,

y = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sin ⁡ 2 t

Vemos que β = 2 e α = 0   pois,

e α x = e 0 x = 1

Então apesar de parecer que o e α x sumiu, na verdade ele está ali disfarçado de 1 ! 😉

Passo 2

Como Δ < 0 as raízes da equação auxiliar são:

r = α ± β i

r = 0 ± 2 i

E, para que isso aconteça, a equação característica é:

r 2 + 4 = 0

Pois,

r 2 = - 4

r = ± - 4 = ± 4 × - 1

r = ± 2 i

Passo 3

Agora temos que fazer o processo de passar da equação auxiliar para a equação diferencial, ou seja, colocar no formato de y novamente.

r 2 + 4 × 1 = 0

Onde temos que,

r 2 = y ' '

1 = y

Então,

y ' ' + 4 y = 0

Passo 4

Portando, comparando com a equação de solução dada:

y ' ' + a y ' + b y = 0

Temos que:

y ' ' + 0 y ' + 4 y = 0

a = 0

b = 4

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #3

EDO de 2ª Ordem Homogênea

Considere a equação diferencial y ' ' + y ' - c y = 0 . Qual o valor de c de modo a que a função y t = 3 t e - t 2 seja solução da equação diferencial?

(a) c = 0

(b) c = 2

(c) c = 1

(d) c = - 1

(e) c = - 1 / 4

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Passo 1

Para encontrar o valor de c vamos jogar a função y ( t ) na EDO. Mas antes disso vamos encontrar as suas respectivas derivadas.

y t = 3 t e - t 2

A primeira derivada de y vai ser:

y ' t = 3 e - t 2 + 3 t e - t 2 - 1 2

⇒ y ' t = 3 - 3 2 t e - t 2

Passo 2

Fazendo agora a segunda derivada, temos:

y ' ' t = - 3 2 e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - 1 2

⇒ y ' ' t = - 3 2 - 1 2 3 - 3 2 t e - t 2

⇒ y ' ' t = - 3 2 - 3 2 + 3 4 t e - t 2

⇒ y ' ' t = - 3 + 3 4 t e - t 2

Passo 3

Beleza, já temos nossas derivadas, então podemos jogar esses valores na equação, obtendo:

y ' ' + y ' - c y = 0

- 3 + 3 4 t e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - c 3 t e - t 2 = 0

- 3 + 3 4 t + 3 - 3 2 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

- 3 4 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

Como e - t 2 > 0 ,     t ∈ R então podemos cortar e - t 2 dos 2 lados, o que dá:

- 3 4 t = 3 c t

⇒   - 1 4 t = c t

⇒ t = 0       o u     c = - 1 4

Passo 4

Repare que se t = 0 , podemos substituir na nossa equação diferencial:

y ' ' 0 = - 3 + 3 4 ( 0 ) e - 0 2 = - 3 + 0 e 0 = - 3

y ' 0 = 3 - 3 2 ( 0 ) e - 0 2 = 3 + 0 e 0 = 3

y 0 = 3 ( 0 ) e - 0 2 = 0 e 0 = 0

Portanto,

y ' ' 0 + y ' 0 - c y 0 = - 3 + 3 - 0 = 0

Ou seja, se t = 0 , a função y é solução da equação, não importando o valor de c .

Então para que y seja sempre solução da EDO, para qualquer valor de t , devemos ter c = - 1 4 .

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão 5 Múltipla Escolha

Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma x t = e 2 t C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sin ⁡ 3 t , onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.

a x ' ' + 6 x ' + 13 x = 0

b x ' ' - 6 x ' + 13 x = 0

c x ' ' + 4 x ' + 13 x = 0

d x ' ' - 4 x ' + 13 x = 0

e x ' ' - 5 x ' + 6 x = 0