Aplicação de Funções Vetoriais, Arcos de Curvas

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.136, exercício 12b.

Determine r ( t ) sabendo que

r ' t = s e n   t , c o s   2 t   , 1 t + 1 ,   t ≥ 0

r 0 = ( 1 , - 1,2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, galera, esse é mais um exercício de funções vetoriais. Nesse exercício, o enunciado está nos informando quanto vale a derivada da função r ' t . Ele quer saber qual é a função r t que é derivada para dar r ' t . Ou seja, ele quer fazer o caminho inverso da derivada!

O caminho inverso da derivada é a integral! Logo, para achar r t integramos r ' t .

r t = ∫ r ' t d t

Precisamos integrar o r ' t que nós já conhecemos, mas ele é uma função vetorial! Como podemos integrar uma função vetorial?

Para integrar uma função vetorial, temos que integrar cada componente dessa função!

Ou seja, para integrar r ' t , fazemos:

r t = ∫ r ' t d t = ∫ sen ⁡ t   d t ,   ∫ cos ⁡ 2 t   d t ,   ∫ 1 t + 1   d t

Para integrar cada componente de r ' t vamos precisar usar o r 0 que o enunciado nos deu!

Esse r 0 é o valor da função r t quando t = 0 ! Mas não se preocupe com ele agora. Vamos aprender a usar esse r 0 , quando a gente começar a integrar cada componente no próximo passo!

Passo 2

Vamos calcular a integral de cada componente de r ' t em passos diferentes.

Nesse passo, vamos integrar a primeira componente de r ' t que é sen ⁡ t . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da primeira componente de X t .

Então, precisamos saber quanto vale:

X t = ∫ sen ⁡ t   d t    

A integral sen ⁡ t aparece tantas vezes em integrais que o valor dessa integral pode ser obtido por tabelas de integração. Se você consultar uma tabela dessas, verá que a integral de sen ⁡ t é igual a:

X t = ∫ sen ⁡ t   d t = - cos ⁡ t + C 1

O C 1 é a constante de integração que sempre precisamos colocar!

Para achar quanto vale essa constante C 1 , temos que usar o r 0 que o enunciado deu!

A primeira componente de r 0 é o valor de X t quando t = 0 .

r 0 = ( 1 ⏞ X t = 0 , - 1,2 )

X t = 0 = 1

Logo, podemos achar o valor de C 1 , substituindo t por 0 na integral que achamos.

X t = 0 = - cos ⁡ 0 + C 1

Lembrando que cos ⁡ 0 vale 1 e que X t = 0 é igual a 1 , conseguimos achar C 1 .

1 = - 1 + C 1

C 1 = 2

Substituindo esse valor de C 1 na integral X t , achamos:

X t = - cos ⁡ t + C 1 = - cos ⁡ t + 2

Passo 3

Nesse passo, vamos integrar a segunda componente de r ' t que é cos ⁡ 2 t . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da segunda componente de Y t .

Então, precisamos saber quanto vale:

Y t = ∫ cos ⁡ 2 t   d t

Essa é uma integral mais difícil que se parece muito com a integral que já conhecemos de cos ⁡ t . O fato dessa integral se parecer com uma integral de função mais fácil é um indício de que precisamos resolver essa integral pelo método de substituição simples.

Nesse método, criamos uma variável nova u que vale:

u = 2 t

Essa variável é criada para transformar uma integral que não sabemos resolver em uma integral mais fácil que sabemos resolver! Veja só como a integral fica, quando substituímos 2 t por u .

∫ cos ⁡ 2 t   d t = ∫ cos ⁡ u   d t

No entanto, ainda tem um d t nessa integral. Para integrar, precisamos substituir d t por d u .

Para achar quanto vale esse d u e fazer essa substituição, terivamos u em relação a t !

d u d t = d 2 t d t

Como a constante não interfere na derivada, podemos colocar a constante 2 para fora da derivada. Dessa forma, ficamos com uma derivada de t sozinho. Quando t está sozinho, a derivada dele vale 1 !

d u d t = d 2 t d t = 2 d t d t = 2 ⋅ 1 = 2

Resumindo, a derivada vale 2 .

d u d t = 2

Passando d t para o lado direito e o número 2 para o lado esquerdo, achamos:

d u 2 = d t

Substituindo isso na integral, fica:

∫ cos ⁡ u   d t = ∫ cos ⁡ u d u 2 = ∫ 1 2 cos ⁡ u d u

Lembrando que constantes não interferem na integral, podemos tirar a fração 1 2 de dentro da integral.

∫ 1 2 cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

A integral de cos ⁡ u também pode ser encontrada em tabelas por ser muito comum. Ela vale:

1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u + C 2

C 2 é a constante de integração que nunca podemos esquecer de colocar!

Agora, precisamos fazer u virar 2 t novamente.

1 2 sen ⁡ u + C 2 = 1 2 sen ⁡ 2 t + C 2

Acharemos quanto vale C 2 no próximo passo!

Passo 4

Para achar quanto vale essa constante C 2 , temos que usar o r 0 que o enunciado deu!

A segunda componente de r 0 é o valor de Y t quando t = 0 .

r 0 = ( 1 , - 1 ⏞ Y t = 0 , 2 )

Y t = 0 = - 1

Logo, podemos achar o valor de C 2 , substituindo t por 0 na integral que achamos.

Y t = 0 =

= 1 2 sen ⁡ 2 ⋅ 0 + C 2

= 1 2 sen ⁡ 0 + C 2

Lembrando que sen ⁡ 0 vale 0 e que Y t = 0 é igual a - 1 , conseguimos achar C 2 .

- 1 = 1 2 ⋅ 0 + C 2

- 1 = 0 + C 2

C 1 = - 1

Substituindo esse valor de C 2 na integral Y t , achamos:

Y t = 1 2 sen ⁡ 2 t + C 2 = 1 2 sen ⁡ 2 t - 1

Passo 5

Nesse passo, vamos integrar a terceira componente de r ' t que é 1 t + 1 . Para facilitar a nossa vida, vamos chamar a integral da terceira componente de Z t .

Então, precisamos saber quanto vale:

Z t = ∫ 1 t + 1   d t

Essa é uma integral mais difícil que se parece muito com a integral que já conhecemos de 1 t . Como essa integral se parece com uma integral de uma função mais fácil precisamos resolver essa integral pelo método de substituição simples.

Nesse método, criamos uma variável nova u que vale:

u = t + 1

Essa variável é criada para transformar uma integral que não sabemos resolver em uma integral mais fácil que sabemos resolver! Veja só como a integral fica, quando substituímos t + 1 por u .

∫ 1 t + 1   d t = ∫ 1 u   d t

No entanto, ainda tem um d t nessa integral. Para integrar, precisamos substituir d t por d u .

Para achar quanto vale esse d u e fazer essa substituição, terivamos u em relação a t !

d u d t = d d t t + 1

Quando temos uma derivada com somas, podemos derivar cada termo separadamente.

d u d t = d d t t + 1 = d d t t + d d t 1

Derivada de constante vale zero. Logo, a derivada de 1 vale 0 .

Além disso a derivada de t está sozinho vale 1 !

d u d t = d d t t + d d t 1 = 1 + 0 = 1

Resumindo, a derivada vale 1 .

d u d t = 1

Passando d t para o lado direito, achamos:

d u = d t

Substituindo isso na integral, fica:

∫ 1 u   d t = ∫ 1 u   d u

A integral de 1 u também pode ser encontrada em tabelas por ser muito comum. Ela vale:

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C 3

C 3 é a constante de integração que nunca podemos esquecer de colocar!

Agora, precisamos fazer u virar t + 1 novamente.

ln ⁡ u + C 3 = ln ⁡ t + 1 + C 3

Acharemos quanto vale C 3 no próximo passo!

Passo 6

Para achar quanto vale essa constante C 3 , temos que usar o r 0 que o enunciado deu!

A terceira componente de r 0 é o valor de Z t quando t = 0 .

r 0 = ( 1 , - 1 , 2 ⏞ Z t = 0 )

Z t = 0 = 2

Logo, podemos achar o valor de C 3 , substituindo t por 0 na integral que achamos.