Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine e esboce o domínio da função

F x , y = 1 y   , 1 - x

Passo 1

Fala, pessoal, prontos para iniciar nossos estudos sobre funções vetoriais?

Primeiro de tudo, nós podemos perceber que essa é uma função bem diferente! Ela é é uma função 2 em 1 ! Ela tem duas funções separadas por uma vírgula! A primeira (da esquerda) é uma função de y e a segunda (a da direita) é uma função de x .

F x , y = 1 y ⏞ f u n ç ã o d e   y   , 1 - x ⏞ f u n ç ã o d e   x

Como essa é uma função que tem duas funções dentro dela, vamos dar um nome para cada função diferente. Vamos chamar a função de y da esquerda de a y e a função de x da direita de função b x .

a y = 1 y

b x = 1 - x

Nós separamos a função vetorial em duas funções, mas precisamos entender o que o enunciado quer. Ele pediu para a gente determinar o domínio da função vetorial F ( x , y ) . Mas o que é o domínio?

O domínio são todos os valores de x e de y que não causam problemas de conta nas funções a y e b x que fazem parte da nossae F x , y .

Por exemplo, vamos ver o que acontece quando y vale 0 na função a y ?!

a 0 = 1 0 = 1 0

Através da equação acima, Vvemos que, quando y vale 0 , o valor da função a y não pode ser calculado. Isso acontece, porque y = 0 gera uma divisão por zero que é impossível de ser calculada! Em outras palavras, o valorOu seja, y = 0 0 dá problema de conta na função a y ! Por isso, dizemos que 0 não pode fazer parte do domínio de F x , y ! y tem que ser diferente de zero!

y ≠ 0

Com esse exemploAssim, conseguimos ver que, para saber quais os valores que x e y podem ter, e determinar o domínio, precisamos antes saber quais os valores eles que x e y não pode ter!

Então vamos procurar no próximo passo quais os outros valores que y não pode ter.

Passo 2

Nesse passo, nós vamos procurar os outros valores que y não pode ter. Para isso,P precisamos descobrir os valores de y que dão problema de conta em a y .!

As funções que estão dentro da função vetorial sempre dão dicas de como achar esses valores!

Por exemplo, sempre que uma raiz quadrada aparece, temos que ficar atentos!

a y = 1 y

Devemos ter atenção nela, porque raiz quadrada de número negativo não existe! A raiz quadrada de número negativo não pode ser calculada no conjuto dos número reais e, portanto é um problema de conta!

Como o y está dentro da raiz quadrada, ele não pode ser negativo. Isso significa que ele precisa ser maior ou igual a zero.

y ≥ 0

No entanto, já vimos que sabemos que y não pode sernão pode valer zero, porque o zero também causa um erro de conta. Ou seja, y tem que ser maior que zero, pois só assim ele não será igual a zero e nem negativo..

y > 0

Logo, todos os valores de y maiores que zero fazem parte do domínio!

Agora, vamos descobrir quais os valores que o x não pode ter.

Passo 3

Para descobrir quais os valores que x não pode ter, precisamos prestar atenção na raiz quadrada de b x .

b x = 1 - x

A parte de dentro dessa raiz quadrada (que nesse caso é o - x ) não pode ser negativa, porque isso levaria a um erro de conta! Ou seja, - x tem que ser maior ou igual a zero.

- x ≥ 0

Aqui você pode pensar, “mas ele já é negativo, porque tem esse menos ali na frente”. Mas na verdade o valor que ficará dentro da raiz vai depender do sinal do número que colocarmos no lugar do x . Vamos ver um exemplo pra entender melhor isso.

Veja que se o x for positivo, nossa raiz ficará negativa, o que não pode acontecer (como aconteceu quando x = 2 ). Já se o x for negativo, o sinal de menos na frente dele fará com que ele se torne positivo e assim não teremos nunhum erro de conta (como quando x = - 2 ) .

Então, o que precisamos é que a raiz não seja nengativa, e para isso:Se a gente passar o x para o outro lado, vemos que:

x ≤ 0

Mas há outro detalhe ali. Nossa raiz está no denominado, e vimos que se ela for zero, termos uma divisão por zero. O que também não pode acontecer.

Então 1 - x ≠ 1 0

E para isso precisamos que x ≠ 0 Isso significa que, para o - x ser maior ou igual a zero, x precisa ser menor ou igual a zero.

Para saber os outros valores que x não pode ter, temos sempre que prestar atenção no denominador da fração! Esse denominador nunca pode ser zero. Caso contrário, isso levaria a uma divisão por zero e a um problema de conta.

Logo, o denominador de b x precisa ser diferente de 0 .

- x ≠ 0

.

Para - x ser dizerente de 0 , x tem que ser diferente de zero. Resumindo, x não pode ser positivo para não dar problema de cálculo com a raiz quadrada nem pode valer 0 . Ou seja, x só pode ser negativo (menor que zero).

x < 0

Logo, todos os valores de x menores que zero fazem parte do domínio!

Juntando os dois domíniosResumindo, termos o domínio da função F x , y é composto pelos valores de x < 0 e pelos valores de y > 0 .

Então, domínio de F ( x , y ) :

x < 0

y > 0

Mas calma que o exercício ainda não acabou!

Além de pedir para a gente determinar o domínio, o enunciado também pediu que a gente esboçasse o domínio.

Faremos isso agora!

Passo 4

Primeiro de tudo o que é esboçar o domínio?

Esboçar o domínio é a mesma coisa que pintar a região do plano cartesiano onde todos os pontos doo domínio se encontra.

O plano cartesiano é formado por duas retas: a reta x e a reta y .

A reta x é como se fosse uma régua com todos os valores de x do menor para o maior. Os valores de x nessa reta crescem da esquerda para a direita. Essa reta é cortada pela reta y bem no ponto onde x = 0 . Ou seja, o lado esquerdo desse ponto de corte tem os valores negativos de x . Como os valores negativos de x fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A reta y é como se fosse uma régua com todos os valores de y do menor para o maior. Os valores de y nessa reta crescem de cima pra baixo. Essa reta é cortada pela reta x bem no ponto onde y = 0 . Ou seja, a parte acima desse ponto de corte tem os valores positivos de y . Como os valores positivos de y fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A nossa região do domínio será a que pertence as duas condições ao mesmo tempo. Assim, pintando as duas em um mesmo plano teremos:

O domínio é a parte que está a esquerda da reta y e acima da reta x . Portanto, ela é a parte verde do gráfico.

Resposta

Domínio de F ( x , y ) :

x < 0

y > 0

Esboço do domínio:

Exercício Resolvido #2

Determine o domínio das funções vetoriais.

r t = 4 - t ² ,   e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 )

Passo 1

Como vocês estão, galera?

Esse é mais um exercício de determinar o domínio de uma função vetorial r t .

Como uma função vetorial tem várias funções dentro dela, podemos nomear cada uma dessas funções para a gente se organizar.

A função do primeiro componente pode se chamar a t .

a t = 4 - t ²

A função do segundo componente pode se chamar b t .

b t = e - 3 t

Por fim, a função do terceiro componente pode se chamar c t .

c t = ln ⁡ ( t + 1 )

Temos então:

Beleza, fizemos isso para deixar nossa solução mais organizada. Mas ainda resta responder uma pergunta: o que exatamente significa determinar o domínio?

Determinar o domínio é achar os valores de t que não causam problema de conta nas funções a t , b t e c t .

Para ficar mais claro o que são esses problemas de conta, vamos ver o próximo passo!

Passo 2

Para a gente achar os valores de t que não fazem as funções a t , b t e c t terem um problema de conta, a gente precisa descobrir os valores de t que causam problemas de conta.

Existem três situações muito comuns de acontecerem:

  1. Divisão por zero. Sempre que a função tiver uma fração, temos que garantir que o denominador não vale zero!
  2. n u m e r a d o r d e n o m i n a d o r ≠ n 0

    d e n o m i n a d o r ≠ 0

  3. Raiz quadrada de número negativo. Sempre que a função tiver uma raiz quadrada, temos que garantir que a parte de dentro da raiz nunca seja negativa.
  4. p a r t e   d e   d e n t r o   d a   r a i z ≥ 0

  5. log ⁡ de número menor ou igual a zero. Sempre que uma função tiver um log ⁡ , precisamos garantir que a parte de dentro do log ⁡ seja maior que zero!

P a r t e   d e   d e n t r o   d o   l o g > 0

Para achar todos os problemas de conta, temos que procurar em cada uma das três funções uma raiz quadrada, uma fração e um log ⁡ .

De cara nós podemos ver que a função a t tem uma raiz quadrada.

a t = 4 - t ²

Logo, nós temos que garantir que a parte de dentro dessa raiz não seja negativa. Ou seja, essa parte de dentro precisa ser maior ou igual a zero.

4 - t 2 ≥ 0

Passando o - t 2 para o lado direito, fazemos o sinal de menos sumir.

4 ≥ t 2

Vamos só trocar de lado pra ficar mais fácil de ler. Ahh, não esquece de trocar o sinal também, ok!

t 2 ≤ 4

A expressão acima diz que t 2 tem que ser menor ou igual a 4 . Para t 2 ser menor ou igual a 4 , t tem que estar entre o - 2 e o 2 .

Vamos ver isso em uma reta numérica que vai ficar mais claro:

Perceba que valores menores que - 2 nos darão t 2 maior que 4 , e valores, maiores que 2 , também.

Assim:

- 2 ≤ t ≤ 2

Ou seja, t tem que valer entre - 2 e 2 para não causar um problema de conta na função a t .

No próximo passo, vamos verificar os valores de t que poder causar erro de conta nas funções b t e c t .

Passo 3

Vamos olhar para a função b t e procurar uma raiz quadrada, uma fração ou um log ⁡ nela.

b t = e - 3 t

Ela não tem nada disso, certo? Logo, nenhum valor de t pode causar um erro de conta em b t . Então dizemos que seu domínio são todos os números Reais R .

Por fim, vamos olhar para c t .

c t = ln ⁡ ( t + 1 )

Ele tem um log ⁡ . Então, a parte de dentro dele tem que ser maior que zero! Logo:

t + 1 > 0

Agora, vamos passar o 1 para o lado direito.

t > - 1

Isso quer dizer que o t tem que ser maior que - 1 para não causar nenhum problema de conta em c t .

Passo 4

Então a gente tem duas condições, a primeira definida em a ( t ) e a terceira definida em c ( t )

- 2 ≤ t ≤ 2

t > - 1

Vamos ver visualmente como juntar essas duas condicoes!

Nossos valores de t precisano estar entre - 2 e 2 , incluindo esses valores, mas também precisamo ser maiores que - 1 . Quando acontece isso a gente pega os valores que respeitam as duas condições ao mesmo tempo.

Então nosso intervalo é:

- 1 < t ≤ 2

Se t ficar dentro desse intervalo, ele não dá problema de conta em nenhuma das três funções que existem dentro da função vetorial r t .

Logo o domínio de r t são justamente esses valores de t !

Pronto! Determinamos o domínio!

Resposta

Dominio de r ( t ) :

- 1 < t ≤ 2

Exercício Resolvido #3

Calcule os limites.

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k

Passo 1

Beleza, pessoal, o exercício quer que a gente calcule o limite desse cara enorme que tem um i , um j e um k esquisitos. Como a gente faz isso e o que são essas letras i , j e k ?

Essas três letras são usadas para mostrar que a função vetorial abaixo tem três componentes diferentes (uma para cada letra).

t 2 - t t - 1 ⏞ p r i m e i r a c o m p o n e n t e i + t + 8 ⏞ s e g u n d a c o m p o n e n t e   j + s e n   π t ln ⁡ t ⏞ t e r c e i r a c o m p o n e n t e k

Para a gente organizar nossa resolução, o primeiro passo é dar um nome diferente para cada componente.

a t = t 2 - t t - 1

b t = t + 8

c t = s e n   π t ln ⁡ t

Agora fica mais fácil de entender o que é calcular o limite da função vetorial.

Pra isso, vamos calcular separadamente os limites de cada componente a t , b t e c t .

Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

Nesse passo, vamos tentar calcular o limite de a t .

O primeiro passo para calcular qualquer limite é substituir t pela tendência de t . A tendência de t é 1 . Logo, vamos substituir t por 1 em a t .

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Opa! Deu um problema nessa conta aí!

Ao substituir t por 1 diretamente obtemos uma divisão de zero por zero. E não podemos calcular, pois ela é uma indeterminação!

Sempre que temos uma indeterminação desse tipo podemos usar a regra de L’Hôpital.

No próximo passo nós vamos entender melhor o que é essa regra.

Passo 3

A regra do L’Hôpital diz que, para sair dessa indeterminação, podemos fazer as derivadas do numerador e o denominador da fração e depois aplicar limite na nova fração encontrada!

l i m t → 1 t 2 - t t - 1 = l i m t → 1 t 2 - t ' ( t - 1 ) '  

Para a t , t 2 - t é o numerador e t - 1 o denominador.

Logo, temos que responder as seguintes perguntas: Quem são suas derivadas?

d t 2 - t d t = ?

d t - 1 d t = ?

Vamos começar calculando a derivada do numerador. Para isso, temos que lembrar que podemos derivar uma subtração, derivando cada termo separadamente.

d t 2 - t d t = d t 2 d t - d t d t

Para derivar t 2 temos que usar a regra do peteleco. Nessa regra, o expoente de t cai e deixa no seu lugar um expoente que vale ele mesmo menos 1.

d t 2 d t = 2 ⋅ t 2 - 1 = 2 ⋅ t 1 = 2 t

Além disso, a derivada do t sozinho vale 1 .

Assim nós encontramos a derivada do numerador!

d t 2 - t d t = 2 t - 1

Agora vamos derivar o denominador t - 1 . Aqui também podemos fazer a derivada de cada termo separadamente.

d t - 1 d t = d t d t - d 1 d t

Como a derivada de constante vale zero, a derivada de 1 é igual a zero.

E temos novamente a derivada de t sozinho que sempre vale 1 !

Substituindo isso, descobrimos a derivada do denominador.

d t d t - d 1 d t = 1 - 0 = 1

Depois de derivar o numerador e o denominador o limite de a t fica:

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 = lim t → 1 ⁡ 2 t - 1 1 = lim t → 1 ⁡ 2 t - 1

Agora sim podemos substituir t por 1 com segurança!

lim t → 1 ⁡ 2 t - 1 = 2 ⋅ 1 - 1 = 1

Isso significa que o limite do primeiro componente a t é igual a 1 !

Vamos descobrir quanto vale o limite de b t no próximo passo.

Passo 4

O limite de b t pode ser calulado, substituindo t pela sua tendência que vale 1 .

lim t → 1 ⁡ t + 8 = 1 + 8 = 9 = 3

O limite de b t vale 3 .

Essa foi mais fácil!

Vamos para o próximo passo que é calcular o limite de c t .

Passo 5

Primeiro, vamos tentar calcular o limite de c t , substituindo t pela sua tendência que vale 1 .

lim t → 1 ⁡ sen ⁡ π t ln ⁡ t = sen ⁡ π ⋅ 1 ln ⁡ 1 = sen ⁡ π ln ⁡ 1

ln ⁡ 1 vale zero e sen ⁡ π também vale zero.

sen ⁡ π ln ⁡ 1 = 0 0

Ou seja, substituir t por 1 diretamente gera uma indeterminação. Isso quer dizer que precisamos usar a regra de L’Hôpital e derivar o numerador e o denominador do limite novamente.

No passo seguinte a gente aplica essa regra!

Passo 6

Agora vamos partir para o numerador que é igual a sen ⁡ π t !

A derivada de sen ⁡ t nós conseguimos calcular tranquilo. Ela é igual a cos ⁡ t . Mas quanto vale a derivada de sen ⁡ π t ? Para ficar mais fácil de responder, vamos chamar π t de g .

g = π t

sen ⁡ π t ⏞ g = sen ⁡ g

Repara que temos uma função dentro da outra, por isso para calcular a derivada de sen ⁡ π t , temos que usar a regra da cadeia.

Essa regra diz que a derivada de sen ⁡ π t é igual a derivada da função de fora, vezes a derivada da de dentro.

sen ⁡ π t ' = sen ⁡ g ' ⋅ g '

sen ⁡ g ' é a uma derivada que a gente calcula normalmente. Temos a derivada do seno que é o cosseno

sen ⁡ g ' = cos ⁡ g

Substituindo g por π t novamente:

sen ⁡ g ' = cos ⁡ g = cos ⁡ π t

Essa foi a de fora.

Agora a de dentro, g ' . Como a constante π não interfere na derivada, podemos tirar ela da derivada.

g ' = π t ' = π ⋅ t '

A derivada de t sozinho vale 1 ! Substituindo isso, achamos:

g ' = π ⋅ t ' = π ⋅ 1 = π

Agora podemos calcular a derivada de sen ⁡ π t pela regra da cadeia.

sen ⁡ π t ' = sen ⁡ g ' ⋅ g ' = cos ⁡ π t ⋅ π

Enfim, podemos calcular o limite de c t .

lim t → 1 ⁡ sen ⁡ π t ln ⁡ t = lim t → 1 ⁡ cos ⁡ π t ⋅ π 1 t

Agora vamos calcular a derivada do denominador de c t que é igual a ln ⁡ t .

A derivada de ln ⁡ t é sempre igual a 1 t .

d ln ⁡ t d t = 1 t

Pronto! Já calculamos a derivada do numerador e do denominador.

Nesse limite, temos a divisão de cos ⁡ π t ⋅ π pela fração 1 t . Dividir por uma fração é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso da fração. Como o inverso de 1 t vale t 1 = t :

lim t → 1 ⁡ cos ⁡ π t ⋅ π 1 t

lim t → 1 ⁡       t 1 ⋅ cos ⁡ π t ⋅ π

lim t → 1 ⁡       t ⋅ cos ⁡ π t ⋅ π

Aplicando o limiete e substituindo t por 1 , achamos:

lim t → 1    ⁡ t ⋅ cos ⁡ π t ⋅ π =

= 1 ⋅ cos ⁡ π ⋅ 1 ⋅ π

= 1 ⋅ cos ⁡ π ⋅ π

Lembrando que cos ⁡ π = - 1 , achamos:

1 ⋅ cos ⁡ π ⋅ π =

= 1 ⋅ - 1 ⋅ π

= - π

Ou seja, o limite de c t vale – π .

Achamos os limites de todas as componentes da função vetorial.

No próximos passo, vamos mostrar como devemos expor o resultado do cálculo do limite de funções vetoriais.

Passo 7

Para mostrar o resultado de cáclulo de limite de uma função vetorial de uma forma organizada, usamos as letras i , j e k para separar os três componentes. a t é a componente que fica junto com i . b t é o componente que fica junto com j e c t é o componente que fica junto com k . Ou seja:

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

Agora sim terminamos o exercício! Foi longo, mas valeu a pena!

Passo 8

Desta forma: lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k = ( 1 i + 3 j - π k )

Exercício Resolvido #4

Calcule os limites.

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t

Passo 1

Fala aí, bora matar mais essa questão aqui no peito! A questão pede pra gente calcular o limite tendendo ao infinito e para calcular o limite de uma função vetorial precisamos calcular o limite de cada um dos seus componentes.

Sendo que o primeiro termo corresponde a componente i , o segundo termo corresponde a componente j e o terceiro termo corresponde a componente k .

Passo 2

Limite da componente i :

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t 2

Substituindo diretamento o limite, teremos uma indeterminação do tipo:

lim t → ∞ ⁡ 1 + ∞ 2 1 - ∞ 2 = - ∞ ∞

Então precisavos tentra resolver de outra manira.

O melhor método pra resolver quando temos divisão de polinômios e o limite tende a intinito, é colocarmos em evidencia a variável de maior grau! No caso o t 2 .

Parece complicado o que eu disse? Acompanha comigo. Antes vamos escrever o 1 como sendo t 2 t 2 :

lim t → ∞ ⁡ t 2 t 2 + t 2 t 2 t 2 - t 2

Agora que temos o t 2 nos dois termos, tanto em cima quando embaixo, vamos colocar ele em evidência na frente dos parênteses:

lim t → ∞ ⁡ t 2 1 t 2 + 1 t 2 1 t 2 - 1

Fazendo isso, consiguimos cortar os dois t 2 , e ficar com

lim t → ∞ ⁡ 1 t 2 + 1 1 t 2 - 1

Observa que agora, quando eu for aplicar o infinito dentro do limite eu vou ter divisões por infinito, que a gente sabe que dá zero!

lim t → ∞ ⁡ 1 ∞ 2 + 1 1 ∞ 2 - 1 = lim t → 1 ⁡ 0 + 1 0 - 1 = - 1

Prontinho, conseguimos calcular o limite sem cair em intederminação.

Passo 3

Limite da componente j :

lim t → ∞ ⁡ t g - 1 t =

Essa daqui pode ser um pouco chatinha, mas se você pensar comigo a gente resolve. Lembra como é o gráfico da t g   x ?

Como estamos trabalhando com a inversa dela, ou seja, t g - 1 t , isso é como se a gente girasse ela, trocando o eixo x por y , ficando

Então, como a tg fica com x restrito entra - π 2   e π 2 , sabemos que essas vão ser as assíntotas horizontais agora!

Observa então que quando o x dessa nossa função está la no infinito, sabemos que y vai tender pra π 2 . A nível de curiosidade a gente consegue também observar que caso o limite fosse pra menos infinito, a função iria para - π 2 .

Assim a gente acabou de descobrir o limite desejado:

lim t → ∞ ⁡ t g - 1 t = π 2

Passo 4

Limite da componente k :

lim t → ∞ ⁡ 1 - e - 2 t t =

Vamos primeiramente separar essa subtração na fração, ficamos então com

lim t → ∞ ⁡ 1 t - e - 2 t t =

Como aquele exponencial está elevado a um número negativo, podemos colocar ele no denomidador

lim t → ∞ ⁡ 1 t - 1 t e 2 t =

Agora vamos simplesmente substituir o infinito na função

lim t → ∞ ⁡ 1 ∞ - 1 ∞ e 2 ∞ =

Um numero inteiro dividido porá infinito sabemos que dá zero certo? Então temos

1 ∞ - 1 ∞ e 2 ∞ = 0 - 0 = 0

Passo 5

Desta forma: lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0

Resposta

lim t → ∞ ⁡ 1 + t 2 1 - t ² , t g - 1 t , 1 - e - 2 t t = - 1 , π 2 , 0

Exercício Resolvido #5

Calcule os limites.

lim t → 0 + ⁡ cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t ln ⁡ t

Passo 1

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então,

l i m t → 0 + cos ⁡ t = cos ⁡ 0 = 1

l i m t → 0 + sen ⁡ t = sen ⁡ 0 = 0

l i m t → 0 +   t ln ⁡ t → 0 ln ⁡ 0 → 0   .   ( - ∞ )

Os dois primeiros deram certo, mas no terceiro caímos em uma indeterminação, então precisaremos fazer esse limite de maneira diferente.

Passo 2

Como o terceiro limite tem uma indeterminação, vamos usar a greda de L’Hôpital. Ela nos ajuda a achar o limite de uma fração quando o limite do numerador e do denominador nos levam a uma indeterminação.

Mas você pode estar pensando: “mas ali não temos uma fração”. E é por isso que antes de tudo, vamos transformá-la em fração:

l i m t → 0 +   t ln ⁡ t

Fazemos isso lebrando que quando temos uma fração embaixo no denominador, nós jagamos ela pra cima invertida multiplicando o numerado. Assim ó:

No nosso caso, temos o t ln ⁡ t . Vamos escrever esse t como t 1 e fazer o processo inverso, jogando ele pra baixo invertido:

t 1 ln ⁡ t = ln ⁡ t 1 t

Agora que já está na forma de fração, vamos aplicar a regra do L’Hôpital

Nela faremos a derivada do numerador e do denominador e aplicaremos o limite no resultado que encontrarmos.

Derivando o numerador temos:

d ( ln ⁡ t ) d t = 1 t

E derivando o denominador:

d 1 t d t = - 1 t 2

Assim, nosso limite se transforma em:

= l i m t → 0 + ln ⁡ t 1 t = l i m t → 0 + 1 t - 1 t 2

Ainda tá bem feio isso aí. Pra melhora a forma como está escrito, lembramos que na divisão de frações, nós repetimos a de cima e multiplicamos pela inverso da de baixo:

1 t - 1 t 2 = 1 t ∙ - t 2 1

Simplificando um t de cima com o de baixo, nossa função ficará:

1 t ∙ - t 2 1 = - t

Bem melhor, né?

Agora, finalmente a gente aplica o limite

l i m t → 0 + - t = 0

Ufa e depois de tudo isso, concluímos:

lim t → 0 + ⁡ cos ⁡ t ,   s e n   t ,   t ln ⁡ t = 1 ,   0 ,   0

Resposta

1 ,   0 ,   0

Exercício Resolvido #6

Calcule os limites.

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t , 1 + t - 1 t , 3 t + 1  

Passo 1

Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então para a primeira:

l i m t → 0   e t - 1 t = e 0 - 1 0

Como e 0 = 1

1 - 1 0 = 0 0

Eita, caímos em uma indeterminação. Então vamos usar L’Hôpital, derivando em cima e embaixo e depois reaplicando o limite:

A derivada do numerador é:

d e t - 1 d t = e t

E a do numerador:

d t d t = 1

Assim, nosso limites se torna:

l i m t → 0   e t 1 = e 0 1 = 1

Essa foi, agora as próximas.

Passo 2

Continuando, temos a segunda componente para aplicar o limite:

l i m t → 0   1 + t - 1 t

= 1 + 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Opa, novamente uma indeterminação. Aqui o L´Hôpital vai nos dar muito trabalho, então vamos tentar outra coisa.

Vemos que há uma raiz quandrada ali, então vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do numerador. O conjugado é a mesma expressão mas com o sinal trocado. Assim o conjugado de ( 1 + t - 1 ) é ( 1 + t + 1 ) . Então:

( 1 + t - 1 ) t ∙ ( 1 + t + 1 ) ( 1 + t + 1 )

Perceba que no numerador temos a multiplicação da soma pela diferença de 1 + t   e 1 . Isso é um produto notável, que nós dá uma diferenção de quadrados do tipo:

a - b . a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso numerador ficará:

1 + t - 1 . ( 1 + t + 1 )

1 + t 2 - 1 2

Podemos cortar o quadrado com a raiz ficando com

1 + t - 1

= t

e nosso limite se transforma em:

= l i m t → 0     t t   1 + t + 1

Agora cortamos o t de cima com o de baixo:

= l i m t → 0   1 1 + t + 1

Já melhorou bastante, então vamos aplicar o limite fazendo t → 0

= l i m t → 0   1 1 + 0 + 1 = 1 2

Prontino, essa também já foi. Agora vamos para a úlitima.

Passo 3

Vamos aplicar nosso limite diretamente:

l i m t → 0   3 t + 1 = 3 0 + 1 = 3

Essa foi mais tranquila. Ufa!

Show! Concluímos que:

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t , 1 + t - 1 t , 3 t + 1   = 1 , 1 2 ,   3

Resposta

1 , 1 2 ,   3

Exercício Resolvido #7

Descreve a curva definida pela função vetorial:

r → t = ( 1 + t , 2 + 5 t , - 1 + 6 t )

  1. x = 1 + t ; y = 2 + 5 t ; z = - 1
  2. x = 1 + t ; y = 2 + 5 t
  3. x = t ; y = 2 + 5 t ; z = - 1 + 6 t
  4. x = 1 - t ; y = 2 + 5 t ; z = - 1 + 6 t
  5. x = 1 + t ; y = 2 + 5 t ; z = - 1 + 6 t

Passo 1

“Descrever” a curva é um pedido bastante genérico, mas pelas opções fica claro que a questão simplesmente quer que a gente traduza aquela parametrização para coordenadas retangulares, dizendo quem são as coordenadas x , y e z .

Nesse caso, o problema é bastante simples. As componentes sempre serão lidas na ordem, então temos: primeiro o x , depois o y e por último o z

r → t = 1 + t , 2 + 5 t , - 1 + 6 t = ( x , y , z )

Então é só igualar cada uma das componentes:

x = 1 + t

y = 2 + 5 t

z = - 1 + 6 t

E procurar a alternativa certa.

Resposta

Letra (e).

Exercício Resolvido #8

Derive a seguinte função vetorial

r t = < t sen ⁡ ( t ) , t 2 , t cos ⁡ 2 t >

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é:

r ' t = d r d t = < x ' t , y ' t , z ' t >

Perceba que fazer a derivada da função é igual a fazer a derivada de cada componente.

Então vamos começar derivando a primeira.

Passo 2

x t = t sen ⁡ ( t )

Temos aqui uma multiplicação de t por sen ⁡ ( t ) , então vamos usar a regra do produto:

d d t f t g t = f ' t g t + f t g ' ( t )

Fazendo f t = t , teremos f ' t = 1

E fazendo g t = sen ⁡ t , teremos g ' t = cos ⁡ t

Agora colocamos na regra:

d t sen ⁡ t d t = 1 sen ⁡ t + t cos ⁡ t

x ' t = sen ⁡ t + t cos ⁡ t

A primeira fica assim, agora vamos ver a segunda

Passo 3

y t = t 2

Aqui vamos usar a regra do “peteleco”. O 2 cai pra frete do t multiplicando e perde uma unidade no expoente.

y ' t = 2 t 2 - 1

y ' ( t ) = 2 t

Show, mais uma, agora só falta a última.

Passo 4

Chegou a hora de derivar a última componente

z t = t cos ⁡ 2 t

Nessa vamos precisar de duas regras, a do produto, pois temos t multiplicando o cos ⁡ 2 t . E vamos usar também a regra da cadeia pra a derivada de cos ⁡ 2 t , já que temos uma função dentro da outra, o 2 t dentro do cosseno.

A regra do produto a gente viu ainda agorinha:

d d t f t g t = f ' t g t + f t g ' ( t )

E a da cadeia, que é aquela onde a gente deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

d d t h j t = h ' j t ∙ j ' ( t )

Então vamos lá. Começando com a regra do produto pra a nossa função

z t = t cos ⁡ 2 t

Vamos fazer f t = t e f ' t = 1

Fazendo g t = cos ⁡ 2 t e g ' t precisará da regra da cadeia.

Então vamos parar tudo e abrir aspas pra calcular essa g ' ( t )

g t = cos ⁡ 2 t

Chamando h t = cos ⁡ j e j t = 2 t

Faremos h ' t = - sen ⁡ j e j ' t = 2

Agora na regra:

d d t h j t = h ' j t ∙ j ' t

d d t cos ⁡ 2 t = - sen ⁡ j ∙ 2

Por fim, substituímos o j =2t

d d t cos ⁡ 2 t = - 2 sen ⁡ 2 t

Aqui fechamos as aspas e voltamos para a regra do produto.”

Retomando, tínhamos:

z t = t cos ⁡ 2 t

Vamos fazer f t = t e f ' t = 1

Fazendo g t = cos ⁡ 2 t e g ' t = - 2 sen ⁡ 2 t

Aplicando a regra do produto:

d d t f t g t = f ' t g t + f t g ' ( t )

d d t f t g t = 1 cos ⁡ 2 t + t - 2 sen ⁡ 2 t

Ajeitando um pouco ficamos com

z ' t = cos ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ 2 t

Agora já temos as derivadas de cada componente, com isso podemos dizer que:

r ' t = < s e n t + t c o s t , 2 t , cos ⁡ 2 t - 2 t sen ⁡ ( 2 t ) >

Resposta

r ' t = < s e n t + t c o s t , 2 t , cos ⁡ 2 t - 2 t s e n 2 t >

Exercício Resolvido #9

Calcule os limites.

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k

Passo 1

Pessoal, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então faremos:

lim t → 0   ⁡ e - 3 t ,     lim t → 0   ⁡ t 2 s e n 2 t   ,     lim t → 0   ⁡ cos ⁡ 2 t

Vamos começar com a primeira. Aplicando diretamente o limite, teremos:

l i m t → 0   e - 3 t = e - 3 . 0 = e 0 = 1

Passo 2

Agora a segunda:

l i m t → 0   t 2 sen 2 ⁡ t = 0 2 sen 2 ⁡ 0 = 0 0

Apa! Caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . E para resolvê-la vamos tentar melhorar a cara dessa função. Uma coisa que pode ajudar é a gente perceber que o numerador e o denominador estão elevados ao quadrado. Então vamos colocar os dois juntos evados.

l i m t → 0   t sen ⁡ t 2

Isso ajuda a gente porque podemos jogar o limite lá pra dentro dos parênteses. Então primeiro a gente descobre o limite e depois eleva ao quadrado:

l i m t → 0   t sen ⁡ t 2

Na hora de fazer esse limite, nós cairemos de novo em uma indeterminação de 0 0 , então podemos usar a regra do L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador e só depois aplicando o limite nessas derivadas.

l i m t → 0   t sen ⁡ t = l i m t → 0   t ' ( sen ⁡ t ) '

l i m t → 0   t ' ( sen ⁡ t ) ' = l i m t → 0   1 cos ⁡ t

Então nosso limite se torna:

l i m t → 0   t sen ⁡ t 2 = l i m t → 0   1 cos ⁡ t 2

l i m t → 0   1 cos ⁡ 0 2 = 1 1 2 = 1

E encontramos o limite da segunda componente. Agora partiu pra terceira.

Passo 3

Nossa terceira compodente é

cos ⁡ 2 t

Aplicando diretamente o limite, temos:

l i m t → 0 cos ⁡ 2 t = cos ⁡ 0 = 1

E 1 novamente rs.

Então,

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k = 1 i + 1 j + 1 k

Resposta

i + j + k

Exercício Resolvido #10

Derive a seguinte função vetorial

r t = < t g ( t ) , s e c ⁡ ( t ) , 1 t 2 >

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

A derivada dessa função vetorial r ' ( t ) é feita calculando a derivada de cada componente. Assim:

r ' t = d r d t = < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos calcular a derivada da seguinte função vetorial:

r t = < tg ⁡ ( t ) , s e c ⁡ ( t ) , 1 t 2 >

Para fazer as derivadas da primeira e da segunda componente, precisamos lembrar que essas são funções que possuem derivadas tabeladas. Assim

d d t tg ⁡ ( t ) = sec 2 ⁡ ( t )

E

d d t sec ⁡ ( t ) = tg ⁡ ( t ) . sec ⁡ ( t )

Pronto, já matamos duas. Agora vamos para a terceira:

Passo 3

Nossa terceira função é

1 t 2

Para usarmos a regra do “peteleco”, vamos subir esse t 2 que está no denominador, mas pra fazer isso, lembre-se que ele precisar vir com o sinal negativo.

Então:

1 t 2 = t - 2

Agora faremos a derivada de potência, onde o expoente cai pra frente do t multiplicando e perde uma unidade.

d d t t - 2 = - 2 t - 2 - 1

- 2 t - 3

Pronto, derivamos! Mas não podemos deixar esse expoente negativo aí na nossa resposta. Então jogamos o t para baixo com expoente positivo.

Assim:

d d t 1 t 2 = - 2 t 3

Prontinho!

Por fim, juntando as derivadas de todas as componentes teremos nossa resposta:

r ' t = < sec 2 ⁡ t , sec ⁡ t t g t , - 2 t 3 >

Resposta

r ' t = < sec 2 ⁡ t , sec ⁡ t t g t , - 2 t 3 >