Introdução às Funções Vetoriais, Limites e Derivadas

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Parte 1, exemplo 1.2.1

Determine e esboce o domínio da função

F x , y = 1 y   , 1 - x

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Passo 1

Fala, pessoal, prontos para iniciar nossos estudos sobre funções vetoriais?

Primeiro de tudo, nós podemos perceber que essa é uma função bem diferente! Ela é uma função 2 em 1 ! Ela tem duas funções separadas por uma vírgula! A primeira (da esquerda) é uma função de y e a segunda (a da direita) é uma função de x .

F x , y = 1 y ⏞ f u n ç ã o d e   y   , 1 - x ⏞ f u n ç ã o d e   x

Como essa é uma função que tem duas funções dentro dela, vamos dar um nome para cada função diferente. Vamos chamar a função de y da esquerda de a y e a função de x da direita de função b x .

a y = 1 y

b x = 1 - x

Nós separamos a função vetorial em duas funções, mas precisamos entender o que o enunciado quer. Ele pediu para a gente determinar o domínio da função vetorial F ( x , y ) . Mas o que é o domínio?

O domínio são todos os valores de x e de y que não causam problema de conta nas funções a y e b x que fazem parte de F x , y .

Por exemplo, vamos ver o que acontece quando y vale 0 na função a y !

a 0 = 1 0 = 1 0

Através da equação acima, vemos que, quando y vale 0 , o valor da função a y não pode ser calculado. Isso acontece, porque y = 0 gera uma divisão por zero que é impossível de ser calculada! Em outras palavras, o valor 0 dá problema de conta na função a y ! Por isso, dizemos que 0 não faz parte do domínio de F x , y ! y tem que ser diferente de zero!

y ≠ 0

Com esse exemplo conseguimos ver que, para saber quais os valores que x e y pode ter e determinar o domínio, precisamos antes saber quais os valores que x e y não pode ter!

Então vamos procurar no próximo passo quais os outros valores que y não pode ter.

Passo 2

Nesse passo, nós vamos procurar os outros valores que y não pode ter. Para isso, precisamos descobrir os valores de y que dão problema de conta em a y !

As funções que estão dentro da função vetorial sempre dão dicas de como achar esses valores!

Por exemplo, sempre que uma raiz quadrada aparece, temos que ficar atentos!

a y = 1 y

Devemos ter atenção nela, porque raiz quadrada de número negativo não existe! A raiz quadrada de número negativo não pode ser calculada e, portanto é um problema de conta!

Como o y está dentro da raiz quadrada, ele não pode ser negativo. Isso significa que ele precisa ser maior ou igual a zero.

y ≥ 0

No entanto, já sabemos que y não pode valer zero, porque o zero também causa um erro de conta. Ou seja, y tem que ser maior que zero.

y > 0

Logo, todos os valores de y maiores que zero fazem parte do domínio!

Agora, vamos descobrir quais os valores que o x não pode ter.

Passo 3

Para descobrir quais os valores que x não pode ter, precisamos prestar atenção na raiz quadrada de b x .

b x = 1 - x

A parte de dentro dessa raiz quadrada (que nesse caso é o - x ) não pode ser negativa, porque isso levaria a um erro de conta! Ou seja, - x tem que ser maior ou igual a zero.

- x ≥ 0

Se a gente passar o x para o outro lado, vemos que:

x ≤ 0

Isso significa que, para o - x ser maior ou igual a zero, x precisa ser menor ou igual a zero.

Para saber os outros valores que x não pode ter, temos sempre que prestar atenção no denominador da fração! Esse denominador nunca pode ser zero. Caso contrário, isso levaria a uma divisão por zero e a um problema de conta.

Logo, o denominador de b x precisa ser diferente de 0 .

- x ≠ 0

Para - x ser dizerente de 0 , x tem que ser diferente de zero. Resumindo, x não pode positivo para não dar problema de cálculo com a raiz quadrada nem pode valer 0 . Ou seja, x só pode ser negativo (menor que zero).

x < 0

Logo, todos os valores de x menores que zero fazem parte do domínio!

Resumindo, o domínio da função F x , y é composto pelos valores de x < 0 e pelos valores de y > 0 .

Então, domínio de F ( x , y ) :

x < 0

y > 0

Mas calma que o exercício ainda não acabou!

Além de pedir para a gente determinar o domínio, o enunciado também pediu que a gente esboçasse o domínio.

Faremos isso agora!

Passo 4

Primeiro de tudo o que é esboçar o domínio?

Esboçar o domínio é a mesma coisa que pintar a região do plano cartesiano onde o domínio se encontra.

O plano cartesiano é formado por duas retas: a reta x e a reta y .

A reta x é como se fosse uma régua com todos os valores de x do menor para o maior. Os valores de x nessa reta crescem da esquerda para a direita. Essa reta é cortada pela reta y bem no ponto onde x = 0 . Ou seja, o lado esquerdo desse ponto de corte tem os valores negativos de x . Como os valores negativos de x fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

A reta y é como se fosse uma régua com todos os valores de y do menor para o maior. Os valores de y nessa reta crescem de cima pra baixo. Essa reta é cortada pela reta x bem no ponto onde y = 0 . Ou seja, a parte acima desse ponto de corte tem os valores positivos de y . Como os valores positivos de y fazem parte do domínio, vamos pintá-lo!

O domínio é a parte que está a esquerda da reta y e acima da reta x . Portanto, ela é a parte verde do gráfico.

Resposta

Domínio de F ( x , y ) :

x < 0

y > 0

Esboço do domínio:

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, Tradução da 7ª edição norte-americana, São Paulo :Cengage Learning, 2013, pp. 761 ex. 01

Determine o domínio das funções vetoriais.

r t = 4 - t ² ,   e - 3 t , ln ⁡ ( t + 1 )

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Passo 1

Como vocês estão, galera?

Esse é mais um exercício de determinar o domínio de uma função vetorial r t .

Como uma função vetorial tem várias funções dentro dela, podemos nomear cada uma dessas funções para a gente se organizar. A função do primeiro componente pode se chamar a t .

a t = 4 - t ²

A função do segundo componente pode se chamar b t .

b t = e - 3 t

Por fim, a função do segundo componente pode se chamar c t .

c t = ln ⁡ ( t + 1 )

Beleza, fizemos isso para deixar nossa solução mais organizada. Mas ainda resta responder uma pergunta: o que exatamente significa determinar o domínio?

Determinar o domínio é achar os valores de t que não causam problema de conta nas funções a t , b t e c t .

Para ficar mais claro o que são esses problemas de conta, vamos ver o próximo passo!

Passo 2

Para a gente achar os valores de t que não fazem as funções a t , b t e c t terem um problema de conta, a gente precisa descobrir os valores de t que causam problemas de conta.

Existem três problemas de conta muito comuns de acontecerem:

  1. Divisão por zero. Sempre que a função tiver uma fração, temos que garantir que o denominador não vale zero!
  2. d e n o m i n a d o r > 0

  3. Raiz quadrada de número negativo. Sempre que a função tiver uma raiz quadrada, temos que garantir que a parte de dentro da raiz nunca seja negativa.
  4. p a r t e   d e   d e n t r o   d a   r a i z ≥ 0

  5. log ⁡ de número menor ou igual a zero. Sempre que uma função tiver um log ⁡ , precisamos garantir que a parte de dentro do log ⁡ seja maior que zero!

P a r t e   d e   d e n t r o   d o   l o g > 0

Para achar todos os problemas de conta, temos que procurar em cada uma das três funções uma raiz quadrada, uma fração e um log ⁡ . De cara nós podemos ver que a função a t tem uma raiz quadrada. Logo, nós temos que garantir que a parte de dentro dessa raiz não seja negativa> Ou seja, essa parte de dentro precisa ser maior ou igual a zero.

4 - t 2 ≥ 0

Passando o - t 2 para o lado direito, fazemos o sinal de menos sumir.

4 ≥ t 2

A expressão acima diz que t 2 tem que ser menor ou igual a 4 . Para t 2 ser menor ou igual a 4 , t tem que ser maior ou igual a - 2 e menor ou igual a 2 !

- 2 ≤ t ≤ 2

Ou seja, 2 tem que valer entre - 2 e 2 para não causar um problema de conta na função a t .

No próximo passo, vamos verificar os valores de t que poder causar erro de conta nas funções b t e c t .

Passo 3

Vamos olhar para a função b t e procurar uma raiz quadrada, uma fração ou um log ⁡ nela. Ela não tem nada disso, certo? Logo, nenhum valor de t pode causar um erro de conta em b t .

Por fim, vamos olhar para c t . Ele tem um log ⁡ . A perte de dentro dele tem que ser maior que zero! Logo:

t + 1 > 0

Agora, vamos passar o 1 para o lado direito.

t > - 1

Isso quer dizer que o t tem que ser maior que - 1 para não causar nenhum problema de conta em c t .

Passo 4

Então a gente tem duas condições, a primeira definida em a ( t ) e a segunda definida em b ( t )

- 2 ≤ t ≤ 2

t > - 1

Vamos ver visualmente como juntar essas duas condicoes!

Então nosso intervalo é:

- 1 < t ≤ 2

Se t ficar dentro desse intervalo, ele não dá problema de conta em nenhuma das três funções que existem dentro da função vetorial r t .

Logo o domínio de r t são justamente esses valores de t !

Pronto! Determinamos o domínio!

Resposta

Dominio de r ( t ) :

- 1 < t ≤ 2

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, Tradução da 7ª edição norte-americana, São Paulo :Cengage Learning, 2013, pp. 761 ex. 04

Calcule os limites.

lim t → 1 ⁡ t 2 - t t - 1 i + t + 8   j + s e n   π t ln ⁡ t k

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Passo 1

Beleza, pessoal, o exercício quer que a gente calcule o limite desse cara enorme que tem um i , um j e um k esquisitos. Como a gente faz isso e o que são essas letras i , j e k ?

Essas três letras são usadas para mostrar que a função vetorial abaixo tem três componentes diferentes (uma para cada letra).

t 2 - t t - 1 ⏞ p r i m e i r a c o m p o n e n t e i + t + 8 ⏞ s e g u n d a c o m p o n e n t e   j + s e n   π t ln ⁡ t ⏞ t e r c e i r a c o m p o n e n t e k

Para a gente organizar nossa resolução, o primeiro passo para calcular esse limite é dar um nome diferente para cada componente.

a t = t 2 - t t - 1