Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere a função

f x , y , z = x 2 y + 3 z y - x + 3

Calcule os valores de f nos pontos:

a) 0 ,   1 ,   0

b) - 1 ,   2 ,   4

c) 3 ,   - 3 ,   3

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Passo 1

Pra cada ponto basta substituir os valores dados de x , y e z na função.

a)

f 0 ,   1 ,   0 = 0 2 . 1 + 3.0 . 1 - 0 + 3

⇒ f 0 ,   1 ,   0 = 0 + 0 - 0 + 3

⇒ f 0 ,   1 ,   0 = 3

Tranquilo? Vamos continuar!

Passo 2

b)

f - 1 ,   2 ,   4 = - 1 2 . 2 + 3.4 . 2 - - 1 + 3

⇒ f - 1 ,   2 ,   4 = 2 + 24 + 1 + 3

⇒ f - 1 ,   2 ,   4 = 30

Beleza, agora vamos pra letra c).

Passo 3

f 3 ,   - 3 ,   3 = 3 2 . - 3 + 3.3 . - 3 - 3 + 3

⇒ f 3 ,   - 3 ,   3 = - 27 - 27

⇒ f 3 ,   - 3 ,   3 = - 54

Sem mistério né?

Resposta

a) 3

b) 30

c) - 54

Exercício Resolvido #2

CEFET-RJ, P1 prof. Roberto Thomé, exercício 2

Determine e esboce o domínio de f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

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Passo 1

Essa é tranquila! O comando está bem claro, então é só colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que 0

2-O denominador da fração não pode ser 0

Passo 2

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que 0 , então, na nossa função

f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

dentro do termo

x - y 4

temos que

x - y ≥ 0

E dentro do termo

x + y

temos que

x + y ≥ 0

Por último, temos esse termos aqui

y - x 2 3

Como é uma raíz ímpar, não temos restrição nenhuma!

Passo 3

Se o denominador da fração x y x + y não pode ser 0 ...

x + y ≠ 0

Logo,

x + y ≠ 0

Só que como x + y é o argumento da raíz, ele não pode ser menor que 0 ! Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

x + y > 0

Passo 4

Agora juntamos as duas expressões que temos!

x + y > 0

Como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Veja, ficaria assim:

x + y = 0

x = - y

Essa é a reta que aponta pra baixo, passando pelo segundo e quarto quadrantes! Agora é só colocar o sinal da desigualdade de novo!

x > - y

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta x = - y , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e nao de “maior ou igual”). Enfim, encontramos isso:

e para

x - y ≥ 0

temos algo parecido. Agora teremos a reta x = y , e como o sinal é de maior ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Passo 5

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Resposta

O domínio é dado por D que é a interseção do gráfico acima

E seu esboço é:

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Encontre o domínio da função

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

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Passo 1

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele não pode valer 0.

Vamos ver como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando seu argumento é 1 , seu valor é 0 (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer 0 ,

l n   x 2 + y - 4   ≠ l n   1  

Igualando um argumento ao outro...

x 2 + y - 4 ≠ 1

Passo 2

Ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em l n   0   ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que 0 :

x 2 + y - 4 > 0

Passo 3

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram devidamente resolvidos, podemos olhar pra parte de cima da fração

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Veja, temos aqui uma raíz quadrada

y - x 2

E seu interior não poder valer menos do que 0

Assim, fica:

y - x 2 ≥ 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo!

Do passo 1 temos que

x 2 + y - 4 ≠ 1

Do passo 2 temos que

x 2 + y - 4 > 0

E, do passo 3, temos que

y - x 2 ≥ 0

Assim, nosso domínio é definido por:

D = x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Se não se sentir a vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova! Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos ( x , y ) , sendo x e y pertencendo aos reais, tais que x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0 e y - x 2 ≥ 0

Resposta

D = x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Determine a imagem de f nos seguintes casos:

a) f x , y = e x y + 2

b) f x , y = 3 - ln ⁡ x 2 + y

c) f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1

d) f x , y = e y - x - x - y

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Passo 1

É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vou fazer isso sempre, beleza?

a)

Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o R 2 . Enfim, temos:

e x y > 0

⇒ e x y + 2 > 2

Portanto, a imagem de f é o conjunto 2 , + ∞ . Tranquilo né? Vamos pra próxima!

Passo 2

b)

Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:

x 2 + y > 0

⇒ y > - x 2

Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos, positivos, todos os valores do R !

Assim,

ln ⁡ x 2 + y ∈ R ⇒ 3 - ln ⁡ x 2 + y ∈ R

Ou seja, a imagem de f é todo o R !

Passo 3

c)

Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o R 2 ).

Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o R .

Passo 4

d)

Opa, essa aqui já é mais interessante!

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, então temos:

x - y ≥ 0

⇒ x ≥ y

Então o domínio da função é o conjunto dos x , y do R 2 que respeitem essa condição.

Passo 5

Agora repare que:

x ≥ y ⇒ y - x ≤ 0

Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:

⇒ e y - x ≤ 1

Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo e y - x pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.

Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:

x - y ≥ 0

Então temos

e y - x - x - y ≤ 1

Assim, a imagem de f é o conjunto - ∞ , 1 .

Resposta

a) 2 , + ∞

b) R

c) R

d) - ∞ , 1

Exercício Resolvido #5

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 934 – 23b (modificado)

Descreva o domínio de f em palavras.

a)

f x , y , z = 25 - x 2 - y 2 - z 2

b)

f x , y , z = e x y z

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Passo 1

a)

Pra função ser definida, o termo dentro da raiz não pode ser negativo:

25 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25 = 5 2

Portanto, o domínio de f