Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere a função

f x , y , z = x 2 y + 3 z y - x + 3

Calcule os valores de f nos pontos:

a) 0 ,   1 ,   0

b) - 1 ,   2 ,   4

c) 3 ,   - 3 ,   3

Passo 1

Pra cada ponto basta substituir os valores dados de x , y e z na função.

  1. Nessa letra, ele diz que é o ponto 0,1 , 0 , ou seja x = 0 ,   y = 1 , z = 0 então onde tiver x na função vamos substituir por 0 , onde tiver y por 1 e onde tiver z substituiremos por 0 , então nossa função que é: f x , y , z = x 2 y + 3 z y - x + 3 Fica assim:
  2. f 0 ,   1 ,   0 = 0 2 . 1 + 3 . 0 . 1 - 0 + 3

    ⇒ f 0 ,   1 ,   0 = 0 + 0 - 0 + 3

    ⇒ f 0 ,   1 ,   0 = 3

    Tranquilo? Vamos continuar!

    Passo 2

  3. Vamos fazer a mesma coisa para o ponto ( - 1,2 , 4 ) , lembrando que nesse caso temos que x = - 1 , y = 2   e z = 4
  4. f - 1 ,   2 ,   4 = - 1 2 . 2 + 3 . 4.2 - - 1 + 3

    ⇒ f - 1 ,   2 ,   4 = 2 + 24 + 1 + 3

    ⇒ f - 1 ,   2 ,   4 = 30

    Beleza, agora vamos pra letra c).

    Passo 3

  5. Sem mistério né? Vamos repetir a mesma coisa para o ponto ( 3 , - 3,3 )

f 3 ,   - 3 ,   3 = 3 2 . - 3 + 3 . 3 . - 3 - 3 + 3

⇒ f 3 ,   - 3 ,   3 = - 27 - 27

⇒ f 3 ,   - 3 ,   3 = - 54

Resposta

a) 3

b) 30

c) - 54

Exercício Resolvido #2

Descreva o domínio de f em palavras.

a)

f x , y , z = 25 - x 2 - y 2 - z 2

b)

f x , y , z = e x y z

Passo 1

a)

Pra função ser definida, o termo dentro da raiz par não pode ser negativo, ou seja,

25 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

Passando - x 2 - y 2 - z 2 para outro lado ficamos com

25 ≥ x 2 + y 2 + z 2

Que é a mesma coisa que:

⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25

Essa equação lembra muito a esquação da esfera que é desse jeitão aqui:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

No caso da nossa desigualdade temos que:

5 2 = 25 → R = 5

Então se a gente pensar juntinhos podemos concluir que, o domínio de f é de uma esfera de raio 5 centrada na origem. Além do interior da esfera também temos a casca da esfera porque temos o sinal de ≤  

Passo 2

b)

Nesse caso é mais tranquilinho porque a função exponencial admite qualquer termo sem dar problema. Então o domínio dessa função é simplesmente todo o R 3 . 😊

Resposta

a)

O interior e a casca de uma esfera de raio 5 centrada na origem.

b)

Todo o R 3 .

Exercício Resolvido #3

Encontre o domínio da função

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Passo 1

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele tem que ser diferente de 0.

Vamos analisar como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando o que está dentro do l n ⁡ ( ) vale 1 , o valor de l n é 0 (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer 0 ,

l n   ( x 2 + y - 4 ) ≠ 0  

E como a gente viu que isso só pode acontecer quando:

x 2 + y - 4 ≠ 1

Passo 2

Show já achamos um ponto onde a função não existe, mas ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em l n   0   ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que 0 :

x 2 + y - 4 > 0

Passo 3

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram resolvidos direitinho, podemos olhar pra parte de cima da fração.

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Veja, temos aqui uma raiz quadrada

y - x 2

E vale lembrar que seu interior não poder valer menos do que 0

Assim, fica:

y - x 2 ≥ 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo!

Do passo 1 temos que

x 2 + y - 4 ≠ 1

Do passo 2 temos que

x 2 + y - 4 > 0

E, do passo 3, temos que

y - x 2 ≥ 0

Assim, nosso domínio é definido por:

D = x , y   ϵ   R   |   x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Se não se sentir à vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova!

Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos ( x , y ) , sendo x e y pertencendo aos reais, tais que x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0 e y - x 2 ≥ 0

Resposta

D = x , y   ϵ   R   |   x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Exercício Resolvido #4

Determine a imagem de f nos seguintes casos:

a) f x , y = e x y + 2

b) f x , y = 3 - ln ⁡ x 2 + y

c) f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1

d) f x , y = e y - x - x - y

Passo 1

É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vou fazer isso sempre, beleza?

a)

Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o R 2 . Mas para acharmos a imagem a gente tem que se ligar em uma coisa

e q u a l q u e r   c o i s a > 0

Como ele sempre vai ser maior que 0 , podemos afirmar que

e x y > 0

E isso implica que:

⇒ e x y + 2 > 2

Porque 2 + ( a l g u m a   c o i s a   p o s i t i v a ) vai ser sempre maior que 2

Portanto, a imagem de f é o conjunto 2 , + ∞ . Tranquilo né? Vamos pra próxima!

Passo 2

b)

Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:

Lembrando que na função logaritmo, o que fica dentro do l n tem que sempre ser maior que zero

x 2 + y > 0

⇒ y > - x 2

Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos, positivos, todos os valores do R ! Ou seja,

ln ⁡ q u a l q u e r   c o i s a = q u a l q u e r   c o i s a

Assim,

ln ⁡ x 2 + y ∈ R ⇒ 3 - ln ⁡ x 2 + y ∈ R

Ou seja, a imagem de f é todo o R !

Passo 3

c)

Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o R 2 ).

Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o R . 😊

Passo 4

d)

Opa, essa aqui já é mais interessante!

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, já que quando temos uma raiz par o que está dentro da raiz não pode ser menor que zero então temos:

x - y ≥ 0

⇒ x ≥ y

Então o domínio da função é o conjunto dos x , y do R 2 que respeitem essa condição.

Passo 5

Mas calma, ainda vamos achar a imagem dessa letra d) repara aqui, no passo anterior chegamos a conclusão que:

x ≥ y

Então, passando o x para o outro lado, podemos afirmar que

y - x ≤ 0

Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:

⇒ e y - x ≤ e 0

e y - x ≤ 1

Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo e y - x pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.

Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:

x - y ≥ 0

Então temos

e y - x - x - y ≤ 1

Porque como e y - x   já é menor que 1  

E ( a l g u m a   c o i s a   m e n o r   q u e   1 ) - ( a l g u m a   c o i s a   m a i o r   o u   i g u a l   q u e   z e r o ) vai ser sempre menor ou igual a 1 já que você está diminuindo um valor maior que zero ele só pode diminuir!

Assim, a imagem de f é o conjunto - ∞ , 1 .

Resposta

a) 2 , + ∞

b) R

c) R

d) - ∞ , 1

Exercício Resolvido #5

Determine e faça o esboço do domínio da função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

Passo 1

A questão é de domínio? Então vamos começar procurando pelas restrições! No nosso caso, aparentemente, não temos nenhuma a não ser o fato que o que está dentro da função logarítmo deve sempre ser maior que 0 .

Assim, não função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

temos que o argumento

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

Passo 2

Agora é só trabalhar em cima da expressão encontrada, e ver que curva ela representa:

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

Passando - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 para o outro lado ficamos com

16 > 4 x 2 + 4 y 2 + z 2

“Hmmm ainda não to conseguindo visualizar direito o que pode ser isso”, quando isso acontece a gente costuma a dividir os dois lados pelo número que ficou sozinho, ficamos com:

4 x 2 16 + 4 y 2 16 + z 2 16 < 1

E a gente pode cortar os 4 ’s e 16 ' s   nas frações de x e y , ficando com

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Passo 3

Percebe que a inequação é muito parecida com a equação de um elipsóide?

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

E encontramos

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Ou seja, nosso a = 2 , b = 2 e c = 4 ! E o sinal de “menor que” tem apenas a função de nos dizer que a função existe apenas para pontos dentro do elipsóide.

Por exemplo, se pegarmos um ponto que esteja fora dele, acharemos um valor maior do que 1 , o que torna a inequação falsa!

Passo 4

Legal, temos o nosso domínio, agora, como esboçá-lo? Temos que anular uma das variáveis e encontrar a curva no plano formado pelas outras duas. Por exemplo, anulando a variável x , ou seja, fazendo x = 0 , teremos:

0 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

y 2 4 + z 2 16 < 1

Que representa uma elipse no plano y z , com seu interior preenchido (pelo sinal de “menor que”)

Passo 5

Agora, fazendo o mesmo para y ,fazendo y = 0 , temos a curva projetada no plano x z :

x 2 4 + 0 2 4 + z 2 16 < 1

x 2 4 + z 2 16 < 1

Perceba que é uma outra elipse, exatamente como a primeira, mas em outro plano!

Passo 6

Finalmente, anulando a variável z , encontramos com z = 0 que

x 2 4 + y 2 4 + 0 2 16 < 1

x 2 4 + y 2 4 < 1

Que é a equação de uma circunferência no plano x y , pois os denominadores de x e y possuem o mesmo valor!

Passo 7

Juntando as curvas com interior preenchido que encontramos, temos como esboçar o elipsóide! Basta desenhar cada umas dessas curvas em seus respectivos plano, e depois completar com as linhas que formariam o sólido. A gente fica com isso aqui:

Tudo que está dentro desse elipsóide é nosso domínio! Muito doido né? :P

Resposta

O domínio é todo o interior do elipsoide x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Exercício Resolvido #6

Determine e esboce o domínio de f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

Passo 1

A gente precisa achar o domínio e esboça-lo, vamos por partes então!Começando por colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que 0

2-O denominador da fração não pode ser 0

Passo 2

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que 0 , então, na nossa função

f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

Vamos separar em partes! A primeira é essa aqui:

y - x 2 3

Como é uma raíz ímpar, não temos restrição nenhuma!

Agora para

x - y 4

temos uma raíz par, então precisamos que

x - y ≥ 0

Passando o - y para o outro lado, ficamos com

x ≥ y

Passo 3

Agora para nossa ultima parte da função temos que o denominador da fração x y x + y não pode ser 0

x + y ≠ 0

Logo,

x + y ≠ 0   ( p o r q u e   e s t á   n o   d e n o m i n a d o r )

Maaaas não acabamos por ai, percebe aqui comigo o denominador também é uma raíz par, então além de ser ≠ 0 , ele tambem tem que ser maior que zero.

Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

x + y ≥ 0   ( p o r   c a u s a   d a   r a í z )

Juntando as duas condições temos que

x + y > 0

x + y > 0

x > - y

Passo 4

Mas agora como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Veja, ficaria assim:

x + y = 0

x = - y

Essa é a reta que aponta pra baixo, passando pelo segundo e quarto quadrantes! Agora é só colocar o sinal da desigualdade de novo!

x > - y

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta x = - y , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e nao de “maior ou igual”). Enfim, encontramos isso:

e para

x - y ≥ 0

temos algo parecido. Agora teremos a reta x = y

E como o sinal é de maior ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Passo 5

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Resposta

O domínio é dado por D que é a interseção (a parte em comum) do gráfico acima

E seu esboço é:

Exercício Resolvido #7

Os mapas de contorno abaixo (figuras A , B e C ) correspondem a que gráficos (figura I , I I , I I I ou I V )?

  1. A → I V , B → I , C → I I
  2. A → I I , B → I V , C → I
  3. A → I , B → I I , C → I V
  4. A → I I I , B → I , C → I I
  5. A → I I , B → I I I , C → I
  6. A → I , B → I I , C → I I I

Passo 1

Opa, fala aiii! Simbora com mais uma questão de curvas de nível uhul

Mano, esse tipo de questão é totalmente visualização.

A única coisa a se fazer é tentar visualizar como são os cortes horizontais da superfície e comparar com as alternativas.

Passo 2

A curva A é aquela que cada corte vai resultar em vários círculos iguais, que é a da figura I V .

Passo 3

O mapa de contorno B visualizando os cortes vamos ver tipo uma ondinha com a “perna” na parte positiva do eixo x .

Enfim, não confunda com a alternativa I I , o gráfico certo é o I .

Passo 4

O mapa C se fizermos os cortes vamos ver tipo uma ondinha com parecido com a anterior, mas ela é simétrica, que é o gráfico I I .

Repare que o gráfico I I lembra vários paraboloides, e de fato as bolinhas do mapa de contorno C lembram as curvas de nível de um paraboloide.

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #8

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = y - ln ⁡ x

Passo 1

Opa, fala ai belezinha? Vamos seguir com nossos estudos pra ficar fera na matéria!

Pra achar as equações das curvas de nível, a gente precisa igualar a função a uma constante qualquer k :

y - ln ⁡ x = k

⇒ y = ln ⁡ x + k

Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o k .

Passo 2

Quando acrescentamos uma constante numa função, deslocamos seu gráfico na vertical. Dá uma olhada:

Vou usar o exemplo de uma função um pouco mais conhecida, que é y = cos ⁡ x , que vou desenhar em verde e y = cos ⁡ x + 2 em laranja, para mostrar como é esse deslocamento

E basicamente nessa questão vamos ter que fazer a mesma coisa, mas com a função y = ln ⁡ x , deslocando o gráfico pra cima e pra baixo!

Passo 3

O gráfico da função y = ln ⁡ x   é assim, lembra?

Agora é só deslocar o gráfico várias vezes! Ele não disse quantas exatamente, mas fazendo umas 4 ou 5 deve ficar de bom tamanho.

Passo 4

Eu fiz k valer - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 e 2 , o que resultou nesse lindo arco-íris de curvas de nível, então a gente vai desenhar o mesmo gráfico só que deslocando ele pra cima, quando k for positivo e pra baixo quando k for negativo 😊

Resposta

Exercício Resolvido #9

A temperatura em um ponto ( x , y ) de uma placa de metal plana é T x , y = 9 x 2 + 4 y 2 graus.

  1. Encontre a temperatura no ponto ( 1 ,   2 ) .
  2. Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus.
  3. Esboce a curva do item (b).

Passo 1

Opa, vamo que vamo para mais uma questão uhul!

Começando pelo item (a):

A gente vai substituir x = 1 e y = 2 para descobrir T ( 1,2 ) :

T x , y = 9 x 2 + 4 y 2

T 1,2 = 9 1 2 + 4 2 2

T 1,2 = 9 + 16

⇒ T 1,2 = 25

Show, foi de boinhas né? hehe

Passo 2

Resolvendo o item (b):

Queremos encontrar a curva em que a temperatura é constante e igual a 36 . Logo:

T x , y = 36

⇒ 9 x 2 + 4 y 2 = 36

Hmm, ainda ta meio nublado que que é essa função, vamos dividir tudo por 36 !

9 x 2 36 + 4 y 2 36 = 36 36

⇒ x 2 4 + y 2 9 = 1

Portanto, os pontos ( x , y ) que satisfazem essa equação satisfazem T x , y = 36 .

Observação: note que esses pontos são uma curva de nível da função T ( x , y ) !

Passo 3

Hmmm, essa funçãozinha ai é conhecida né? Se você não lembra, vou falar aqui pra você, a função que acabamos de encontrar é uma elipse.

Ela é centrada em ( 0,0 ) e seu gráfico é o seguinte:

Resposta

  1. T 1,2 = 25

  2. x 2 4 + y 2 9 = 1

Exercício Resolvido #10

Seja

f x , y = 2 x 2 + y 2 4 x - y 2

a) Esboce a curva de nível de f que corresponde ao nível z = 3 . Em que pontos essa curva intercepta o eixo x ?

Passo 1

Opaa, vamos continuar nossos estudos aqui que a gente tá na reta final!

Ok, ele quer a curva de nível que tem z = 3 . Então, tudo o que temos que fazer é pegar a função f x , y e igualá-la a 3 :

2 x 2 + y 2 4 x - y 2 = 3

E agora partiu ver que curva é essa! Vamos desenvolver melhor essa equação?

Passando o denominador multiplicando pro outro lado, temos:

2 x 2 + y 2 = 3 4 x - y 2

Fazendo essa distributiva, ficamos com

2 x 2 + y 2 = 12 x - 3 y 2

2 x 2 - 12 x + 4 y 2 = 0

Dividindo tudo por 2 , vamos ter:

x 2 - 6 x + 2 y 2 = 0

Passo 2

Agora, o que acha de completarmos o quadrado para o x ? Vamos pensar num produto notável com x 2 - 6 x . Vamos pensar aqui:

x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2

Uhul, vamos adicionar 9 e subtrair 9 na nossa equação, ficando com:

x 2 - 6 x + 9 - 9 + 2 y 2 = 0

x - 3 2 + 2 y 2 = 9

Vamos dividir tudo por 9 para focar com 1 do outro lado! Temos então:

x - 3 2 9 + 2 9 y 2 = 1

E pronto! Temos aí a equação de uma elipse, centrada em 3,0 !

Passo 3

Agora, analisemos o que o enunciado realmente pediu: em que ponto essa curva corta o eixo x ? Para saber disso, temos que fazer y = 0 , e então teremos o ponto pedido :)

x - 3 2 9 + 2 9 0 2 = 1

x - 3 2 = 9

Tirando a raiz quadrada dos dois lados,

x - 3 = 3                                     o u                         x - 3 = - 3

Isso da pra gente isso aqui:

x = 0   o u   x = 6

Passo 4

Mas tome muito cuidado agora!

Encontramos os pontos 0,0 e 6,0 , certo? Não!

Temos apenas o segundo, pois a origem não faz parte do domínio da função! Isso porque substituindo os valores x , y = 0 ,   0 na função temos uma divisão por zero.

Assim, temos apenas o ponto 6,0 , pois a curva não toca a origem:

Passo 5

Coloquei direto a imagem da elipse, mas se você tiver alguma dúvida de como se esboça, é só lembrar da equação geral:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Então, como nosso x 0 = 3 e y 0 = 0 , seu centro está em 3,0 . Aí para ver os semieixos, você pega, a partir do centro, + a e – a na direção x e + b e – b na direção y !

Resposta

a) Corta o eixo x no ponto 6,0 , apenas.