Derivadas Parciais e Derivadas de Ordem Superior

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.102. questão 5, MODIFICADA.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

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Passo 1

Para calcular ∂ f ∂ x consideramos y e z constantes:

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular ∂ f ∂ y consideramos x e z constantes:

∂ f ∂ y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 1 z

⇒ ∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular ∂ f ∂ z consideramos x e y constantes:

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

⇒ ∂ f ∂ z = 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y

Exercício Resolvido #2

Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

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Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 2 x + 0 ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 0 + 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 0 + 2 y ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - 2 y x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

UERJ, Cálculo II, Lista 2, Professora Renata, questão 1, item b.

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

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Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ x = e x y . 1 y ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . 2 x y . e x y

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ y = e x y . - x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . - x 2 y 2 . e x y

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Resposta

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Exercício Resolvido #4

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 1.

Determine as derivadas parciais da função

f x , y = ( x 3 + y 3 ) ( x - y )

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Passo 1

Começando pela derivada parcial em relação a x , vamos usar a regra do produto:

f x = 3 x 2 x - y + 1 x 3 + y 3

f x = 3 x 3 - 3 x 2 y + x 3 + y ³

f x = 4 x 3 + y 3 - 3 x ² y

Passo 2

Para a derivada em relação a y , vamos também usar a regra do produto.

f y = 3 y 2 x - y - 1 . ( x 3 + y 3 )

f y = 3 y 2 x - 3 y 3 - x 3 - y ³

f y = - x 3 - 4 y 3 + 3 y ² x

Resposta

f x = 4 x 3 + y 3 - 3 x ² y

f y = - x 3 - 4 y 3 + 3 y ² x

Exercício Resolvido #5

Considere a equação F x , y = c o s   ( x - 8 y )   - x e 4 y = 0 que define implicitamente x em função de y . Usando a fórmula d x d y = - F x F y , temos:

  1. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y  
  2. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y
  3. d x d y = 8   s e n x - y   +   e 4 y s e n x - 8 y   - 8 x e 4 y
  4. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y s e n x - y   - x e 4 y
  5. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y
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Passo 1

O enunciado assusta um pouco falando de relação implícita entre x e y , mas na verdade, ele só quer que a gente use a fórmula para d x d y que ele dá.

Então o que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de F ( x , y ) e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Temos que:

F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

No primeiro termo temos uma função composta (usamos a regra da cadeia) de x e no segundo, um produto entre x e uma constante. Então a derivada fica:

F x = - s e n x - 8 y   - e 4 y