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Vetor Gradiente e Derivada Direcional

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente da função

f x , y =   x 2 + 3 x y

Passo 1

Oiee! Tudo certinho? Vamos começar com os nossos exercícios de vetor gradiente!

Lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y =   f x ,   f y

Vou usar essa segunda notação aqui, mas você pode escrever como achar melhor 😊

Passo 2

Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais!

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x 2 x + 3 x y x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = x 2 x + 3 y x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 2 x + 3 y ⋅ 1

f x = 2 x + 3 y

Passo 3

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação a y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x 2 y + 3 x y y

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f y = x 2 1 x + 3 x y y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x 2 ⋅ ( 0 ) + 3 x ⋅ 1

f y = 0 + 3 x ⋅ ( 1 )

f y = 3 x

Passo 4

Então nosso vetor gradiente que é da forma ∇ f x , y =   f x ,   f y

Fica assim

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Resposta

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Calcule:

  1. ∇ f + g
  2. ∇ f - g

Passo 1

Faaala ai beleza?

Essa questãozinha é bem legal pra gente falar de algumas propriedades do vetor gradiente, são essas duas aqui:

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

∇ f + g = ∇ f - ∇ g

Passo 2

A letra a ) pede pra gente ∇ f + g que como a gente viu no passo anterior ela pode ser escrita desse jeitinho aqui

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

E o enunciado dá pra gente que

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Então podemos dizer que

∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Pra fazer essa soma, vamos somar os termos de f e g de acordo com as virgulas, então ficamos com

x + 1 + 2 + 4 y   ,   - 3 z + 4 x + 3 ,   4 - 3 y + 1

Então ficamos com

∇ f + g = ( x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3 , 5 - 3 y )

Passo 3

Agora a letra b ) pede pra gente ∇ f - g que como a gente viu no passo anterior ela pode ser escrita desse jeitinho aqui

∇ f - g = ∇ f - ∇ g

E o enunciado dá pra gente que

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Então podemos dizer que

∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

Pra fazer essa subtração, vamos diminuir os termos de f e g de acordo com as virgulas, então ficamos com

x + 1 - 2 + 4 y   ,   - 3 z - 4 x + 3 ,   4 - 3 y - 1

Muito cuidado aqui com os sinais ta bom? Fica assim ó:

( x + 1 - 2 - 4 y , - 3 z - 4 x - 3,4 - 3 y - 1 )

Então ficamos com

∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Passo 4

Resposta

  1. ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y
  2. ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Exercício Resolvido #3

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

Passo 1

Olaaa! Belezinha? Vamos continuar com os nossos exercícios de vetor gradiente!

Lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas é bom se familiarizar com as duas opções porque pode aparecer qualquer um dos casos

Passo 2

Então agora vamos precisar fazer 3 derivadas parciais, mas não se preocupa que vai dar bom hehe

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = 2 x x + 4 x y x + x z x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = 2 x x + 4 y x x + z x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 2 ⋅ 1 + 4 y 1 + z ( 1 )

f x = 2 + 4 y + z

Passo 3

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = 2 x y + 4 x y y + x z y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = 2 x 1 y + 4 x y y + x z 1 y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = 2 x 0 + 4 x ( 1 ) + x z ( 0 )

f y = 0 + 4 x + 0

f y = 4 x

Passo 4

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

f z = 2 x z + 4 x y z + x z z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = 2 x 1 z + 4 x y 1 z + x z z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = 2 x 0 + 4 x y ( 0 ) + x ( 1 )

f z = 0 + 0 + x

f z = x

Passo 5

Ufa! Conseguimos uhul

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = 2 + 4 y + z

f y = 4 x

f z = x

Temos que

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z

Passo 1

Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!

Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, fica a sua escolha

Passo 2

Primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que

x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z

O que a gente vai fazer é passar o 3 z pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver

x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z = f ( x , y , z )

Então, temos que a superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

E temos que o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Passo 3

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x y z x + x 3 x + y 3 x + z 3 x - 3 z x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = y z x x + x 3 x + y 3 1 x + z 3 1 x - 3 z 1 x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = y z ( 1 ) + 3 x 2 + y 3 ( 0 ) + z 3 ( 0 ) - 3 z ( 0 )

Então temos que

f x = y z + 3 x 2

Passo 4

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x y z y + x 3 y + y 3 y + z 3 y - 3 z y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = x z y y + x 3 ( 1 ) y + y 3 y + z 3 ( 1 ) y - 3 z ( 1 ) y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x z ( 1 ) + x 3 ( 0 ) + 3 y 2 + z 3 ( 0 ) - 3 z ( 0 )

f y = x z + 0 + 3 y 2 + 0 - 0

f y = x z + 3 y 2

Passo 5

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

f z = x y z z + x 3 z + y 3 z + z 3 z - 3 z z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = x y z z + x 3 ( 1 ) z + y 3 1 z + z 3 z - 3 z z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = x y ( 1 ) + x 3 ( 0 ) + y 3 ( 0 ) + 3 z 2 - 3 ( 1 )

f z = x y + 0 + 0 + 3 z 2 - 3

f z = x y + 3 z 2 - 3  

Passo 6

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = y z + 3 x 2

f y = x z + 3 y 2

f z = x y + 3 z 2 - 3  

Temos que

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Passo 7

b )

A superfície S 2 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Exercício Resolvido #5

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

Passo 1

Opa fala aí, tudo bem? Vamos continuar os exercícios de vetor gradiente!

Vamos começar lembrando que o vetor gradiente para uma função f ( x , y , z ) é escrito desse jeitinho aqui:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Ou, também podemos escrever assim

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Vou usar essa segunda notação aqui, mas se você preferir usar a primeira, você que escolhe 😊

Passo 2

A primeira coisa que a gente vai fazer é ajeitar essa função, temos que

x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x

O que a gente vai fazer é passar o x pro outro lado e escrever a função do jeito que a gente tá mais acostumado de ver

x x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x = f ( x , y , z )

Então, temos que a superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

E temos que o vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

Passo 3

A gente pode começar com a derivada parcial em relação à   x , lembrando que quando derivamos em relação a x , tudo que não é x é considerado como constante!

f x = x 2 4 x + y 2 9 x - z 2 x - x x

Podemos tirar tudo que não é x da derivada, ficando com

f x = 1 4 x 2 x + y 2 9 1 x - z 2 1 x - x x

E essas derivadas dão pra gente que

f x = 1 4 2 x + y 2 9 0 - z 2 ( 0 ) - ( 1 )

Podemos simplificar esse 2 x com 4 e ficamos com

f x = x 2 + 0 - 0 - 1

f x = x 2 - 1

Passo 4

Beleza, vamos agora para derivada parcial em relação à y , lembrando que quando derivamos em relação a y , tudo que não é y é considerado como constante!

f y = x 2 4 y + y 2 9 y - z 2 y - x y

Podemos tirar tudo que não é y da derivada, ficando com

f y = x 2 4 1 y + 1 9 y 2 y - z 2 1 y - x 1 y

E essas derivadas dão pra gente que

f y = x 2 4 ( 0 ) + 1 9 2 y - z 2 ( 0 ) - x ( 0 )

f y = 0 + 2 y 9 - 0 - 0

f y = 2 y 9

Passo 5

E por último nossa derivada parcial em relação à z , lembrando que quando derivamos em relação a z , tudo que não é z é considerado como constante!

Lembrando que a nossa função é

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

f z = x 2 4 z + y 2 9 z - z 2 z - x z

Podemos tirar tudo que não é z da derivada, ficando com

f z = x 2 4 1 z + y 2 9 1 z - z 2 z - x   1 z

E essas derivadas dão pra gente que

f z = x 2 4 ( 0 ) + y 2 9 ( 0 ) - 2 z - x   ( 0 )

f z = 0 + 0 - 2 z + 0

f z = - 2 z  

Passo 6

Então, como o nosso vetor gradiente é

∇ f x , y , z =   f x ,   f y , f z

E achamos que

f x = x 2 - 1

f y = 2 y 9

f z = - 2 z  

Temos que

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Exercício Resolvido #6

=Elaboração própria

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.

Passo 1

E aiii! Vamos continuar nosso estudo?

A nossa questão pede, na letra a ) , que a gente ache a direção na qual a taxa de variação no ponto P é máxima, para isso a gente precisa calcular o nosso vetor gradiente no ponto P

A gente já viu que o vetor gradiente é desse jeitão aqui

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Ou pode ser escrito assim

∇ f x , y = f x , f y