Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 2

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 921

Calcule ∬ D   x y   d A , onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y 2 = 2 x + 6 .

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Passo 1

Vamos fazer um esboço para entender melhor a questão.

Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o y , não o x , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao x .

Como o número que multiplica y 2 é positivo, ela está virada para a direita (onde x é positivo)

Fazendo x = 0 , vemos que a parábola possui raízes (corta o eixo y ):

y 2 = 6   → y = ± 6

Agora precisamos analisar a reta. Como o número que multiplica o x é positivo, ela está virada para a direita.

O que estamos fazendo é uma análise rápida das equações do domínio, você não deve se preocupar em fazer um gráfico perfeito! Isso é apenas para termos uma noção do formato da área na hora de escrevê-la.

Passo 2

Essa região pode ser escrita tanto como tipo I como II. Porém, no primeiro caso seria preciso dividi-la em duas, pois na esquerda ela está limitada em cima e embaixo pela parábola e na direita, pela parábola e pela reta. Já se escrevermos como tipo II, a questão fica mais simples, pois teremos apenas a parábola na esquerda e a reta na direita.

É importante que você faça essas análises, para evitar contas desnecessárias!

Escrevendo como tipo II, então, precisamos colocar as equações da reta e da parábola em função de y , isolando o x :

y = x - 1 → x = y + 1

y 2 = 2 x + 6 → x = ( y 2 - 6 ) 2

Assim, teremos: ( y 2 - 6 ) 2 ⏟ v e r m e l h o ≤ x ≤ y + 1 ⏟ a z u l

Para encontrar o intervalo de y , temos que fazer a interseção entre as duas funções, igualando uma à outra.

y + 1 = ( y 2 - 6 ) 2

y 2 2 - y - 4 = 0

y 2 - 2 y - 8 = 0

Resolvendo

y = - - 2 ± - 2 2 - 4 - 8 1 2.1 = 2 ± 4 + 32 2 = 2 ± 36 2 = 2 ± 6 2 = 1 ± 3

y = - 2 y = 4

Portanto, temos - 2 ≤ y ≤ 4 e nosso domínio será:

D = ( x , y ) | - 2 ≤ y ≤ 4 ; ( y 2 - 6 ) 2 ≤ x ≤ y + 1  

Passo 3

Vamos substituir esses valores na integral

∫ - 2 4   ∫ ( y 2 - 6 ) 2 y + 1 x y   d x d y

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a x :

= ∫ - 2 4   x 2 2 y x = ( y 2 - 6 ) 2 x = y + 1 d y =

= ∫ - 2 4     y + 1 2 2 y - y 2 - 6 2 4 2 y   d y =

= ∫ - 2 4 y 3 + 2 y 2 + y 2 - y 5 - 12 y 3 + 36 y 8   d y =

= ∫ - 2 4   4 y 3 + 8 y 2 + 4 y - y 5 + 12 y 3 - 36 y 8   d y =

= ∫ - 2 4   - y 5 8 + 2 y 3 + y 2 - 4 y   d y =

Passo 5

Vamos integrar, então, em relação a y :

= - y 6 48 + y 4 2 + y 3 3 - 2 y 2 y = - 2 y = 4 =

- 4096 48 + 256 2 + 64 3 - 32 - - 64 48 + 16 2 - 8 3 - 8 =

= - 64 + 128 - 32 - - 4 + 8 - 8 =

= 32 + 4 =

= 36

Resposta

36

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 169

Calcule ∬ D   x + y d x d y , onde D é o triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0).

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Passo 1

Vamos fazer um esboço desse triângulo para visualizar melhor o problema

Passo 2

Devemos, agora, escrever essa região de forma matemática. Perceba y varia entre 2 números: 0 e 1 , assim, temos 0 ≤ y ≤ 1 . Já em x , essa área é limitada na esquerda pela reta azul e na direita pela vermelha, certo? Assim, podemos escrever essa região como do tipo II, basta encontrar as equações dessas retas.

Para a reta azul

Temos dois pontos que pertencem a essa reta, ( - 1,0 ) e ( 0,1 ) , vamos substituí-los na equação geral de uma reta: y = a x + b . Teremos:

0 = - a + b 1 = b

0 = - a + 1

a = 1

Substituindo a e b , vemos que a reta será escrita como y = x + 1 . Porém, como nossa região será escrita como do tipo II, devemos isolar o x , ou seja, achar x em função de y .

x = y - 1

Para a reta vermelha

Usando o mesmo raciocínio para descobrir a equação dessa reta, vamos substituir os pontos ( 0,1 ) e ( 1,0 ) na equação geral da reta. Teremos:

1 = b 0 = a + b

a = - 1

Substituindo a e b , encontramos y = - x + 1 . Isolando novamente o x , teremos:

x = 1 - y

Assim, o domínio será escrito como:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ; y - 1 ≤ x ≤ 1 - y }

Passo 3

Agora vamos montar a integral! Basta substituir os intervalos que acabamos de encontrar.

∬ D   x + y d x d y = ∫ 0 1   ∫ y - 1 1 - y x + y   d x d y =

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x :

= ∫ 0 1   x 2 2 + x y x = y - 1 x = 1 - y d y =

= ∫ 0 1   1 - y 2 2 + 1 - y y - y - 1 2 2 + y - 1 y   d y =

= ∫ 0 1   ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 + y 2 - y   d y =

= ∫ 0 1 ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 - y 2 + y   d y =

∫ 0 1 1 2 - y + y 2 2 + y - y 2 - y 2 2 + y - 1 2 - y 2 + y   d y =

= ∫ 0 1 - 2 y 2 + 2 y   d y =

Passo 5

Vamos integrar, então, em relação a y :

= - 2 y 3 3 + 2 y 2 2 y = o y = 1 =

= - 2 × 1 3 + 1 - 0 =

Resposta

1 3

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 2 - P1 2015.1 - 1abcd

Seja R = x , y ∈ R 2   |   x ≥ y 2 ,   x + y ≤ 2 , y ≥ 1 2 .

a) Esboce R hachurando a região e ao lado a fronteira de R .

b) Seja a integral dupla

I = ∫ ∫ R F x , y d x d y

Escreva I   na forma iterada, integrando primeiro em relação a x e em seguida em relação a y .

c) Escreva I na forma da soma de duas integrais, integrando primeiro em relação a y e depois a x .

d) Agora, considere a integral dupla

I = ∫ ∫ R F x , y d x d y

em que F x , y = y e x . Calcule I pelo método que preferir.

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Passo 1

a) Vamos lá, essa é bem direta! Basta pegar as desigualdades que formam R e juntá-las!

Olhando pra primeira, temos:

x ≥ y 2

Ela nos diz que, se estamos na curva x = y 2 , que é a parábola que tem a boca apontada para o sentido positivo do eixo x e tem extremo na origem, então nossa região se encontra no interior dessa parábola! Andamos para o lado direito pois como x é “maior ou igual”, andamos para o sentido do eixo x :

Beleza, primeira desigualdade concluída!

Passo 2

Vejamos a segunda:

x + y ≤ 2

Ela nos diz que, se temos a reta x = 2 - y , então estamos do lado esquerdo da reta (pois, agora, ao contrário da parábola, o x é “menor ou igual”!). Colocando essa região no nosso esboço fica:

E, agora que você já está craque nisso, vamos colocar a terceira desigualdade no jogo! Ela é:

y ≥ 1 2

Ou seja, se temos a reta y = 1 2 , então estamos acima dela, pois y é maior ou igual a ela! Juntando no esboço que fizemos até agora, fica: