Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

Fala aí pessoal. Tudo certinho com vocês?

Bom o primeiro passo para resolver uma questão é sempre entender o que ela está pedindo, certo?

Aqui temos uma integral dupla, o que significa que ela será calculada sobre duas variáveis diferentes, a e a . Mas o que o enunciado quer é que a gente diga como é a região de integração. Então, o que temos que analisar são os limites de integração de e de que estão na integral dada.

Bora começar olhando o intervalo de integração que temos para , ou seja, o intervalo da integral de fora:

Com a separação das integrais, vemos que a que ficou na parte de fora dos colchetes está sendo calculado com o , então, assim podemos identificar os limites de integração em que são:

Como o enunciado pediu pra gente determinar no plano o esboço dessa região, já vamos delimitar lá no plano os valores de , que acabamos de identificar.

Agora já sabemos que no gráfico a região vai ficar entre essas duas retas fica assim:

Agora vamos olhar para os limites em , ou seja, a integral de dentro:

Veja que os limites indicam que nosso estão entre as curvas:

Isso quer dizer que temos as curvas e limitando nossa região. A primeira é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem:

Agora vamos ver a outra curva, .

Como temos de um lado e do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor como ficará esse gráfico, beleza?

Aqui podemos isolar o colocando ele em evidência:

Isso ajuda a gente a resolver mais rápido, pois temos uma multiplicação de por dando zero. Isso só pode acontecer se um deles for zero. Então, temos duas possibilidades

Ou,

Com as nossas duas soluções:

Essas soluções dizem pra gente onde a nossa parábola vai cortar o eixo .

Temos que ela passa, então, pelos pontos e . Vamos desenhar isso aqui:

Show de bola, temos tudo desenhado, agora vamos identificar a região de integração, lembrando que:

E

Vamos pintar a região que fica limitada por essas curvas:

E essa é nossa região de integração. Show!!

Calma calma calma, antes de tudo vamos fazer um esboço para entender melhor o que está sendo pedido! Como as duas parábolas têm o coeficiente do termo positivos, elas estão viradas para cima. Fazendo , descobriremos suas raízes.

Então vamos lá, começando com a

Isso significa que nossa parábola toca o eixo quando .

Agora vamos olhar para , fazendo:

Opa! Isso aí não vai rolar porque não podemos tirar a raiz real de um número negativo. Isso significa que a segunda parábola não possui raízes reais, portanto, não corta o eixo , beleza? Ela está acima do eixo.

Pra desenharmos ela, vamos lembrar que ela é muito parecida com a parábola . A diferença é que ela tem o . Então, pra desenharmos ela, nós desenhamos a e subimos uma unidade no eixo . Certo?

Agora que já descobrimos nossas duas parábolas, vamos colocar elas juntas em um gráfico. E vai ficar assim:

Perceba que as duas parábolas formaram uma região limitada por elas. Essa será a região de integração.

Como essa região está limitada em por duas funções (a parábola vermelha e a azul), em precisamos que ela esteja limitada por 2 números, para podermos escrevê-la como uma região do tipo I!

Já temos , sendo:

Para descobrir o intervalo em , devemos fazer e interseção entre as equações das parábolas e , ou seja, precisamos iguala-las. Assim descobriremos em que valores de a região começa e termina.

Fazendo

Jogando pro lado de cá da equação:

Tirando a raiz, teremos:

Assim, descobrimos que varia entre e (onde as curvas se encontram). Podemos, então, escrever a região como:

Vamos, então, substituir em nossa integral os valores que acabamos de encontrar para o domínio, beleza?

Mas cuidado com a ordem de integração! Lembre-se de que a variável que está variando entre funções fica na integral de dentro (no caso o , enquanto a variável que possui limites com números ficam na de fora (no caso o . Da seguinte forma:

Agora vamos integrar em relação a (integral de dentro):

Podemos simplificar o no segundo termos da solução da integral de dentro, ficando com:

Substituindo os limites de integração na variável , teremos:

Aqui vamos ajeitar um pouco, fazendo as multiplicações:

O sinal de menos na frente do parênteses faz com que os sinais dos termos que estão lá dentro sejam alterados:

Finalmente reduzimos os temos semelhantes ficando com:

Está na hora, então, de integrar em relação a :

Substituindo os limites de integração ficaremos com:

Aqui vamos tirar os parênteses e consertar os sinais:

Veja que temos algumas parcelas que se cancelam:

Juntamos os números que tem o mesmo denominador:

E agora tiramos o m.m.c.

Prontinho, e depois de tudo isso chegamos a nossa resposta!

Oie. Enunciado esquisito né? Mas vamos no passo a passo.

Pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:

Portanto, para resolver esse problema, a primeira coisa que vamos precisar é determinar os limites de integração da nossa região ! Depois é só jogar na integral, beleza? Vamos ver como!

O exercício diz que a nossa região é um triângulo com os vértices certo? Com essa informação vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:

Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo , o que ele está nos falando é que a densidade será igual a coordenada de desses pontos. Isso porque é essa coordenada que dá exatamente a distância do ponto ao eixo .

Ficou confuso? Olha esse exemplo:

Então, a densidade será escrita como:

Então, no final das contas, quem a gente realmente quer calcular é:

Agora que está tudo mais claro, vamos desenvolver o nosso problema. No nosso gráfico temos três retas delimitando a região , duas são mais fáceis de visualizar:

A terceira dá para descobrir qual é! Sabemos que ela passa pelos pontos e , né? Então é vamos usar a equação de reta:

Como temos dois ponto, vamos substituir cada um deles na equação da reta e assim vamos encontrar os coeficientes e .

No ponto (0,0):

No ponto (3,5):

Logo, substituindo e na equação original:

Vendo o gráfico pelo tipo I, concluímos que os limites de integração são:

Substituindo os valores calculados na integral temos:

Resolvendo a integral, começamos pela integral de dentro:

Substituindo os limites de integração:

Agora vamos resolver a integral que sobrou:

E assim encontramos a massa total da lâmina.

Falaa aí! Tudo certinho? Espero que sim porque vamos seguir com nosso estudo para ficar fera nessas integrais duplas do tipo 1!! 😊

Pra nossa sorte, a questão está pedindo pra gente simplesmente escrever a integral como uma integral do tipo 1, e não resolvê-la.

Então vamos lá. Precisamos lembrar que para escrever como uma integral do tipo 1, queremos o variando entre constantes, enquanto o varia entre funções, certo?

Bom, para isso então, vamos precisar separar em duas regiões:

Temos à direita a região destacada laranja e a região à esquerda destacada de rosa. Precisamos fazer isso porque a função que está na parte de baixo da região muda exatamente no ponto com .

E quando fazemos isso, estamos matematicamente ajeitando nossa integral desse jeitinho aqui:

Vamos começar vendo nossa região rosa!

Se você for observar, podemos escrever que varia na região rosa de

Já para , temos que ela está variando desde a curva de baixo (que é a curva até a curva de cima (que é a curva .

Então nossa integral da curva rosa pode ser escrita assim:

Então vamos achar quem são essas funções e em relação a

Para temos essa equação dada no enunciado:

Isolando , temos

Tirando a raiz quadrada dos dois lados temos

(só vamos usar a parte positiva porque é a parte superior da nossa circunferência A)

Fazendo a mesma coisa para , temos que

Então, achamos nossos limites! Nossa integral fica assim:

Agora para região laranja temos isso aqui

Se você for observar, podemos escrever que varia na região laranja de

Quanto à variação de , observamos que na região laranja vai de C até A.

Da mesma maneira que encontramos a função de , vamos fazer para :

Isolando

Tirando a raiz quadrada temos

(Maaaas se liga, como é a parte inferior da nossa circunferência C só vamos usar a parte negativa)

Então ficamos com:

Escrevendo a integral então ficamos:

Agora que já achamos as integrais das nossas duas áreas, vamos somá-las, lembrando que:

Então temos isso aqui:

Ufaaa! Prontinho, pessoal. Como o enunciado diz só para reescrever, não precisamos calcular (ainda bem né? Kk)

Opa, fala ai! Vamos continuar com nossos exercícios!

Deveríamos começar a questão pela integral de dentro, mas ela não parece muito simples em primeiro momento.

Vamos, então, tentar mudar essa ordem de integração para ver se a integral fica mais fácil. Mas não podemos apenas inverter as letrinhas ali não viu! Vamos com calma.

Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Temos variando de a e entre e . Você não sabe desenhar a curva ?

Faça assim: substitua e na equação e encontre os valores correspondentes de (teremos e ).

Seu gráfico não precisa ficar perfeito, só precisamos saber que a região de integração tem essa cara:

Agora vamos reescrever essa região como tipo I, lembrando que quando escrevemos a região do tipo I a gente quer que varie entre constantes e varie entre funções de .

Pelo próprio gráfico, vemos que varia entre e , portanto .

Já o valor de varia entre e a curva vermelha, vamos escrevê-la em função de (isolando o ):

Elevando os dois lados ao cubo, temos

E isso nos dá:

E assim nossa região de integração será:

Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:

Nossa, bem mais tranquilo né? 😊

Vamos, agora, partir pra cima dessa integral!

Começando pela integral de dentro

Olhando só pra ela, temos:

Como estamos integrando isso em relação a