Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Lista 21 - UERJ – Cálculo 2 – exercício 3a

Determine o esboço da região do plano x y sobre a qual a integral é calculada:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

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Passo 1

Aqui nós vamos analisar os intervalos de integração que temos para x , ou seja, o intervalo da primeira integral:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f x , y d y     d x

1 ≤ x ≤ 2

No gráfico, é o seguinte:

Passo 2

Olhando agora para y , ou seja, a integral de dentro:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f x , y d y     d x

x 2 ≤ y ≤ 4 x - x 2

Isso quer dizer que temos as curvas y = x 2 e y = 4 x - x 2 limitando nossa região. A primeira, nós sabemos que é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem, sem grandes novidades:

Agora vamos ver a outra curva, y = 4 x - x 2 .

Passo 3

Como temos y de um lado e x 2 do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de x 2 . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo 4 x , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor, beleza?

y = 4 x - x 2 = 0

Isolando o x :

x 4 - x = 0

Temos duas soluções, ou:

x = 0

Ou,

4 - x = 0

- x = - 4

x = 4

Passo 4

Com as nossas duas soluções:

x = 0 x = 4

Temos que ela passa, então, pelos pontos ( 0,0 ) e ( 4,0 ) . Vamos desenhar isso aqui:

Passo 5

Agora vamos identificar a região lembrando que:

1 ≤ x ≤ 2

Beleza?

Resposta

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE Learning, 2010, pp. 920

Calcule

∬ D   x + 2 y d A

Onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 .

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Passo 1

Calma calma calma, antes de tudo vamos fazer um esboço para entender melhor o que está sendo pedido! Como as duas parábolas têm o coeficiente do termo x 2 positivos, elas estão viradas para cima. Fazendo y = 0 , descobriremos suas raízes. Então vamos lá:

y = 0 = 2 x 2   → x = 0

y = 0 = 1 + x 2   → x 2 = - 1

A segunda parábola não possui raízes reais, portanto, não corta o eixo x , beleza? Então desenhando isso:

Passo 2

Como essa região está limitada em y por duas equações (a parábola vermelha e a azul) e em x por 2 números, podemos escrevê-la como do tipo I!

Onde em y teremos:

2 x 2 ≤ y ≤ 1 + x 2

Para descobrir o intervalo em x , devemos fazer e interseção entre as equações das parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 , ou seja, precisamos iguala-las.

2 x 2 = 1 + x 2

x 2 = 1

x = ± 1

Assim, descobrimos que x varia entre - 1 e 1 (onde as curvas se encontram). Podemos, então, escrever a região como:

D = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 ;   2 x 2 ≤ y ≤ 1 + x 2 }  

Passo 3

Vamos, então, substituir em nossa integral os valores que acabamos de encontrar para o domínio, beleza?

Mas cuidado com a ordem de integração !Lembre-se de que as funções ficam na integral de dentro, enquanto os números ficam na de fora. Da seguinte forma:

∫ - 1 1   ∫ 2 x 2 1 + x 2 x + 2 y d y d x

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a y (integral de dentro):

= ∫ - 1 1   x y + 2 y 2 2 y = 2 x 2 y = 1 + x 2 d x

= ∫ - 1 1   [ x 1 + x 2 + 1 + x 2 2 ] - x 2 x 2 + 2 x 2 2 d x =

= ∫ - 1 1 [   x + x 3 + 1 + 2 x 2 + x 4 ] - 2 x 3 + 4 x 4 d x =

= ∫ - 1 1 x + x 3 + 1 + 2 x 2 + x 4 - 2 x 3 - 4 x 4 d x =

= ∫ - 1 1 - 3 x 4 - x 3 + 2 x 2 + x + 1   d x =

Passo 5

Está na hora, então, de integrar em relação a x :

= - 3 x 5 5 - x 4 4 + 2 x 3 3 + x 2 2 + x x = - 1 x = 1 =

= - 3 . 1 5 5 - 1 4 4 + 2 . 1 3 3 + 1 2 2 + 1 - - 3 - 1 5 5 - - 1 4 4 + 2 - 1 3 3 + - 1 2 2 + - 1 =

= - 3 5 - 1 4 + 2 3 + 1 2 + 1 - 3 5 - 1 4 - 2 3 + 1 2 - 1 =

= - 3 5 - 1 4 + 2 3 + 1 2 + 1 - 3 5 + 1 4 + 2 3 - 1 2 + 1 =

= - 6 5 + 4 3 + 2 =

= - 18 + 20 + 30 15 = 32 15

Feshow!

Resposta

32 15

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m sabendo que D é a região triangular de vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) e a densidade δ em cada ponto P = x , y ∈   D é igual à distância de P ao eixo y

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Passo 1

Pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:

m = ∬ D δ x , y d A

Portanto, para resolver esse problema, vamos precisar determinar os limites de integração da nossa região D ! Depois é só jogar na integral, beleza? Vamos ver como!

Passo 2

O exercício diz que a nossa região D é um triângulo com os vértices 0,0 , 3,0 , 3,5 , certo? Mas isso não nos diz muito sobre os limites de integração, vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:

Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo y , o que ele está nos falando é que:

δ x , y = x

Então, no final das contas, quem a gente realmente quer calcular é:

m = ∬ D x   d x d y

Passo 3

Agora que está tudo mais claro, vamos desenvolver o nosso problema. No nosso gráfico temos três retas delimitando a região D , duas são mais fáceis de visualizar:

R e t a   V e r m e l h a → y = 0

R e t a   A z u l → x = 3

A terceira dá para descobrir qual é! Sabemos que ela passa pelos pontos 0,0 e ( 3,5 ) , né? Então é só usar a equação de qualquer reta:

y = a x + b

No ponto (0,0):

0 = a . 0 + b

b = 0

No ponto (3,5):

5 = 3 a + b

5 = 3 a + 0

a = 5 3

Logo, substituindo a e b na equação original:

y = 5 x 3 → R e t a   V e r d e

Passo 4

Vendo o gráfico pelo tipo I, concluímos que os limites de integração são:

0 ≤ y ≤ 5 x 3

0 ≤ x ≤ 3

Substituindo os valores calculados na integral temos:

∫ 0 3 ∫ 0 5 x 3 x d y d x

Passo 5

Resolvendo a integral:

∫ 0 3   x y y = 0 y = 5 x 3 d x =

= ∫ 0 3 5 3 x 2 - 0 x 2 d x =

= 5 3 ∫ 0 3 x 2 d x =

5 3 x 3 3 x = 0 x = 3 = 5 3 3 3 3 - 0 3 3 = 5 3 27 3 = 15

m = 15

Resposta

15

Exercício Resolvido #4

Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1