Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

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Teoria

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule o valor da integral dupla

∬ R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 } .

Passo 1

Vamos começar essa questão desmembrando a integral utilizando o Teorema de Fubini. Então,

∬ R   x - 3 y 2   d A = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

∫ 0 2 ∫ 1 2 x - 3 y 2 d y   d x

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção, beleza?

Passo 2

Agora devemos integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2   d x d y

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x = ∫ 0 2 x d x - ∫ 0 2 3 y 2 d x

Como 3 y 2   é constante,

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x = ∫ 0 2 x d x - 3 y 2 ∫ 0 2 d x

=   x 2 2 x = 0 x = 2 - 3 x y 2 x = 0 x = 2 =

= 2 2 2 - 0 2 2 - 3.2 . y 2 - 3.0 . y 2 =

= 4 2 - ( 6 y 2 ) =

= 2 - 6 y 2

Passo 3

Devemos agora, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo anterior.

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = ∫ 1 2   2   d y - ∫ 1 2   6 y 2   d y

Colocando as constantes para fora:

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = 2 ∫ 1 2     d y - 6 ∫ 1 2   y 2   d y

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = 2 y y = 1 y = 2 - 6 y 3 3 y = 1 y = 2

= 2.2 - 2.1 - 6.2 3 3 - 6.1 3 3 =

= 4 - 2 - 2 ( 8 ) - 2 ( 1 ) =

= 2 - ( 14 ) = - 12

Resposta

- 12

Exercício Resolvido #2

Calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x

Passo 1

Fala aiii, tudo bem? Aqui mós vamos integrar primiero em relação a y e depois a x , beleza? Então vamos lá!

Vamos começar integrando em relação a y :

∫ 4 - y 2 d y = ∫ 4 d y - ∫ y 2 d y = ( 4 y ) - y 3 3 + C

Como fizemos primeiro sem intervalo de integração, adicionamos a constante C no final, mas o valor dela não vai ser importante.

Passo 2

Substituindo os limties de integração:

∫ 0 2 4 - y 2 d y = 4 2 - 2 3 3 - 4 0 - 0 3 3

∫ 0 2 4 - y 2 d y = 8 - 8 3 = 16 3

Agora colocamos isso na integral dupla do enunciado:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x = ∫ 0 3 16 3   d x

Passo 3

Com isso só nos resta calcular uma última integral:

∫ 0 3 16 3   d x

Primeiro tiramos a constante:

16 3 ∫ 0 3 d x = 16 3 x x = 0 x = 3 = 16 3 3 - 0

∫ 0 3 16 3   d x = 16

Resposta

O valor da integral é 16 .

Exercício Resolvido #3

Calcule:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

Passo 1

Quando nós fazemos a integral de uma soma, a gente pode usar essa propriedade aqui:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E isso também vale para as integrais duplas! Então, no nosso caso:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x d y + ∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Beleza, agora ficamos com duas integrais bem mais simples de calcular. \o/

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x   d y

Temos que:

∫ 0 π sen ⁡ x d x   = - cos ⁡ x x = 0 x = π

Então,

∫ π 2 π - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d y = ∫ π 2 π - - 1 + ( 1 ) d y = ∫ π 2 π 2 d y

E agora é só integrar o d y :

2 ∫ π 2 π d y = 2 2 π - π = 2 π

Passo 3

Agora vamos para a segunda integral:

∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Quando integramos em relação a x , o cos ⁡ y é uma constante, então vamos começar só integrando o d x quando vai de 0 até π , ou seja,

∫ 0 π cos ⁡ y d x = ( cos ⁡ y ) ∫ 0 π d x = cos ⁡ y π - 0

∫ π 2 π cos ⁡ y π - 0 d y

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y

Passo 4

A integral de c o s ⁡ ( y ) em relação a y é s e n ⁡ ( y ) , ou seja,

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π - sen ⁡ x x = 0 x = 2 π

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π = π 0 - 0 = 0

Agora é só somar os resultados das duas integrais:

I = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

I = 2 π + 0 = 2 π

Resposta

O valor da integral é 2 π .

Exercício Resolvido #4

Calcule

∬ R   x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

Passo 1

Faaaaaaaaaaala aí, tranquilo? Vamos seguir com nosso estudo em integrais duplas uhul

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R

Ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso. Então temos que:

x ∈ - 1,1

y ∈ 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

∫ 0 π / 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

Vamos focar só nessa integral entre colchetes, por enquanto:

∫ 0 π 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x d y =

∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x

Pra resolver essa integral vamos separar em 2 integrais, lembrando que como tudo que não é x aqui pode ser considerado constante, vamos ter que

s e n y ∫ - 1 1 x   d x - y ∫ - 1 1 e x   d x

Show! Agora vamos resolver essas integrais mais tranquilinhas aí

s e n y ⋅ x 2 2 - 1 1 - y ⋅ e x - 1 1

Então ficamos com

s e n   y 2 1 2 - - 1 2 - y e 1 - e - 1

Aí temos isso aqui, lembrando que e - 1 = 1 e 1

s e n   y 2 1 - 1 - y e 1 - 1 e 1

O nosso primeiro termo vai ficar multiplicado por zero e o segundo vamos fazer a distributiva e ficamos com

s e n   y 2 0 - y e + y e

= - y e + y e

Passo 3

Agora vamos pegar esse resultado e colocar na nossa integral de fora, e ficamos com essa integral aqui:

∫ 0 π 2   - y e + y e   d y

Podemos separar em duas integrais, lembrando que e é uma constante como qualquer outro número, então temos isso aqui

- e ∫ 0 π 2   y   d y + 1 e ∫ 0 π 2   y   d y

Aí integrando isso daí temos

- e ⋅ y 2 2 0 π 2 + 1 e y 2 2 0 π 2

Substituindo isso, temos

- e ⋅ π 2 2 - 0 2 2 + 1 e π 2 2 - 0 2 2

Ficamos com

- e ⋅ π 2 4 2 + 1 e ⋅ π 2 4 2

Agora vamos ajeitar isso daí, com essa dica aqui

π 2 4 2 = π 2 4 ⋅ 1 2 = π 2 8

Então ficamos que nossa integral dupla vale

- e ⋅ π 2 8 + 1 e ⋅ π 2 8

Como a gente tem que π 2 8 nos dois termos da soma, podemos colocar ele em evidência, ficando com:

π 2 8 - e + 1 e

Resposta

π 2 8 - e + 1 e

Exercício Resolvido #5

Calcule

∬ R   x y 2 d A

na região R mostrada na figura abaixo,

Passo 1

Opa, turubom??

Vamos começar escrevendo essa região, ok? Para isso, vamos dividí-la em 3 partes:

Chamando o retângulo verde de R 1 , o amarelo de R 2 e o azul de R 3 , temos que a integral da área que a gente quer, é a soma dessas três áreas coloridas!

∬ R   x y 2 d A = ∬ R 1   x y 2 d A + ∬ R 2   x y 2 d A + ∬ R 3   x y 2 d A

Passo 2

Agora, vamos encontrar os inter valos de cada integral, de acordo com a imagem.

Para o retângulo verde, temos:

- 2 ≤ x ≤ 2 ;             1 ≤ y ≤ 2

Para o amarelo:

- 2 ≤ x ≤ - 1 ;             0 ≤ y ≤ 1

Para o azul:

1 ≤ x ≤ 2 ;             0 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Aplicando o Teorema de Fubini, temos:

∬ R   x y 2 d A = ∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y 2 d x d y + ∫ 0 1 ∫ - 2 - 1 x y 2 d x d y + ∫ 0 1 ∫ 1 2 x y 2 d x d y

Repare que a ordem dos intervalos está de acordo com a ordem dos diferenciais!

Passo 4

Agora, vamos começar resolvendo a integral de R 1 :

∬ R 1   x y 2 d A = ∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y 2 d x d y

Vamos começar fazendo a integral de dentro, essa daqui

∫ - 2 2 x y 2 d x

Nesse caso, y 2 pode ser considerado como constante, então temos

y 2 ∫ - 2 2 x d x

Então essa integralzinha fica

y 2 ⋅ x 2 2 - 2 2

y 2 ⋅ 2 2 - - 2 2 2

y 2 4 - 4 2 = y 2 ⋅ 0 2

Que dá zero 😊

Passando isso para integral de fora, temos

∫ 1 2 0 d y

E a integral de zero é

∬ R 1   x y 2 d A = 0

Vamos guardar esse resultado que mais tarde a gente vai usar ele hehe

Passo 5

Calcular a integral de R 2 :

∬ R 2   x y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ - 2 - 1 x y 2 d x d y

Vamos começar fazendo a integral de dentro, essa daqui

∫ - 2 - 1 x y 2 d x

Nesse caso, y 2 pode ser considerado como constante, então temos

y 2 ∫ - 2 - 1 x d x

Então essa integralzinha fica a mesma da anterior, mas com outros limites de integração

y 2 ⋅ x 2 2 - 2 - 1

y 2 ⋅ - 1 2 - - 2 2 2

y 2 1 - 4 2 = y 2 ⋅ - 3 2

Então vamos pegar esse - 3 y 2 2 e colocar na integral de fora! Fazendo isso ai, temos:

∫ 0 1 - 3 2   y 2 d y

E essa nossa integral fica

- 3 2 ⋅ y 3 3 0 1

Substituindo esses valores em y , temos

- 3 2 ⋅ 1 3 - 0 3 3

Que, podemos cortar os 3 ' s e simplificar em:

- 1 2

Então temos:

∬ R 2   x y 2 d A =   - 1 2

Vamos segurar esse resultado também!

Passo 6

Calcular a integral de R 3 :

∬ R 3   x y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 1 2 x y 2 d x d y

Vamos começar fazendo a integral de dentro, essa daqui

∫ 1 2 x y 2 d x

Nesse caso, y 2 pode ser considerado como constante, então temos

y 2 ∫ 1 2 x d x

Então essa integralzinha fica a mesma da anterior, mas com outros limites de integração

y 2 ⋅ x 2 2 1 2

y 2 ⋅ 2 2 - 1 2 2

y 2 4 - 1 2 = y 2 ⋅ 3 2

Então vamos pegar esse 3 y 2 2 e colocar na integral de fora! Fazendo isso ai, temos:

∫ 0 1 3 2   y 2 d y

E essa nossa integral fica

3 2 ⋅ y 3 3 0 1

Substituindo esses valores em y , temos

3 2 ⋅ 1 3 - 0 3 3

Que, podemos cortar os 3 ' s e simplificar em:

1 2

Então temos:

∬ R 3   x y 2 d A =   1 2

Vamos segurar esse resultado também!

Passo 7

Ufaaa! Terminamos essas mini áreas, mas lembra laaa do começo que:

∬ R   x y 2 d A = ∬ R 1   x y 2 d A + ∬ R 2   x y 2 d A + ∬ R 3   x y 2 d A

E achamos nos passos anteriores que

∬ R 1   x y 2 d A = 0

∬ R 2   x y 2 d A =   - 1 2

∬ R 3   x y 2 d A =   1 2

Então nossa integral de R fica:

∬ R   x y 2 d A = 0 - 1 2 + 1 2

∬ R   x y 2 d A = 0

Resposta

∬ R   x y 2 d A = 0

Exercício Resolvido #6

Calcule a integral iterada.

∫ 2 4 ∫ - 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y   d x

Passo 1

Opa, belezinha? Vamos continuar com as nossas integrais duplas 😊

Como ela já está montada, a gente vai começar resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 2 4 ∫ - 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y   d x

Passo 2

Vamos calcular a integral de dentro em relação a y (lembre-se, tome x como constante!)

Vamos focar só nessa integral entre colchetes, por enquanto:

∫ - 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y

Pra resolver essa integral vamos separar em 2 integrais, lembrando que como tudo que não é x aqui pode ser considerado constante, vamos ter que:

x 2 ∫ - 1 1 d y + ∫ - 1 1 y 2 d y

Integrando isso daí, ficamos com

x 2 ⋅ [ y ] - 1 1 + y 3 3 - 1 1

Vamos substituir esses valores onde temos y

x 2 1 - - 1 + 1 3 3 - - 1 3 3

Então temos isso aqui

x 2 2 + 1 3 + 1 3

Aí chegamos no nosso resultado da primeira integral, tendo isso aqui

2 x 2 + 2 3

Passo 3

Agora vamos pegar esse resultado que a gente achou e colocar na integral de fora

∫ 2 4 2 x 2 + 2 3   d x

E estamos integrando agora em relação a x , vamos separar essa integral em duas também e colocar as constantes para fora 😊

2 ∫ 2 4 x 2   d x + 2 3 ∫ 2 4 d x

2 ⋅ x 3 3 2 4 + 2 3 x 2 4

Agora substituindo os valores dos limites onde temos x , ficamos com

2 ⋅ 4 3 - 2 3 3 + 2 3 4 - 2

Agora, vamos lembrar rapidinho como a gente faz essa potenciação! Vou dar um exemplo aqui e a gente vai usar isso pras outras potenciações!

4 3 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64

Então ficamos com

2 ⋅ 64 - 8 3 + 2 3 2

Fazendo essas substrações temos

2 ⋅ 56 3 + 2 3 ⋅ 2

Agora fazendo essas multiplicações ai, temos que

112 3 + 4 3

Como a gente tem duas frações com o mesmo denominador, podemos somar os numeradores, e ai ficamos com

112 + 4 3 = 116 3

Então temos que

∫ 2 4 ∫ - 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y   d x = 116 3

Resposta

∫ 2 4 ∫ - 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y   d x = 116 3

Exercício Resolvido #7

Calcule a integral iterada.

∫ 1 3 ∫ 0 1 ( 1 + 4 x y ) d x   d y

Passo 1

Faaala aí, tudo certinho? Vamos seguir com nossos estudos!

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente começa separando elas em duas integrais, a de dentro e a de fora:

∫ 1 3 ∫ 0 1 1 + 4 x y   d x d y

A gente começa resolvendo a integral de dentro, como uma integral simples e depois pegamos o resultado e colocamos na integral de fora, belezinha?

Passo 2

Então vamo lá!! Vamos começar olhando a integral de dentro só, que é essa daqui

∫ 0 1 1 + 4 x y   d x

Podemos ver que estamos integrando em relação a x ! Então tudo que não for x pode ser considerado como constante! Podemos separar em duas integrais e jogar as constantes que estão multiplicando pra fora, para ficar mais fácil de ver!

Ficamos com:

∫ 0 1 1   d x + 4 y ∫ 0 1 x   d x

Isso nos dá

x + 4 y x 2 2 0 1

Substituindo x pelos limites que temos, ficamos com

1 + 4 y 1 2 2 - 0 - 4 y 0 2 2

Fazendo umas simplificações, temos

1 + 2 y

Passo 3

Aaaaaa, beleza! Vamos seguir agora pegando esse resultado e aplicando na integral de fora!

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 1 3 1 + 2 y   d y

Integrando isso daí, ficamos com:

y + 2 y 2 2 1 3

Simplificando ficamos com:

y + y 2 1 3

Agora, substituindo os valores temos:

= 3 + 3 2 - 1 - 1 2

= 10

Beleza?

Resposta

10

Exercício Resolvido #8

Calcule a integral iterada.

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x   d y

Passo 1

Opaaa, fala aí! Vamo que vamo nos nossos estudos de integrais para ficar fera!

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d x   d y

Ficando com duas integrais simples, a de dentro, que vamos resolver como uma integral simples e depois pegar o resultado que achamos e colocar na integral de fora

= ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8   d x d y

Passo 2

Vamos começar então com a integral de dentro, em relação a x

∫ 0 1 2 x + y 8   d x

Lembre-se de que, quando estamos integrando em relação a x , podemos tratar y como uma constante.

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples:

2 x + y = u

2 d x = d u

d x = d u 2

Agora substituindo isso na integral, temos isso aqui

∫ u 8 d u 2

Isso nos dá

u 9 9 ⋅ 1 2 = u 9 18

Agora, voltando pra nossa expressão inicial, temos

2 x + y 9 18 0 1

2 1 + y 9 18 - 2 0 + y 9 18

Isso nos da

2 + y 9 18 - y 9 18

Passo 3

Agora que já resolvemos a integral de dentro, vamos pegar esse resultado e colocar na nossa integral de fora!! Ficamos com isso aqui:

∫ 0 2 2 + y 9 - y 9 18   d y

Vamos separar em duas integrais, galerinha!

1 18 ⋅ ∫ 0 2 2 + y 9   d y - ∫ 0 2 y 9   d y

Na primeira integral, vamos fazer uma substituição simples, que vai nos da

2 + y = u

d y = d u

1 18 ⋅ ∫ u 9   d u - ∫ 0 2 y 9   d y

Como a gente já fez antes, vamos integrar isso dai e voltar para nossa expressão inicial, ficando com

1 18 2 + y 10 10 - y 10 10 0 2

Podemos jogar esse 10 dividindo, para fora! Multiplicando 1 10 com 1 18 temos

1 180 2 + y 10 - y 10 0 2

Substituindo os valores, temos:

1 180 2 + 2 10 - 2 10 - 2 + 0 10 + 0 10

Agora vamos ajeitar isso dai!

= 1 180 4 10 - 2 10 - 2 10

Usando a nossa melhor amiga, calculadora, temos que:

= 1046528 180

Simplificando esse monstrinho temos:

= 261632 45

Ficou bem feinho mas é isso ai hehe!

Resposta

261632 45

Exercício Resolvido #9

Calcule a integral dupla da função f x , y = x sen ⁡ y + y e x y sobre o retângulo R = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1 , - π ≤ y ≤ π .

Passo 1

Opa, tudo bom? Vamo que vamo pro nosso exercício!

Bom, aqui a questão é bem direta né, precisamos calcular a integral dupla dessa função f x , y e o enunciado já nos deu os limites de integração.

Precisamos tomar cuidado aqui de aplicar os limites de x em d x e os de y em d y .

Como assim?

Olha só aqui, se quisermos integrar primeiro em x , ou seja d x d y , a integral fica assim

∫ - π π ∫ 0 1 f x , y d x d y

Viu que a integral de fora está com os limites de y e a integral de dentro com os limites de x , né?

Agora se quisermos integrar primeiro em y , com d y d x , como fica?

∫ 0 1 ∫ - π π f x , y d y d x

Passo 2

Vamos ver nessa questão aqui que é mais fácil integrar primeiro em x por causa desse termo y e x y , vamos fazer isso então:

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y

Vamos separar a integral em duas pra ficar mais fácil

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y = ∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y + ∫ - π π ∫ 0 1 y e x y d x d y

Passo 3

Vamos começar olhando a primeira integral dupla!

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y

Vamos começar olhando só a integral de dentro

∫ 0 1 x sen ⁡ y d x

Como estamos integrando em relação a x temos isso aqui:

s e n   y ⋅ ∫ 0 1 x   d x

Isso da

s e n   y ⋅ x 2 2 0 1

s e n   y 2

Agora vamos pegar isso e aplicar na integral de fora!

= 1 2 ∫ - π π sen ⁡ y d y

Integrando em relação a y

1 2 - cos ⁡ y - π π

= - 1 2 - 1 - - 1 = 0

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y = 0

Show, achamos a primeira integral mas ainda falta a segunda!

Passo 4

Vamos pra segunda agora

∫ - π π ∫ 0 1 y e x y d x d y

Pra integrar isso aí vamos fazer uma substituição simples

u = x y

Derivando em relação a x

d u = y   d x

Vamos precisar substituir os limites também, olha só

x = 1 → u = 1 ⋅ y = y

x = 0 → u = 0 ⋅ y = 0

Voltando pra integral, olha como aparecem todos esses termos aí

∫ - π π ∫ 0 1 e x y ⏞ u y d x ⏟ d u d y

= ∫ - π π ∫ 0 y e u d u d y

Agora sim podemos integrar isso aí

∫ - π π e u 0 y d y

Substituindo os valores dos limites, temos:

= ∫ - π π e y - e 0 d y

∫ - π π e y - 1 d y

Integrando em relação a y

e y - y - π π

= e π - π - e - π + π

= e π - e - π - 2 π

Passo 5

Por fim, juntando as duas integrais que calculamos

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y = ∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y + ∫ - π π ∫ 0 1 y e x y d x d y

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y = 0 + e π - e - π - 2 π

= e π - e - π - 2 π

Resposta

e π - e - π - 2 π

Exercício Resolvido #10

Se

f x , y = 10.000 e y 1 + x 2

representar a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano x y , onde x e y são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo 0 ≤ x ≤ 5 e - 2 ≤ y ≤ 0 .

Passo 1

Vamos pensar: se f ( x , y ) é a densidade populacional em termos de área, f representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto ( x , y ) . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.

Temos o seguinte:

P = ∬ R   f ( x , y ) d A = ∬ R   10.000 e y 1 + x 2 d A

Onde R é o retângulo - 5 ≤ x ≤ 5 e - 2 ≤ y ≤ 0 .

Passo 2

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

∬ R   10.000 e y 1 + x 2   d A = ∫ 0 5 ∫ - 2 0 10.000 e y 1 + x 2 d y   d x

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d x e o da de dentro, com d y . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.

Passo 3

Agora você deve integrar em relação a y ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando x como constante).

= ∫ 0 5 ∫ - 2 0 10.000 e y 1 + x 2   d y d x =

Como x é constante, podemos tirar 10000 1 + x 2 da integral, fica assim

= 10.000 1 + x 2 ∫ - 2 0 e y d y

= 10.000 1 + x 2 e y y = - 2 y = 0

= 10.000 1 + x 2 e 0 ⏟ 1 - e - 2

= 10.000 1 + x 2 ( 1 - e - 2 )

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x :

∫ 0 5 10.000 1 + x 2 ( 1 - e - 2 )

Tirando as constantes da integral

= 10.000 1 - e - 2 ∫ - 5 5 1 1 + x 2 d x =

Para fazer essa integral, vamos fazer uma substituição simples

1 + x 2 = u

d x 2 = d u

d x = 2 d u

Então ficamos com

10.000 1 - e - 2 ∫ 1 u 2 d u

Isso nos dá

10.000 1 - e - 2 ⋅ 2 l n ⁡ | u |

Voltando para nossa expressão inicial, temos que

10.000 1 - e - 2 ⋅ 2 ln ⁡ x 2 + 1 0 5

Passo 5

Agora, vamos ver a outra integral

∫ 0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

∫ 1 1 + x 2 d x

Aqui, vamos fazer a seguinte substituição

1 + x 2 = u

Assim

d x 2 = d u → d x = 2 d u

Assim, temos

∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 u 2 d u = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u

Voltando para x

2 ln ⁡ u = 2 ln ⁡ 1 + x 2

Agora, olhando para os limites de integração, temos:

∫ 0 5 1 1 + x 2 d x = 2 ln ⁡ 1 + x 2 x = 0 x = 5

= 2 ln ⁡ 1 + 5 2 - 2 ln ⁡ 1 ⏟ 0

= 2 ln ⁡ 7 2

Passo 6

Voltando para a integral que tínhamos

10.000 1 - e - 2 ⋅ ∫ 0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos colocar o resultado

10.000 1 - e - 2 ∫ - 5 0 1 1 - x 2 d x + ∫ 0 5 1 1 + x 2 d x

= 10.000 1 - e - 2 2 ln ⁡ 7 2 =

20.000 1 - e - 2 ln ⁡ 7 2

Resposta

20.000 1 - e - 2 ln ⁡ 7 2