Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 915

Calcule o valor da integral dupla

∬ R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 } .

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Passo 1

Vamos começar essa questão desmembrando a integral utilizando o Teorema de Fubini. Então,

∬ R   x - 3 y 2   d A = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

∫ 0 2 ∫ 1 2 x - 3 y 2 d y   d x

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção, beleza?

Passo 2

Agora devemos integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2   d x d y

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x = ∫ 0 2 x d x - ∫ 0 2 3 y 2 d x

Como 3 y 2   é constante,

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x = ∫ 0 2 x d x - 3 y 2 ∫ 0 2 d x

=   x 2 2 x = 0 x = 2 - 3 x y 2 x = 0 x = 2 =

= 2 2 2 - 0 2 2 - 3.2 . y 2 - 3.0 . y 2 =

= 4 2 - ( 6 y 2 ) =

= 2 - 6 y 2

Passo 3

Devemos agora, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo anterior.

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = ∫ 1 2   2   d y - ∫ 1 2   6 y 2   d y

Colocando as constantes para fora:

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = 2 ∫ 1 2     d y - 6 ∫ 1 2   y 2   d y

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y = 2 y y = 1 y = 2 - 6 y 3 3 y = 1 y = 2

= 2.2 - 2.1 - 6.2 3 3 - 6.1 3 3 =

= 4 - 2 - 2 ( 8 ) - 2 ( 1 ) =

= 2 - ( 14 ) = - 12

Resposta

- 12

Exercício Resolvido #2

Origem do Exercício

Calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x

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Passo 1

Fala aiii, tudo bem? Aqui mós vamos integrar primiero em relação a y e depois a x , beleza? Então vamos lá!

Vamos começar integrando em relação a y :

∫ 4 - y 2 d y = ∫ 4 d y - ∫ y 2 d y = ( 4 y ) - y 3 3 + C

Como fizemos primeiro sem intervalo de integração, adicionamos a constante C no final, mas o valor dela não vai ser importante.

Passo 2

Substituindo os limties de integração:

∫ 0 2 4 - y 2 d y = 4 2 - 2 3 3 - 4 0 - 0 3 3

∫ 0 2 4 - y 2 d y = 8 - 8 3 = 16 3

Agora colocamos isso na integral dupla do enunciado:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x = ∫ 0 3 16 3   d x

Passo 3

Com isso só nos resta calcular uma última integral:

∫ 0 3 16 3   d x

Primeiro tiramos a constante:

16 3 ∫ 0 3 d x = 16 3 x x = 0 x = 3 = 16 3 3 - 0

∫ 0 3 16 3   d x = 16

Resposta

O valor da integral é 16 .

Exercício Resolvido #3

Origem do Exercício

Calcule:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

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Passo 1

Quando nós fazemos a integral de uma soma, a gente pode usar essa propriedade aqui:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E isso também vale para as integrais duplas! Então, no nosso caso:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x d y + ∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Beleza, agora ficamos com duas integrais bem mais simples de calcular. \o/

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x   d y

Temos que:

∫ 0 π sen ⁡ x d x   = - cos ⁡ x x = 0 x = π

Então,

∫ π 2 π - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d y = ∫ π 2 π - - 1 + ( 1 ) d y = ∫ π 2 π 2 d y

E agora é só integrar o d y :

2 ∫ π 2 π d y = 2 2 π - π = 2 π

Passo 3

Agora vamos para a segunda integral:

∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Quando integramos em relação a x , o cos ⁡ y é uma constante, então vamos começar só integrando o d x quando vai de 0 até π , ou seja,

∫ 0 π cos ⁡ y d x = ( cos ⁡ y ) ∫ 0 π d x = cos ⁡ y π - 0

∫ π 2 π cos ⁡ y π - 0 d y

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y

Passo 4

A integral de c o s ⁡ ( y ) em relação a y é s e n ⁡ ( y ) , ou seja,

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π - sen ⁡ x x = 0 x = 2 π

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π = π 0 - 0 = 0

Agora é só somar os resultados das duas integrais:

I = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

I = 2 π + 0 = 2 π

Resposta

O valor da integral é 2 π .

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 164

Calcule

∬ R   x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

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Passo 1

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R , ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso.

x ∈ - 1,1

y ∈ 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

∫ 0 π / 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

∫ 0 π 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x d y =

∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x

= x 2 2 s e n   y - y e x - 1 1

= 1 2 sen ⁡ y - y e - 1 2 sen ⁡ y - y e

= - y e + y e

Passo 3

Integraremos, então, em relação a y :

∫ 0 π 2   - y e + y e   d y

= - e y 2 2 + y 2 2 e y = 0 y = π 2 =

= 1 2 - e π 2 4 + π 2 4 e - 0 =

Resposta

π 2 8 - e + 1 e