Função Degrau
Teoria
Módulo 3
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-45. MODIFICADO
Se tem o seguinte gráfico:
Então qual a expressão da função a seguir?
Passo 1
Falaa aí, tudo joia?
Olha só o gráfico. É como se pegássemos e simplesmente cortássemos no ponto e removêssemos tudo antes.
Pra representarmos esse tipo de mudança em uma função, vamos sempre usar uma função degrau.
Uma função degrau centrada em é zero à esquerda do ponto e à direita. Assim:
Passo 2
Então é só multiplicar por esta função. Como não sabemos que função é essa, vamos deixar mesmo! Vai ficar:
Ou seja:
E pronto! Essa é a expressão da função do segundo gráfico😊
Resposta
Exercício Resolvido #2
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-49. MODIFICADO
Se tem o seguinte gráfico:
Então qual a expressão da função a seguir?
Passo 1
Opa! Essa é parecida com a questão 1.
Agora temos o contrário aqui. A função é até e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo.
Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em , garantimos essa condição:
Olha só aqui no gráfico:
No primeiro gráfico temos a função , e no segundo a função com o degrau. Veja que se diminuirmos a segunda da primeira, chegamos no terceiro gráfico, que é exatamente o gráfico da nossa questão!
Passo 2
O termo a esquerda só é igual a para e é zero para então garantimos que a o gráfico será igual a:
E é isso! Essa é a expressão do segundo gráfico😉
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-46. MODIFICADO
Se tem o seguinte gráfico:
Então qual a expressão da função a seguir?
Passo 1
Olá! Vamos ver mais esses gráficos aqui!
Agora os gráficos só são iguais no intervalo . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para . Então:
É só colocar um degrau em que a gente garante isso:
Onde é a função degrau.
Até esse pedaço, temos esse gráfico aqui:
Passo 2
Mas repare que ela volta a ser zero para . Então:
Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em , garantimos essa condição:
Repara que se tiramos naquele gráfico ali do Passo 1 o pedaço de pra frente, a gente chega nesse aqui:
Que, juntando com a condição do passo anterior, o gráfico é:
Essa então é a expressão do gráfico! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #4
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 178, exercício 9
Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
E aí, tudo beleza?
Olha só, precisamos escrever em função de , para podermos calcular a transformada.
Vamos primeiro desenhar essa função:
Passo 2
Repare que isso é o mesmo que:
A função da figura da esquerda vale zero até e depois tem valor igual à equação da reta, , então, podemos escrevê-la como .
A função da direita vale zero até e depois vale . Então, podemos escrevê-la como .
Como a função do problema é a diferença entre essas duas, temos:
Precisamos calcular a transformada disso aí agora. Como temos dois ’s diferentes, vamos calcular cada transformada separadamente.
Passo 3
- Para
- Para
Precisamos encontrar a partir de . Temos a seguinte fórmula:
Sabemos que
Para se tornar , temos que substituir por , não é? Então vamos somar onde tem , olha só:
Pronto, descobrimos , agora basta substituir na fórmula:
Passo 4
Precisamos encontrar a partir de . Temos a seguinte fórmula:
Sabemos que
Para se tornar , temos que substituir por , então vamos fazer isso para os dois lados da equação:
Pronto, descobrimos , agora basta substituir na fórmula:
Nota: Cuidado! As duas funções degrau e estavam multiplicadas pela mesma função , mas a que encontramos para cada uma delas era diferente. Isso acontece porque para cada caso chamamos essa função de e esse “” não é o mesmo nos dois casos.
Passo 4
Temos, então:
Agora é só calcular as transformadas!
Substituindo esses valores, temos:
E prontinho!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Função Degrau
Calcule a transformada de Laplace da função
Passo 1
Opa! Tudo bem?
Vamos primeiro reescrever a função , observando que a parte do só é introduzida para . Assim, temos:
Passo 2
Então, para calcular a transformada, sabemos que:
Mas, com o deslocamento de :
Passo 3
Combinando os resultados:
Prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #6
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 178, exercícios 2 e 11
Esboce o gráfico da função dada no intervalo e encontre sua transformada de Laplace.
Passo 1
Olá! Tudo bem?
Vamos primeiro desenhar essa função. Temos o seguinte:
Juntando todas essas informações, temos:
- De a ,
- De a ,
- De em diante,
Passo 2
Temos, então, o seguinte gráfico:
Passo 3
Agora vamos calcular a transformada dessa função.
Sabemos que
- Para a primeira transformada
- Para a segunda transformada
Temos
Logo
Isso nos dá
Passo 4
Temos
Logo
Isso nos dá
Passo 4
Temos, então, o seguinte:
Vamos resolver essa expressão.
Substituindo esses valores:
Prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFRJ - Cálculo 4 - P1 2014.1 - 3ª
Calcular a transformada de Laplace da função definida por
Passo 1
Precisamos de um esboço para escrevermos como função degrau. O gráfico dessa função é um negócio assim:
Você sabia disso? Pois é, eu também não, acabei de descobrir : ) A verdade é que não precisamos saber como é a função , só precisamos saber onde ela começa, para podermos raciocinar.
Então, vamos usar um desenho qualquer para essa função, ok? Pois não fazemos ideia de como ela seja:
Passo 2
Agora vamos escrever como função degrau. Como temos uma função que vale até e passa a valer a partir de , podemos escrever o seguinte:
Isso quer dizer que:
Pronto, isso que queremos!
Passo 3
Agora vamos calcular , como o problema pediu. Temos o seguinte:
Aplicando para o nosso problema:
Precisamos, então, achar . Temos o seguinte:
Então, para encontrarmos temos que somar onde tem :
Como:
Assim, temos:
Passo 4
Precisamos agora resolver essa expressão. Vamos rearrumar isso aqui:
Sabemos do seguinte:
Como temos uma exponencial multiplicando o cosseno, essa transformada será deslocada. Vamos usar a seguinte fórmula:
Substituindo esse valor, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Adaptada
Determine a transformada de Laplace da função.
Passo 1
Bem, a primeira coisa a fazer é o traçado da função cosseno de até . A função é sempre senoidal, mas vamos determinar uns pontos para nos ajudar. OBS: estamos fazendo isso inicialmente pra visualizarmos com o que estamos trabalhando, tranquilo?
Ok, já temos uma base boa. Tracejando:
Para a função vale zero, então traçamos a constante zero:
E tá feito nosso gráfico.
Passo 2
Legal, como temos uma função definida por partes, vamos tentar representá-la por meio de funções degrau.
A função seguia livremente até que desaparece em . Isso significa que tem um degrau multiplicando a mesma função que subtrai e começa em :
Vamos agora determinar a transformada dessa função. Aplicando a transformada, temos:
Usando as propriedades da transformada:
Vamos olhar para cada transformada. Por tabela, temos que:
Assim, comparando temos e, portanto:
OK. Agora vamos para:
Temos que:
Comparando, . Então:
Então:
Então:
Agora vamos abrir esse cosseno:
Juntando tudo:
Resposta
Exercício Resolvido #9
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável a transformada é válida.
Passo 1
Vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau!
Ora...
Vamos ter que colocar um degrau em de tal forma que a partir dele a gente fique apena com , que tal assim?:
Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre e , o degrau de , a partir de ele é e fazendo a mágica acontecer !
Passo 2
Show, aplicando então a transformada de Laplace...
Vamos calcular cada um deles separados primeiro!
Passo 3
Primeiro...
Onde
Passo 4
Agora vamos para...
Pow! Para aplicar o degrau precisamos de
Ter . Por sorte...
Então...
Onde
Passo 5
Por último...
Como
Onde
Passo 6
Assim...
Onde mesmo.
Resposta
Exercício Resolvido #10
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável a transformada é válida.
Passo 1
Bem, calcular a transformada do módulo não rola, né? Então que tal transformar o módulo em uma definição de função por partes?
Bem
Se fizermos um esboço dessa parábola aí para ter uma ideia, ganhamos o seguinte:
Ora! O módulo elimina o negativo da função, então...
Beleza, agora como é...
Então...
Passo 2
Agora vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau !
Ora...
Vamos ter que colocar um degrau em e um degrau em de tal forma que a partir de a gente fique apena com , que tal assim?:
Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre e , o degrau de , a partir de ele é e fazendo a subtração acontecer !
Como a transformada do degrau é:
Então seria legal se transformássemos:
Passo 3
Aplicando Laplace...
Pow, então vamos calcular cada um separadamente!
Passo 4
Como ...
aqui.
Passo 5
Bem, quando temos um multiplicando, calculemos assim:
Então...
aqui.
E
Pela fórmula...
Aqui .
Então...
Então concluímos que .
Passo 6
Por último...
Já calculamos...
.
Passo 7
Então, concluímos que....
Como ...