Função Degrau

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-45. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

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Passo 1

Olha só o gráfico. É como se pegássemos f ( t ) e simplesmente cortássemos no ponto t = a e removêssemos tudo antes.

Uma função degrau centrada em x = a é zero à esquerda do ponto e 1 à direita. Então é só multiplicar f ( t ) por esta função.

f t μ a ( t )

Ou:

f t μ 0 ( t - a )

Resposta

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-49. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

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Passo 1

Agora temos o contrário aqui. A função é f ( t ) até t = a e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo. É só a função por ela multiplicada pelo degrau em t = a :

f t - f t μ a ( t )

O termo a esquerda só é igual a f t para t < a e é zero para t > a então garantimos que a o gráfico será igual a:

f t , t < a 0 ,           t ≥ a

Resposta

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-46. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

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Passo 1

Agora os gráficos só são iguais no intervalo [ a , b ] . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para t < a . Então:

0 ,   t < a

É só colocar um degrau em t = a que a gente garante isso:

f t μ a ( t )

Por enquanto é isso. Mas ela volta a ser zero para t > b . 0 ,   t > b

Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em t = b , garantimos essa condição:

f t μ a t - f t μ b ( t )

Que garante:

0 , t < a f t , a ≤ t < b 0 , t ≥ b

Resposta

Exercício Resolvido #4

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 178, exercício 9

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f t = 0 ,                                                 t < π t - π ,             π ≤ t < 2 π 0 ,                                             t ≥ 2 π

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Passo 1

Precisamos escrever y ( t ) em função de u c t , para podermos calcular a transformada.

Vamos primeiro desenhar essa função:

Repare que isso é o mesmo que:

A função da figura da esquerda vale zero até t = π e depois tem valor igual à equação da reta, ( t - π ) , então, podemos escrevê-la como u π t [ t - π ] .

A função da direita vale zero até t = 2 π e depois vale ( t - π ) . Então, podemos escrevê-la como u 2 π t [ t - π ] .

Como a função do problema é a diferença entre essas duas, temos:

y t = u π t t - π - u 2 π t [ t - π ]

Precisamos calcular a transformada disso aí agora. Como temos dois u c ’s diferentes, vamos calcular cada transformada separadamente.

L y t s = L u π t - π s - L u 2 π t - π s

Passo 2

  1. Para L u π t - π s
  2. Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

    L [ u π t - π ⏟ f t - π ] ( s ) = e - π s L [ f t ] ( s )

    Sabemos que

    f t - π = t - π

    Para f ( t - π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + π ) , não é? Então vamos somar π onde tem t , olha só:

    f t = t + π - π = t

    Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

    L u π t - π s = e - π s L t ( s )

  3. Para L u 2 π t - π s

Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

L [ u 2 π t - π ⏟ f t - 2 π ] ( s ) = e - 2 π s L [ f t ] ( s )

Sabemos que

f t - 2 π = t - π

Para f ( t - 2 π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + 2 π ) , então vamos fazer isso para os dois lados da equação:

f t = t + 2 π - π = t + π

Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

L u 2 π t - 2 π s = e - 2 π s L t + π ( s )

Nota: Cuidado! As duas funções degrau u π e u 2 π estavam multiplicadas pela mesma função ( t - π ) , mas a f ( t ) que encontramos para cada uma delas era diferente. Isso acontece porque para cada caso chamamos essa função de f ( t - c ) e esse “ c ” não é o mesmo nos dois casos.

Passo 3

Temos, então:

L y t s = e - π s L t ( s ) ⏟ L u π t - π s - e - 2 π s L t + π ( s ) ⏟ L u 2 π t - 2 π s

Agora é só calcular as transformadas!

L t s = 1 s 2

L t + π s = 1 s 2 + π s = 1 + π s s 2

Substituindo esses valores, temos:

L y t s = e - π s s 2 - e - 2 π s 1 + π s s 2

Resposta

e - π s s 2 - e - 2 π s 1 + π s s 2

Exercício Resolvido #5

Função Degrau

Calcule a transformada de Laplace da função

f t = cos ⁡ 2 t ,     0 ≤ t < π cos ⁡ 2 t + s e n   ( t - π ) ,     t ≥ π

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Passo 1

Vamos primeiro reescrever a função f ( t ) , observando que a parte do s e n   ( t - π ) só é introduzida para t ≥ π . Assim, temos:

f t = cos ⁡ 2 t + s e n   t - π u π t

Passo 2

Então, para calcular a transformada, sabemos que:

L cos ⁡ 2 t = s s 2 + 4

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

Mas, com o deslocamento de π :

  L sen ⁡ t - π u π ( t ) = 1 s 2 + 1 e - π s

Passo 3

Combinando os resultados:

L { f t } = L { cos ⁡ 2 t } + L { s e n   t - π u π t }

L f t = s s 2 + 4 + e - π s s 2 + 1

Resposta

L f t = s s 2 + 4 + e - π s s 2 + 1

Exercício Resolvido #6

UFRJ - Cálculo 4 - P1 2014.1 - 3ª

Calcular a transformada de Laplace da função f definida por

f t = 0 ,                   s e   0 ≤ t < π / 2 e t sen ⁡ t ,     s e   t ≥ π / 2

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Passo 1

Precisamos de um esboço para escrevermos f ( t ) como função degrau. O gráfico dessa função é um negócio assim: