Teoria

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

Passo 1

Falaa aí, tudo joia?

Olha só o gráfico. É como se pegássemos f ( t ) e simplesmente cortássemos no ponto t = a e removêssemos tudo antes.

Pra representarmos esse tipo de mudança em uma função, vamos sempre usar uma função degrau.

Uma função degrau μ a ( t ) centrada em x = a é zero à esquerda do ponto e 1 à direita. Assim:

μ a t = 0 ,   s e   x < a 1 ,   s e   x ≥ a

Passo 2

Então é só multiplicar f ( t ) por esta função. Como não sabemos que função é essa, vamos deixar f ( t ) mesmo! Vai ficar:

f t μ a ( t )

Ou seja:

0 ,   s e   x < a f t ,   s e   x ≥ a

E pronto! Essa é a expressão da função do segundo gráfico😊

Resposta

0 ,   s e   x < a f t ,   s e   x ≥ a

Exercício Resolvido #2

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

Passo 1

Opa! Essa é parecida com a questão 1.

Agora temos o contrário aqui. A função é f ( t ) até t = a e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo.

Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em t = a , garantimos essa condição:

f t - f t μ a ( t )

Olha só aqui no gráfico:

No primeiro gráfico temos a função f ( t ) , e no segundo a função com o degrau. Veja que se diminuirmos a segunda da primeira, chegamos no terceiro gráfico, que é exatamente o gráfico da nossa questão!

Passo 2

O termo a esquerda só é igual a f t para t < a e é zero para t > a então garantimos que a o gráfico será igual a:

f t , t < a 0 ,           t ≥ a

E é isso! Essa é a expressão do segundo gráfico😉

Resposta

f t , t < a 0 ,           t ≥ a

Exercício Resolvido #3

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

Passo 1

Olá! Vamos ver mais esses gráficos aqui!

Agora os gráficos só são iguais no intervalo [ a , b ] . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para t < a . Então:

0 ,   t < a

É só colocar um degrau em t = a que a gente garante isso:

f t μ a ( t )

Onde μ a ( t ) é a função degrau.

Até esse pedaço, temos esse gráfico aqui:

Passo 2

Mas repare que ela volta a ser zero para t > b . Então:

0 ,   t > b

Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em t = b , garantimos essa condição:

f t μ a t - f t μ b ( t )

Repara que se tiramos naquele gráfico ali do Passo 1 o pedaço de b pra frente, a gente chega nesse aqui:

Que, juntando com a condição do passo anterior, o gráfico é:

0 , t < a f t , a ≤ t < b 0 , t ≥ b

Essa então é a expressão do gráfico! 😊

Resposta

0 , t < a f t , a ≤ t < b 0 , t ≥ b

Exercício Resolvido #4

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f t = 0 ,                                                 t < π t - π ,             π ≤ t < 2 π 0 ,                                             t ≥ 2 π

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, precisamos escrever y ( t ) em função de u c t , para podermos calcular a transformada.

Vamos primeiro desenhar essa função:

Passo 2

Repare que isso é o mesmo que:

A função da figura da esquerda vale zero até t = π e depois tem valor igual à equação da reta, ( t - π ) , então, podemos escrevê-la como u π t [ t - π ] .

A função da direita vale zero até t = 2 π e depois vale ( t - π ) . Então, podemos escrevê-la como u 2 π t [ t - π ] .

Como a função do problema é a diferença entre essas duas, temos:

y t = u π t t - π - u 2 π t [ t - π ]

Precisamos calcular a transformada disso aí agora. Como temos dois u c ’s diferentes, vamos calcular cada transformada separadamente.

L y t s = L u π t - π s - L u 2 π t - π s

Passo 3

  1. Para L u π t - π s
  2. Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

    L [ u π t - π ⏟ f t - π ] ( s ) = e - π s L [ f t ] ( s )

    Sabemos que

    f t - π = t - π

    Para f ( t - π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + π ) , não é? Então vamos somar π onde tem t , olha só:

    f t = t + π - π = t

    Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

    L u π t - π s = e - π s L t ( s )

    Passo 4

  3. Para L u 2 π t - π s

Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

L [ u 2 π t - π ⏟ f t - 2 π ] ( s ) = e - 2 π s L [ f t ] ( s )

Sabemos que

f t - 2 π = t - π

Para f ( t - 2 π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + 2 π ) , então vamos fazer isso para os dois lados da equação:

f t = t + 2 π - π = t + π

Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

L u 2 π t - 2 π s = e - 2 π s L t + π ( s )

Nota: Cuidado! As duas funções degrau u π e u 2 π estavam multiplicadas pela mesma função ( t - π ) , mas a f ( t ) que encontramos para cada uma delas era diferente. Isso acontece porque para cada caso chamamos essa função de f ( t - c ) e esse “ c ” não é o mesmo nos dois casos.

Passo 4

Temos, então:

L y t s = e - π s L t ( s ) ⏟ L u π t - π s - e - 2 π s L t + π ( s ) ⏟ L u 2 π t - 2 π s

Agora é só calcular as transformadas!

L t s = 1 s 2

L t + π s = 1 s 2 + π s = 1 + π s s 2

Substituindo esses valores, temos:

L y t s = e - π s s 2 - e - 2 π s 1 + π s s 2

E prontinho!

Resposta

e - π s s 2 - e - 2 π s 1 + π s s 2

Exercício Resolvido #5

Calcule a transformada de Laplace da função

f t = cos ⁡ 2 t ,     0 ≤ t < π cos ⁡ 2 t + s e n   ( t - π ) ,     t ≥ π

Passo 1

Opa! Tudo bem?

Vamos primeiro reescrever a função f ( t ) , observando que a parte do s e n   ( t - π ) só é introduzida para t ≥ π . Assim, temos:

f t = cos ⁡ 2 t + s e n   t - π u π t

Passo 2

Então, para calcular a transformada, sabemos que:

L cos ⁡ 2 t = s s 2 + 4

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

Mas, com o deslocamento de π :

  L sen ⁡ t - π u π ( t ) = 1 s 2 + 1 e - π s

Passo 3

Combinando os resultados:

L { f t } = L { cos ⁡ 2 t } + L { s e n   t - π u π t }

L f t = s s 2 + 4 + e - π s s 2 + 1

Prontinho! 😊

Resposta

L f t = s s 2 + 4 + e - π s s 2 + 1

Exercício Resolvido #6

Esboce o gráfico da função dada no intervalo t ≥ 0 e encontre sua transformada de Laplace.

f t = t - 3 u 2 t - t - 2 u 3 ( t )

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Vamos primeiro desenhar essa função. Temos o seguinte:

Juntando todas essas informações, temos:

  1. De 0 a 2 , y = 0 - 0 = 0
  2. De 2 a 3 , y = t - 3 - 0 = t - 3
  3. De 3 em diante, y = t - 3 - t - 2 = - 1

Passo 2

Temos, então, o seguinte gráfico:

Passo 3

Agora vamos calcular a transformada dessa função.

L t - 3 u 2 t - t - 2 u 3 ( t ) s = L ( t - 3 ) u 2 t s - L ( t - 2 ) u 3 t s

Sabemos que

L u c f t - c s = e - c s L f t ( s )

  1. Para a primeira transformada
  2. L ( t - 3 ) u 2 t s = e - 2 s L f t ( s )

    Temos

    f t - 2 = t - 3

    Logo

    f t = t + 2 - 3 = t - 1

    Isso nos dá

    L ( t - 3 ) u 2 t s = e - 2 s L t - 1 ( s )

    Passo 4

  3. Para a segunda transformada

L ( t - 2 ) u 3 t s = e - 3 s L f t ( s )

Temos

f t - 3 = t - 2

Logo

f t = t + 3 - 2 = t + 1

Isso nos dá

L ( t - 2 ) u 3 t s = e - 3 s L t + 1 ( s )

Passo 4

Temos, então, o seguinte:

L f t s = e - 2 s L t - 1 s - e - 3 s L t + 1 ( s )

Vamos resolver essa expressão.

L t - 1 s = 1 s 2 - 1 s = 1 - s s 2

L t + 1 s = 1 s 2 + 1 s = 1 + s s 2

Substituindo esses valores:

L f t s = e - 2 s 1 - s s 2 - e - 3 s 1 + s s 2

Prontinho! 😊

Resposta

e - 2 s 1 - s s 2 - e - 3 s 1 + s s 2

Exercício Resolvido #7

Calcular a transformada de Laplace da função f definida por

f t = 0 ,                   s e   0 ≤ t < π / 2 e t sen ⁡ t ,     s e   t ≥ π / 2

Passo 1

Precisamos de um esboço para escrevermos f ( t ) como função degrau. O gráfico dessa função é um negócio assim:

Você sabia disso? Pois é, eu também não, acabei de descobrir : ) A verdade é que não precisamos saber como é a função e t sen ⁡ t , só precisamos saber onde ela começa, para podermos raciocinar.

Então, vamos usar um desenho qualquer para essa função, ok? Pois não fazemos ideia de como ela seja:

Passo 2

Agora vamos escrever f ( t ) como função degrau. Como temos uma função que vale 0 até t = π / 2 e passa a valer e t s e n   t a partir de t = π / 2 , podemos escrever o seguinte:

f t = u π 2 t [ e t sen ⁡ t ]

Isso quer dizer que:

p a r a   t < π 2       f ( t ) = 0 × e t sen ⁡ t = 0 p a r a   t ≥ π 2     f t = 1 e t sen ⁡ t = e t sen ⁡ t  

Pronto, isso que queremos!

Passo 3

Agora vamos calcular L f t ( s ) , como o problema pediu. Temos o seguinte:

L u c g t - c s = e - c s L g t ( s )

Aplicando para o nosso problema:

L [ u π / 2 e t sen ⁡ t ⏟ g ( t - π / 2 ) ] s = e - π s / 2 L g t ( s )

Precisamos, então, achar g ( t ) . Temos o seguinte:

g t - π / 2 = e t sen ⁡ t

Então, para encontrarmos g ( t ) temos que somar π / 2 onde tem t :

g t = e t + π / 2 sen ⁡ t + π 2

Como:

sen ⁡ t + π 2 = sin ⁡ t cos ⁡ π 2 + sin ⁡ π 2 cos ⁡ t = cos ⁡ ( t )

g t = e t + π / 2 cos ⁡ ( t )

Assim, temos:

L f t s = L [ u π 2 e t sen ⁡ ( t ) ] s = e - π s / 2 L e t + π / 2 cos ⁡ ( t ) ( s )

Passo 4

Precisamos agora resolver essa expressão. Vamos rearrumar isso aqui:

L f t s = e π 2 ( 1 - s ) L e t cos ⁡ ( t ) ( s )

Sabemos do seguinte:

L cos ⁡ t s = s s 2 + 1

Como temos uma exponencial multiplicando o cosseno, essa transformada será deslocada. Vamos usar a seguinte fórmula:

L e c t f t s = L f t ( s - c )

L e t cos ⁡ t s = L cos ⁡ t s - 1 = s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1

Substituindo esse valor, temos:

L f t s = e π 2 ( 1 - s ) s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1

Resposta

L f t s = e π 2 ( 1 - s ) s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1

Exercício Resolvido #8

Determine a transformada de Laplace da função. f x = cos ⁡ π x ,       0 ≤ x < 1 0 ,       1 ≤ x

Passo 1

Bem, a primeira coisa a fazer é o traçado da função cosseno de x = 0 até x = 1 . A função é sempre senoidal, mas vamos determinar uns pontos para nos ajudar. OBS: estamos fazendo isso inicialmente pra visualizarmos com o que estamos trabalhando, tranquilo?

cos ⁡ 0 π = cos ⁡ 0 = 1

cos ⁡ 1 2 π = 0

cos ⁡ 1 π = cos ⁡ π = - 1

Ok, já temos uma base boa. Tracejando:

Para x > 1 a função vale zero, então traçamos a constante zero:

E tá feito nosso gráfico.

Passo 2

Legal, como temos uma função definida por partes, vamos tentar representá-la por meio de funções degrau.

A função cos ⁡ π x seguia livremente até que desaparece em x = 1 . Isso significa que tem um degrau multiplicando a mesma função que subtrai cos ⁡ π x e começa em x = 1 :

f x = cos ⁡ π x - cos ⁡ π x u 1 t

Vamos agora determinar a transformada dessa função. Aplicando a transformada, temos: L f x = L cos ⁡ π x - cos ⁡ π x u 1 x

Usando as propriedades da transformada:

L f x = L cos ⁡ π x - L cos ⁡ π x u 1 x

Vamos olhar para cada transformada. Por tabela, temos que: L cos ⁡ a x = s s 2 + a 2

Assim, comparando temos a = π e, portanto:

L cos ⁡ π x = s s 2 + π 2

OK. Agora vamos para:

L cos ⁡ π x u 1 x

Temos que:

L f ( x - c ) u c x = e - c s L f ( x )

Comparando, c = 1 . Então:

f x - c = f x - 1 = cos ⁡ π x

cos ⁡ π x - π + π = cos ⁡ π x - 1 + π = f ( x - 1 )

Então:

f x = cos ⁡ π x + π = cos ⁡ π x + 1

Então:

L cos ⁡ π x u 1 x = e - s L cos ⁡ π x + 1

Agora vamos abrir esse cosseno:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ π x + 1 = cos ⁡ π x + π = cos ⁡ π x cos ⁡ π - s e n π x   s e n π

cos ⁡ π x + 1 = - cos ⁡ π x

L cos ⁡ π x u 1 x = e - s L - cos ⁡ π x

L cos ⁡ π x u 1 x = - e - s s s 2 + π 2

Juntando tudo:

L f x = L cos ⁡ π x - L cos ⁡ π x u 1 x

L f x = s s 2 + π 2 - e - s s s 2 + π 2

Resposta

L f x = s s 2 + π 2 + e - s s s 2 + π 2

Exercício Resolvido #9

Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

  f 5 t = cos ⁡ 2 t ,             s e   0 ≤ t < π e t - π   ,         s e   t ≥ π

Passo 1

Vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau!

Ora...

f 5 t = cos ⁡ 2 t ,             s e   0 ≤ t < π e t - π   ,         s e   t ≥ π       →      

Vamos ter que colocar um degrau em π de tal forma que a partir dele a gente fique apena com t 2 - 1 , que tal assim?:

f 5 t = 1 - u π t cos ⁡ 2 t + u π t e t - π     →

f 5 t = cos ⁡ 2 t - u π t cos ⁡ 2 t + u π t e t - π     →

Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre 0 e 1 , o degrau de 1 - u π t = 1 , a partir de π 1 - u π t = 0   ele é u π t = 1 e fazendo a mágica acontecer !

Passo 2

Show, aplicando então a transformada de Laplace...

L 1 - u π t cos ⁡ 2 t + u π t e t - π   = L cos ⁡ 2 t - L u π t cos ⁡ 2 t + L u π t e t - π  

Vamos calcular cada um deles separados primeiro!

Passo 3

Primeiro...

L cos ⁡ 2 t = s s 2 + 2 2 =

s s 2 + 4

Onde s > - 2

Passo 4

Agora vamos para...

L u π t cos ⁡ 2 t

Pow! Para aplicar o degrau precisamos de

L u a f t - a = e - a s L f t

Ter cos ⁡ 2 t - π . Por sorte...

cos ⁡ 2 t - 2 π = cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 π + sin ⁡ 2 t sin ⁡ 2 π =

cos ⁡ t

Então...

L u π t cos ⁡ 2 t = L u π t   cos ⁡ 2 t - π =

e - π s L cos ⁡ 2 t =

s e - π s s 2 + 4

Onde s > - 2

Passo 5

Por último...

L u π t e t - π   = e - π s L e t

Como L e t = 1 s - 1

L u π t e t - π   = e - π s s - 1

Onde s > 1

Passo 6

Assim...

F 5 s = L cos ⁡ 2 t - L u π t cos ⁡ 2 t + L u π t e t - π   →

F 5 s = s s 2 + 4 - s e - π s s 2 + 4 + e - π s s - 1

Onde s > 1 mesmo.

Resposta

F 5 s = s s 2 + 4 - s e - π s s 2 + 4 + e - π s s - 1 ,   s > 1

Exercício Resolvido #10

Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

  f 4 t = t 2 - 1 ,   t ≥ 0

Passo 1

Bem, calcular a transformada do módulo não rola, né? Então que tal transformar o módulo em uma definição de função por partes?

Bem

t 2 - 1 = 0   →       t 2 = 1   →

t = ± 1     →

Se fizermos um esboço dessa parábola aí para ter uma ideia, ganhamos o seguinte:

t 2 - 1 < 0     →         - 1 < t < 1              

t 2 - 1 ≥ 0     →         t ≥ 1   e   t ≤ - 1

Ora! O módulo elimina o negativo da função, então...

t 2 - 1 = - t 2 - 1   ,         - 1 < t < 1 t 2 - 1 ,               t ≥ 1   e   t ≤ - 1

Beleza, agora como f 4 é...

f 4 t = t 2 - 1 ,   t ≥ 0

Então...

f 4 t = - t 2 - 1   ,         0 ≤ t < 1 t 2 - 1 ,               t ≥ 1

Passo 2

Agora vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau !

Ora...

f 4 t = - t 2 - 1   ,         0 ≤ t < 1 t 2 - 1 ,               t ≥ 1       →      

Vamos ter que colocar um degrau em 0 e um degrau em 1 de tal forma que a partir de 1 a gente fique apena com t 2 - 1 , que tal assim?:

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 u 1 t t 2 - 1

Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre 0 e 1 , o degrau de u 1 t = 0 , a partir de 1 ele é u 1 t = 1 e fazendo a subtração acontecer !

Como a transformada do degrau é:

L u a f t - a = e - a s F s

Então seria legal se transformássemos:

t 2 - 1 = t + 1 t - 1   →

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 t + 1 u 1 t t - 1   →

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 t + 2 u 1 t t - 1   →

f 4 t = - u 0 t t 2 - 1 + 2 t u 1 t t - 1 + 2 u 1 t t - 1

Passo 3

Aplicando Laplace...

L - u 0 t t 2 - 1 + 2 t u 1 t t - 1 + 2 u 1 t t - 1 =

- L u 0 t t 2 - 1 + 2 L t u 1 t t - 1 + 2 L u 1 t t - 1

Pow, então vamos calcular cada um separadamente!

Passo 4

L u 0 t t 2 - 1 =

Como f t - 0 = t 2 - 1 ...

e 0 s L t 2 - 1 =

2 ! s 3 - 1 s

s > 0 aqui.

Passo 5

L t u 1 t t - 1

Bem, quando temos um t multiplicando, calculemos assim:

L t n g t = - 1 n d n d s n L g t   →

Então...

L t u 1 t t - 1 = - 1 1 d d s L u 1 t t - 1

s > 0 aqui.

E

L u 1 t t - 1

Pela fórmula...

L u a f t - a = e - a s F s   →

L u 1 t t - 1 = e - s ⋅ L t = e - s s 2

Aqui s > - 1 .

Então...

L t u 1 t t - 1 = - 1 1 d d s e - s s 2 =

- s 2 - e - s - e - s ⋅ 2 s s 4 =

- - s 2 e - s - 2 s e - s s 4 =

e - s s + 2 s 3

Então concluímos que s > 0 .

Passo 6

Por último...

L u 1 t t - 1

Já calculamos...

L u 1 t t - 1 = e - s s 2

s > - 1 .

Passo 7

Então, concluímos que....

F 4 s = - L u 0 t t 2 - 1 + 2 L t u 1 t t - 1 + 2 L u 1 t t - 1 →

F 4 s = - 2 ! s 3 - 1 s + 2 e - s s + 2 s 3 + 2 e - s s 2 →

F 4 s = - 2 ! s 3 - 1 s + 4 e - s s 2 + 4 e - s s 3

Como s > 0 ...

Resposta

F 4 s = - 2 ! s 3 - 1 s + 4 e - s s 2 + 4 e - s s 3 ,     s > 0