Transformada Inversa

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2011.1 Santos – 2a

Usar a fórmula L ∫ 0 t f τ d τ = F s s (cf. tabela) para calcular a inversa da transformada de Laplace de:

G s = 1 s ( s 2 - 1 )

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Passo 1

Vamos primeiro reescrever a função G ( s ) de uma forma útil pra gente:

G s = 1 s 1 s 2 - 1 = F s s

Se chamarmos com F s = 1 s 2 - 1 , fica direitinho que nem no enunciado 😊

Passo 2

Agora vamos calcular a inversa de F ( s ) usando frações parciais.

Como isso? É mais de boinhas do que parece!

Olha que s 2 - 1 = ( s + 1 ) ( s - 1 ) , então dá para fatorar o denominador e reescrever assim:

F s = 1 s 2 - 1 = 1 s + 1 s - 1 = A s + 1 + B s - 1

Para achar as constantes, é bem fácil: a gente vai somar as frações em um denominador comum e igualar o numerador a seu valor original ( 1 ).

F s = A s + 1 + B s - 1 = A s - 1 + B ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ) = A s - A + B s + B ( s + 1 ) ( s - 1 )

E a gente vai separar desse jeitinho aqui:

s A + B + ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

E a gente faz uma comparação direta:

1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) = s ( A + B ) ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

A + B = 0 B - A = 1  

Resolvendo esse sisteminha temos que!

A =   - 1 / 2 B = 1 / 2  

Portanto,

F s = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1

E a transformada inversa é

f t = - 1 2 e - t + 1 2 e t

Passo 3

Vamos agora usar a fórmula dada:

L ∫ 0 t f τ d τ = F s s

Onde f ( τ )   = - 1 2 e - τ + 1 2 e τ e F ( s ) = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1 .

Como G s = F s s , temos que a inversa é

g t = ∫ 0 t f τ d τ

Passo 4

Calculando g ( t ) , temos:

g t = ∫ 0 t - 1 2 e - τ + 1 2 e τ d τ

- 1 2 * - e - τ + 1 2 + e τ 0 t

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1 2 * e 0 + 1 2 * e 0  

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1 2 + 1 2

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

Resposta

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-20.

Calcule:

L - 1 5 s s - 2 3

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Passo 1

Frações parciais? Não precisa. É só usar um algebrismo malandro.

Vamos começar tirando esse 5 ai, porque ele só vai atrapalhar a gente hehe

5 s s - 2 3 = 5 * s s - 2 3

Show agora o que a gente vai fazer é achar um jeitinho de tirar esse s do numerador pra gente conseguir chegar em algo parecido da nossa tabela

5 * s - 2 + 2 s - 2 3

Agora olha esse bizu, vamos separar essa fração desse jeitinho aqui:

5 * s - 2 s - 2 3 + 2 s - 2 3

Não esquecendo que o 5 multiplica as duas frações!

Agora simmm! Podemos dar uma olhada melhor em cada uma das frações, por enquanto vamos esquecer esse 5 e no final a gente multiplica tudo por ele, belezinha?

Passo 2

Para o primeiro termo, podemos simplificar:

s - 2 s - 2 3 = 1 s - 2 2

E o segundo termo é aquele mesmo

2 s - 2 3

Então vai ficar:

L - 1 s s - 2 3 = L - 1 1 s - 2 2 + L - 1 2 s - 2 3

Passo 3

Lembramos agora que:

L t = 1 s 2

Tá, mas e aí? Não tá igual. Sim, mas estamos perto. A inversa que temos é a inversa acima deslocada.

E o que desloca a transformada? A exponencial, vou te lembrar aqui como é:

L e a t f t = L { f ( t ) } ( s - a )

Então, nossa equação é

L e 2 t t = 1 s - 2 2

É como se a = 2 , então vamos escrever a nossa Laplace inversa (que como a gente viu no começo desse passo, ela vale t ) multiplicando por e 2 t , então ficamos com isso aqui

⟹ L - 1 1 s - 2 2 = t e 2 t

Passo 4

Para a outra, temos a mesma coisa, mas para n = 2 :

L t 2 = 2 s 3

E anossa equação é

2 s - 2 3

A gente vai usar o mesmo bizu e multiplicar a Laplace inversa (agora ela é t 2 ) por e a t , onde o a = 2

L - 1 2 s - 2 3 = t 2 e 2 t

Juntando tudo:

L - 1 s s - 2 3 = t e 2 t + t 2 e 2 t

Maaas ainda não acabou! Temos que multiplicar tudo por 5 ficando com

5 * t e 2 t + t 2 e 2 t

Fazendo a distributiva, temos que:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Resposta

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-20.

Calcule:

L - 1 5 s s - 2 3

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Passo 1

Frações parciais? Não precisa. É só usar um algebrismo malandro. Repare que:

5 s s - 2 3 = 5 ⋅ s - 2 + 2 s - 2 3 = 5 ⋅ s - 2 s - 2 3 + 5 ⋅ 2 s - 2 3

Passo 2

Para o primeiro termo, podemos simplificar:

5 ⋅ s - 2 s - 2 3 = 5 ⋅ 1 s - 2 2

Então vai ficar:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 L - 1 1 s - 2 2 + 5 L - 1 2 s - 2 3

Passo 3

Lembramos agora que:

L t = 1 s 2

Tá, mas e aí? Não tá igual. Sim, mas estamos perto. A inversa que temos é a inversa acima deslocada. E o que desloca a transformada? A exponencial!

L e a t f t = L { f ( t ) } ( s - a )

Então:

L e 2 t t = 1 ( s - 2 ) 2 ⟹ L - 1 1 s - 2 2 = t e 2 t

Passo 4

Para a outra, temos a mesma coisa, mas para n = 2 :

L t 2 = 2 s 3 ⟹ L e 2 t t 2 = 2 s - 2 3 ⟹ L - 1 2 s - 2 3 = t 2 e 2 t

Juntando tudo:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Resposta

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Exercício Resolvido #4

UERJ – Cálculo 3 – Lista 8 – Prof. Paula Clemente – 4f

Ache a transformada inversa da função dada:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

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Passo 1

Eita que cara estranha, a parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4

Esse denominador aí não tem raízes reais, então vamos tentar escrevê-lo no formato:

s + a 2 + b = s 2 + 2 a + ( a 2 + b )

Passo 2

Comparando com o nosso denominador, obtemos:

a = 1 ; b = 4

Então:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 s + 2 s + 1 2 + 4

Passo 3

Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada?? Vamos colocar mais um molecão em evidência aqui:

2 s + 2 s + 1 2 + 4 = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Sempre que você ver essa função deslocada, esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja:

2 s s 2 + 4