Transformada Inversa
Teoria
Módulo 3
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2011.1 Santos – 2ª (adaptada)
Calcule a inversa da transformada de Laplace de:
Passo 1
Fala aii! Tudo certinho? Estão preparados para começar os trabalhos em transformada inversa? Então vamos lá!
Primeira coisa que vamos fazer é analisar a nossa função
Hmmm não parece nada do que temos na tabelinha clássica de Transformadas né? Então vamos ajeitar essa nossa função! Usando as famosas frações parciais.
Como isso? É mais de boinhas do que parece!
Olha que , então dá para fatorar o denominador e reescrever assim:
Passo 2
Para achar as constantes, é bem fácil: a gente vai somar as frações em um denominador comum e igualar o numerador a seu valor original.
Aplicando a distributiva, ficamos com:
E a gente vai separar os termos que têm dos que não tem, ficando com isso aqui:
E a gente faz uma comparação direta:
Resolvendo esse sisteminha temos que:
Portanto,
E a transformada inversa é
Resposta
Exercício Resolvido #2
Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Faaala ai! Vamos começar essa questão de derivadas parciais para ficar fera!
Pra isso a gente vai começar calculando . Lembra que quando fazemos essa derivada parcial, ela é em relação à então tudo diferente de é considerado como constante.
Xiii... Como que eu faço essa derivada doida aí? Cara, quando tivermos uma fração que não da pra tirar nem o numerador e o denominador, vamos usar a regra do quociente, ela é assim:
Então nossa derivada fica
Parece um monstro de sete cabeças, né? Kkkkk Mas relaxa que a gente vai fazer passo a passo isso aí e vai ficar mais tranquilo.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada.
Como a gente já viu, o vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada mais da direita.
De novo, vale como constante porque estamos derivando em relação a , então ficamos com:
Passo 4
Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.
Ajeitando pra ficar mais bonitinho temos isso aqui:
Agora, aplicando a distributiva, ficamos com:
Podemos ajeitar mais um pouquinho!
E o grand finale da nossa derivada parcial é essa belezura aqui:
Passo 5
Agora a derivada parcial . Ela é em relação à então tudo diferente de é considerado como constante.
Vamos utilizar a mesma regra do quociente! Teremos a mesma equação, essa daqui
Mas as nossas derivadas vão ser diferentes, porque agora é em relação a , se liga nos próximos passos que vai fazer mais sentido!
Passo 6
Vamos começar com a primeira derivada.
Como a gente já viu, o vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:
Passo 7
Agora vamos calcular a derivada mais da direita.
Passo 8
Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.
Como temos nos dois termos da subtração podemos colocar ele em evidência, como se fosse o contrário da distributiva, assim ó:
Ó que beleza, podemos cortar os do numerador, ai vamos ficar com:
Aqui no numerador ainda podemos embelezar mais ainda, colocando o em evidência, olha como a gente pode fazer isso.
Como e , ficamos com:
Então nosso resultado pode ser escrito assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Considere a função . Calcular a transformada inversa de Laplace da função .
( )
( )
( )
( )
( )
Passo 1
Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada inversa de Laplace da função
Vamos alterar esse denominador para ficar mais parecido com o que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace, o denominador é esse aqui:
A gente tem que fazer ficar parecido através de um método que é completando quadrados, se liga nesse produto notável aqui:
Concorda comigo que ? Então vamos separar na nossa equação
Usando esse produto notável ficamos com
E para acharmos alguma coisa parecida com a tabela é só pensar comigo, o que ao quadrado da 16?
Então, voltando a nossa função teremos:
Passo 2
Vamos, olhar para essa parte da tabela que é a mais parecida com a função que a gente quer.
Para ficar ainda mais parecida com a primeira função, a gente tem que colocar 4 no numerador, então vamos reescrever desse jeitinho reescrever da seguinte forma:
Gente, quando a questão pede transformada inversa de Laplace, a gente tem que ver qual é a função mais parecida e aí a gente começa a mexer um pouco pra ver se fica no formato até que a gente consegue as mesmas características. Dá um trabalhinho, mas pelo menos, com a tabela, a gente sabe aonde quer chegar.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa função com a tabela e vemos que se chamarmos e , temos exatamente a primeira função.
Então,
Resposta
Exercício Resolvido #4
UERJ – Cálculo 3 – Lista 8 – Prof. Paula Clemente – 4f
Ache a transformada inversa da função dada:
Passo 1
Oiii! Vamos seguir fazendo nossas transformadas! Uhul
Epa que cara estranha, a parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!
Podemos tentar achar um produto notável nesse denominador!
Entao podemos ajeitar a função desse jeitinho aqui
Passo 2
Então, colocando no nosso produtinho, temos que:
Passo 3
Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada??
Vamos colocar mais um molecão em evidência aqui, dessa vez no numerador!
Sempre que você ver essa função deslocada, esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja:
Opa, esse daí você consegue achar na tabela hehe, o inverso dele é:
Passo 4
Certo? Mas não esquece que ela está deslocada, lá na teoria a gente viu que a função deslocada é escrita desse jeitinho aqui:
Se eu pegar uma função que varia com e multiplicar ela por uma exponencial , a transformada de Laplace sofrerá um deslocamento
Nesse caso estamos deslocados em
Logo , assim . A cara do resultado é:
Resposta
Exercício Resolvido #5
UNICAMP Cálculo3 – P2 2010 – 1b
Calcule a transformada inversa de Laplace da função:
Dica:
Passo 1
Opaaa! Fala aii belezinha?
Bem, a questão nos deu uma dica que é de grande valia.
Não vamos ter que calcular as frações parciais. Uhul!
Se considerarmos , só para facilitar a visualização, então:
Agora usando a super dica, temos:
Voltando ficamos com
Passo 2
Shoow, agora podemos brincar com essa função!
Aplicando a inversa dessa belezinha:
Como a transformada é linear, podemos separar em duas transformadas!
Passo 3
Lembre-se que:
Repare e veja que essas transformadas acima são aquelas que queremos calcular só que deslocadas. O que desloca a transformada, Ahn? Ahn? Ahn? A exponencial! E da seguinte forma:
É sím, rapaz, acredite! Comprando as duas expressões, vemos que então:
E:
Juntando tudo:
Fechamos mais uma questão! Arrasou!
Resposta
Exercício Resolvido #6
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 370-31.
Calcule:
Passo 1
Opaa, vamos continuar nossos estudos aqui!
Bem, essa transformada não está parecida com nada que a gente conhece, então vamos tentar separar em frações parciais para dar uma melhorada nisso aí.
Temos um polinômio de primeiro grau na primeira fração à direita da igualdade porque o denominador é polinômio de segundo grau.
Passo 2
Juntando tudo para comparar os polinômios:
Vamos fazer um MMC ai, multiplicando por e por
Ficamos com:
Como os denominadores são iguais agora, podemos juntar os numeradores, ficando com:
Fazendo nossas distributivas, temos:
Juntando os termos de mesmo grau:
Shooow, agora temos que comparar os coeficientes, ficamos com um sisteminha assim:
Pela primeira equação:
Substituindo na segunda:
Substituindo na terceira:
Assim:
E:
Portanto:
Passo 3
Agora ficou bem mais fácil achar a inversa. Substituindo o valor:
Como a transformada inversa também é linear, podemos escrever assim:
A primeira transformada não é muito clara de ver de cara. Precisamos separar para chegar em algo que identifique:
Agora sim. Como:
Então:
E
Juntando as duas transformadas, temos:
Passo 4
Agora, para a transformada inversa que falta:
Que é transformada de deslocada pela exponencial. Lembre-se que o sinal aqui é trocado!
Assim, juntando tuuuudo que achamos, ficamos com:
Suado né? Mas conseguimos!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Calcule e , conforme seja o caso:
Passo 1
Ou seja, ele quer o Laplace inverso
E quem é esse Laplace inverso?
Logo de cara observa como isso aí tem uma carinha da transformada do cosseno, no caso
Isso aí é tabelado, lembra? Então
Passo 2
De acordo com a Teoria...
Onde no nosso caso...
Aplicando a inversa apenas em cima da ...
Então...
Resposta
Exercício Resolvido #8
Transformada de Laplace
Calcule a inversa da Laplace de:
Passo 1
Antes de fazer qualquer coisa vamos chamar de a função que queremos, então
Aqui temos uma fração com polinômio no numerador e no denominador. Vamos usar Frações Parciais para separa isso em somas menores que serão mais fáceis de fazer a inversa da Transformada de Laplace.
Vamos ver primeiro se conseguimos fatorar aquele polinômio de grau, por que se conseguirmos, pode ficar mais tranquilo pra resolver isso aí por frações parciais. Recomendo rever o vídeo lá da teoria se tiver dúvida nessa parte. De toda forma, vou fazer o passo a passo devagar aqui contigo.
Nesse caso vamos ver as raízes de
Onde
Então
Então as raízes são complexas, isso quer dizer que esse polinômio de grau é irredutível.
Aplicando as frações parciais vamos ter
Onde , , e são números que precisamos achar
Igualando os denominadores vamos ter
Agora temos que igualar os coeficientes:
Agora que temos o vamos achar o pela terceira equação
Agora que temos e vamos achar pela segunda equação e pela primeira
A nossa fração vai ficar
E vamos ter
Passo 2
Agora vamos continuar a caçada. Para as duas primeiras parcelas basta lembrar que
Na primeira parcela temos
Isso porque queremos igualar os expoentes de , então
Na segunda parcela temos
Então
Passo 3
Para a última parcela vamos fazer em um passo separado porque é um pouco mais complicado. Queremos a inversa da Transformada de
Vamos fazer
Normalmente quando temos um polinômio de grau no denominador vamos olha a transformada de ou . Isso porque
E
Mas a nossa função tem um junto com o , então vamos combinar essas transformadas com a transformada
Então na verdade queremos comparar com
E
A primeira coisa que temos que fazer é tentar escrever o denominador como
Abrindo isso temos
E temos
Comparando vamso ter
Assim
Consideramos sempre .
Beleza, então temos
Comparando com as transformadas ali em cima de e , nenhuma delas se parece com isso que achamos, isso porque o numerador é diferente.
Como temos no numerador vamos escrever o numerador como , que assim conseguimos comparar com a transformada de .
Para isso vamos fazer
Somamos e subtraímos o , assim não mudamos a nossa conta e temos, em parte, algo que conseguimos fazer a transformada inversa.
Aquela segunda parcela é parecida com a transformada do , falta só p no numerador, podemos fazer
Voltando par a
Então
Assim a nossa função vai ficar
Resposta
Exercício Resolvido #9
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-34.
Calcule:
Passo 1
Primeira coisa que eu quero que a gente observe é como isso lembra a transformada do cosseno, né?
Temos uma exponencial na transformada. Ela indica que a função que a gente quer determinar está deslocada e multiplicada por um degrau:
Comparando:
E . Teremos o formato:
Passo 2
Sendo a inversa de e comparando com a transformada do cosseno:
Vemos que:
Então:
Lembrando da formula de adição de arcos
Passo 3
Então, substituindo:
Resposta
Exercício Resolvido #10
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-32.
Calcule:
Passo 1
Tá bem, a primeira coisa a fazer aqui é abrir aquele numerador:
Passo 2
Então vai ficar:
Como a transformada inversa é linear:
Passo 3
Para a primeira, temos a transformada inversa de deslocada. O que desloca a transformada? A exponencial na função:
Comparando essa fórmula com o nosso caso, temos e ...
Como , substituindo no lugar de ...
Logo...
Passo 4
Agora, além do deslocamento, temos uma exponencial. A exponencial na presença de um degrau na função:
Repare que não é só o degrau que surge, ele também desloca a função para seu ponto central. Então vai ficar:
Vimos que:
Logo:
Portanto:
Passo 5
A mesmíssima coisa acontece para a outra transformada:
Passo 6
Juntando tudo: