Transformada Inversa

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a inversa da transformada de Laplace de:

F s = 1 ( s 2 - 1 )

Passo 1

Fala aii! Tudo certinho? Estão preparados para começar os trabalhos em transformada inversa? Então vamos lá!

Primeira coisa que vamos fazer é analisar a nossa função F s

F s = 1 ( s 2 - 1 )

Hmmm não parece nada do que temos na tabelinha clássica de Transformadas né? Então vamos ajeitar essa nossa função! Usando as famosas frações parciais.

Como isso? É mais de boinhas do que parece!

Olha que s 2 - 1 = ( s + 1 ) ( s - 1 ) , então dá para fatorar o denominador e reescrever assim:

F s = 1 s 2 - 1 = 1 s + 1 s - 1

F s = A s + 1     +     B s - 1

Passo 2

Para achar as constantes, é bem fácil: a gente vai somar as frações em um denominador comum e igualar o numerador a seu valor original.

F s = A s + 1 + B s - 1 = A s - 1 + B s + 1 s + 1 s - 1

Aplicando a distributiva, ficamos com:

A s - A + B s + B ( s + 1 ) ( s - 1 )

E a gente vai separar os termos que têm s dos que não tem, ficando com isso aqui:

s A + B + ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

E a gente faz uma comparação direta:

1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) = s A + B + ( B - A ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

A + B = 0 B - A = 1  

Resolvendo esse sisteminha temos que:

A =   - 1 / 2 B = 1 / 2  

Portanto,

F s = - 1 / 2 s + 1 + 1 / 2 s - 1

E a transformada inversa é

f t = - 1 2 e - t + 1 2 e t

Resposta

g t = 1 2 e - t + 1 2 e t - 1

Exercício Resolvido #2

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Faaala ai! Vamos começar essa questão de derivadas parciais para ficar fera!

Pra isso a gente vai começar calculando ∂ f ∂ x . Lembra que quando fazemos essa derivada parcial, ela é em relação à x então tudo diferente de x é considerado como constante.

x 3 + y 2 x 2 + y 2 '

Xiii... Como que eu faço essa derivada doida aí? Cara, quando tivermos uma fração que não da pra tirar nem o numerador e o denominador, vamos usar a regra do quociente, ela é assim:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

Então nossa derivada fica

x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Parece um monstro de sete cabeças, né? Kkkkk Mas relaxa que a gente vai fazer passo a passo isso aí e vai ficar mais tranquilo.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada.

∂ x 3 + y 2 ∂ x

Como a gente já viu, o y vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:

∂ x 3 + y 2 ∂ x = 3 x 2

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada mais da direita.

∂ x 2 + y 2 ∂ x

De novo, y   vale como constante porque estamos derivando em relação a x , então ficamos com:

∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 x

Passo 4

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 2

Ajeitando pra ficar mais bonitinho temos isso aqui:

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

Agora, aplicando a distributiva, ficamos com:

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Podemos ajeitar mais um pouquinho!

∂ f ∂ x = 3 x 4 - 2 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

E o grand finale da nossa derivada parcial ∂ f ∂ x é essa belezura aqui:

⇒ ∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 5

Agora a derivada parcial ∂ f ∂ y . Ela é em relação à y então tudo diferente de y é considerado como constante.

Vamos utilizar a mesma regra do quociente! Teremos a mesma equação, essa daqui

x 3 + y 2 x 2 + y 2 '

Mas as nossas derivadas vão ser diferentes, porque agora é em relação a y , se liga nos próximos passos que vai fazer mais sentido!

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

Passo 6

Vamos começar com a primeira derivada.

∂ x 3 + y 2 ∂ y

Como a gente já viu, o x vai funcionar que nem constante, então temos que essa derivada vale:

∂ x 3 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 7

Agora vamos calcular a derivada mais da direita.

∂ x 2 + y 2 ∂ y = 2 y

Passo 8

Agora vamos pegar essas derivadas e aplicar na nossa regra do quociente.

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ 2 y x 2 + y 2 2

Como temos 2 y nos dois termos da subtração podemos colocar ele em evidência, como se fosse o contrário da distributiva, assim ó:

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 - y 2 x 2 + y 2 2

Ó que beleza, podemos cortar os y 2 do numerador, ai vamos ficar com:

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

Aqui no numerador ainda podemos embelezar mais ainda, colocando o x 2 em evidência, olha como a gente pode fazer isso.

Como x 3 = x 2 ⋅ x e x 2 = 1 ⋅ x 2 , ficamos com:

∂ f ∂ y = 2 y x 2 ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Então nosso resultado pode ser escrito assim:

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ y = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

Considere a função F s = 28 s 2 + 6 s + 25 . Calcular a transformada inversa de Laplace da função F ( s ) .

( ) 7 e 3 t cos ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e - 3 t cos ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e 3 t sen ⁡ ( 4 t )

( ) 7 e 3 t ( sen ⁡ ( 4 t ) + cos ⁡ ( 4 t ) )  

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada inversa de Laplace da função

F s = 28 s 2 + 6 s + 25

Vamos alterar esse denominador para ficar mais parecido com o que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace, o denominador é esse aqui:

s 2 + 6 s + 25

A gente tem que fazer ficar parecido através de um método que é completando quadrados, se liga nesse produto notável aqui:

s + 3 2 = s 2 + 6 s + 9

Concorda comigo que 25 = 9 + 16 ? Então vamos separar na nossa equação

s 2 + 6 s + 9 + 16

Usando esse produto notável ficamos com

s + 3 2 + 16

E para acharmos alguma coisa parecida com a tabela é só pensar comigo, o que ao quadrado da 16?

s + 3 2 + 4 2

Então, voltando a nossa função teremos:

F s = 28 s 2 + 6 s + 25 = 28 s + 3 2 + 4 2

Passo 2

Vamos, olhar para essa parte da tabela que é a mais parecida com a função que a gente quer.

Para ficar ainda mais parecida com a primeira função, a gente tem que colocar 4 no numerador, então vamos reescrever desse jeitinho reescrever da seguinte forma:

F s = 7 ⋅ 4 s + 3 2 + 4 2

Gente, quando a questão pede transformada inversa de Laplace, a gente tem que ver qual é a função mais parecida e aí a gente começa a mexer um pouco pra ver se fica no formato até que a gente consegue as mesmas características. Dá um trabalhinho, mas pelo menos, com a tabela, a gente sabe aonde quer chegar.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa função com a tabela e vemos que se chamarmos a = - 3 e b = 4 , temos exatamente a primeira função.

Então,

f t = L - 1 7 4 s + 3 2 + 4 2 = 7 . e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

Resposta

f t = L - 1 7 4 s + 3 2 + 4 2 = 7 . e - 3 t sen ⁡ ( 4 t )

Exercício Resolvido #4

Ache a transformada inversa da função dada:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Oiii! Vamos seguir fazendo nossas transformadas! Uhul

Epa que cara estranha, a parada é ir decompondo, é muito importante ficar craque nisso! Vamos lá!

Podemos tentar achar um produto notável nesse denominador! s + 1 2 = s 2 + 2 s + 1

Entao podemos ajeitar a função desse jeitinho aqui

2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4

Passo 2

Então, colocando no nosso produtinho, temos que:

2 s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 4 = 2 s + 2 s + 1 2 + 4

Passo 3

Opa, não dá pra aplicar fração parcial nisso. Deu ruim? Não não, calma, lembra da teoria que podemos ter uma função deslocada??

Vamos colocar mais um molecão em evidência aqui, dessa vez no numerador!

2 s + 2 s + 1 2 + 4 = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Sempre que você ver essa função deslocada, esquece esse deslocamento rapidinho, ou seja:

2 s s 2 + 4

Opa, esse daí você consegue achar na tabela hehe, o inverso dele é:

2 cos ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Certo? Mas não esquece que ela está deslocada, lá na teoria a gente viu que a função deslocada é escrita desse jeitinho aqui:

L e c t f t s = L f t s - c

Se eu pegar uma função que varia com t e multiplicar ela por uma exponencial e c t , a transformada de Laplace sofrerá um deslocamento

s - c

Nesse caso estamos deslocados em

s + 1

Logo - c = + 1 , assim c = - 1 . A cara do resultado é:

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

Resposta

L - 1 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 =   2 cos ⁡ ( 2 t ) e - t

Exercício Resolvido #5

Calcule a transformada inversa de Laplace da função:

F ( s ) = 1 s - 3 { s - 3 2 + 1 }

Dica: 1 s ( s 2 + 1 ) = 1 s - s s 2 + 1

Passo 1

Opaaa! Fala aii belezinha?

Bem, a questão nos deu uma dica que é de grande valia.

Não vamos ter que calcular as frações parciais. Uhul!

Se considerarmos u = s - 3 , só para facilitar a visualização, então:

1 s - 3 s - 3 2 + 1 = 1 u u 2 + 1

Agora usando a super dica, temos:

1 u u 2 + 1 = 1 u - u u 2 + 1

Voltando u = s - 3 ficamos com

= 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Passo 2

Shoow, agora podemos brincar com essa função!

F ( s ) = 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Aplicando a inversa dessa belezinha:

L - 1 F s = L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Como a transformada é linear, podemos separar em duas transformadas!

= L - 1 1 s - 3 - L - 1 s - 3 s - 3 2 + 1

Passo 3

Lembre-se que:

L 1 = 1 s

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Repare e veja que essas transformadas acima são aquelas que queremos calcular só que deslocadas. O que desloca a transformada, Ahn? Ahn? Ahn? A exponencial! E da seguinte forma:

L e a t f t = L f t t - a

É sím, rapaz, acredite! Comprando as duas expressões, vemos que a = 3 então:

L - 1 1 s - 3 = 1 ⋅ e 3 t

E:

L - 1 s - 3 s - 3 2 + 1 = cos ⁡ t e 3 t

Juntando tudo:

L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1 = e 3 t [ 1 - cos ⁡ t ]

Fechamos mais uma questão! Arrasou!

Resposta

L - 1 F s = e 3 t [ 1 - cos ⁡ t ]

Exercício Resolvido #6

Calcule:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )  

Passo 1

Opaa, vamos continuar nossos estudos aqui!

Bem, essa transformada não está parecida com nada que a gente conhece, então vamos tentar separar em frações parciais para dar uma melhorada nisso aí. s s 2 + 4 s + 2

= a s + b s 2 + 4 + c s + 2

Temos um polinômio de primeiro grau na primeira fração à direita da igualdade porque o denominador é polinômio de segundo grau.

Passo 2

Juntando tudo para comparar os polinômios:

a s + b s 2 + 4 + c s + 2

Vamos fazer um MMC ai, multiplicando ( a s + b ) por ( s + 2 ) e c por s 2 + 4

Ficamos com:

a s + b s + 2 s 2 + 4 s + 2 + c s 2 + 4 s 2 + 4 s + 2

Como os denominadores são iguais agora, podemos juntar os numeradores, ficando com:

= a s + b s + 2 + c s 2 + 4 s 2 + 4 s + 2

Fazendo nossas distributivas, temos:

= a s 2 + b s + 2 a s + 2 b + c s 2 + 4 c ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Juntando os termos de mesmo grau:

a + c s 2 + 2 a + b s + ( 4 c + 2 b ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Shooow, agora temos que comparar os coeficientes, ficamos com um sisteminha assim:

a + c = 0 2 a + b = 1 4 c + 2 b = 0

Pela primeira equação:

a = - c

Substituindo na segunda:

- 2 c + b = 1 ⟹ b = 1 + 2 c

Substituindo na terceira:

4 c + 2 + 4 c = 0 ⟹ 8 c = - 2 ⟹ c = - 1 4

Assim:

a = 1 4

E:

b = 1 - 1 2 → b = 1 2

Portanto:

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Passo 3

Agora ficou bem mais fácil achar a inversa. Substituindo o valor:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Como a transformada inversa também é linear, podemos escrever assim:

1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 - 1 4 L - 1 1 s + 2

A primeira transformada não é muito clara de ver de cara. Precisamos separar para chegar em algo que identifique:

1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 = 1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4

Agora sim. Como:

L cos ⁡ a t = s s 2 + 4 L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então:

1 4 L - 1 s s 2 + 4 = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t

E

1 4 L - 1 2 s 2 + 4 = 1 4 sen ⁡ ( 2 t )

Juntando as duas transformadas, temos:

1 4 L - 1 s s 2 + 4 1 4 L - 1 2 s 2 + 4 = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ ( 2 t )

Passo 4

Agora, para a transformada inversa que falta:

1 4 L - 1 1 s + 2 = 1 4 e - 2 t

Que é transformada de 1 deslocada pela exponencial. Lembre-se que o sinal aqui é trocado!

Assim, juntando tuuuudo que achamos, ficamos com:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )   = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t - 1 4 e - 2 t

Suado né? Mas conseguimos!

Resposta

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )   = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ 2 t - 1 4 e - 2 t

Exercício Resolvido #7

Calcule L f t s e L - 1 F s t , conforme seja o caso:

F s = s e - 3 s s 2 + 1 ,   s > 0

Passo 1

Ou seja, ele quer o Laplace inverso

L - 1 F s = L - 1 s e - 3 s s 2 + 1 =

L - 1 s s 2 + 1 e - 3 s

E quem é esse Laplace inverso?

Logo de cara observa como isso aí tem uma carinha da transformada do cosseno, no caso

cos ⁡ t → s s 2 + 1

Isso aí é tabelado, lembra? Então

Passo 2

De acordo com a Teoria...

L g t - c ⋅ u c t = G s ⋅ e - c s

Onde no nosso caso...

G s = s s 2 + 1

c = 3

Aplicando a inversa apenas em cima da G ...

L - 1 G s = L - 1 s s 2 + 1 =

cos ⁡ t = g t

Então...

L - 1 G s ⋅ e - c t = g t - c ⋅ u c t   →

L - 1 s s 2 + 1 e - 3 s = cos ⁡ t - 3 ⋅ u 3 t

Resposta

L - 1 s s 2 + 1 e - 3 s = cos ⁡ t - 3 ⋅ u 3 t

Exercício Resolvido #8

Calcule a inversa da Laplace de:

1 s 2 ( s 2 + s + 1 )

Passo 1

Antes de fazer qualquer coisa vamos chamar de y a função que queremos, então

L y = 1 s 2 ( s 2 + s + 1 )

Aqui temos uma fração com polinômio no numerador e no denominador. Vamos usar Frações Parciais para separa isso em somas menores que serão mais fáceis de fazer a inversa da Transformada de Laplace.

Vamos ver primeiro se conseguimos fatorar aquele polinômio de 2 º grau, por que se conseguirmos, pode ficar mais tranquilo pra resolver isso aí por frações parciais. Recomendo rever o vídeo lá da teoria se tiver dúvida nessa parte. De toda forma, vou fazer o passo a passo devagar aqui contigo.

Nesse caso vamos ver as raízes de

s 2 + s + 1 = 0

Δ = b 2 - 4 a c

Onde

a = 1 ,   b = 1 ,   c = 1 .

Então

Δ = 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 = 1 - 4 = - 3

Então as raízes são complexas, isso quer dizer que esse polinômio de 2 º grau é irredutível.

Aplicando as frações parciais vamos ter

1 s 2 s 2 + s + 1 = A s + B s 2 + C s + D s 2 + s + 1

Onde A , B , C e D são números que precisamos achar

Igualando os denominadores vamos ter

1 s 2 s 2 + s + 1 = A s s 2 + s + 1 + B s 2 + s + 1 + C s ∙ s 2 + D s 2 s 2 ( s 2 + s + 1 )

1 s 2 s 2 + s + 1 = A s 3 + A s 2 + A s + B s 2 + B s + B + C s 3 + D s 2 s 2 s 2 + s + 1

1 s 2 s 2 + s + 1 = A + C s 3 + A + B + D s 2 + A + B s + B s 2 ( s 2 + s + 1 )

Agora temos que igualar os coeficientes:

A + C = 0 A + B + D = 0 A + B = 0 B = 1

Agora que temos o B vamos achar o A pela terceira equação

A + 1 = 0 ⇒ A = - 1

Agora que temos A e B vamos achar D pela segunda equação e C pela primeira

- 1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 0

- 1 + C = 0 ⇒ C = 1

A nossa fração vai ficar

1 s 2 s 2 + s + 1 = - 1 s + 1 s 2 + s s 2 + s + 1

E vamos ter

L y = - 1 s + 1 s 2 + s s 2 + s + 1

Passo 2

Agora vamos continuar a caçada. Para as duas primeiras parcelas basta lembrar que

L t n = n ! s n + 1

Na primeira parcela temos

n + 1 = 1 ⇒ n = 0

Isso porque queremos igualar os expoentes de s , então

- 1 s = - L t 0 = - L 1 = L - 1

Na segunda parcela temos

n + 1 = 2 ⇒ n = 1

Então

1 s 2 = 1 ! s 2 = L t 1

Passo 3

Para a última parcela vamos fazer em um passo separado porque é um pouco mais complicado. Queremos a inversa da Transformada de

s s 2 + s + 1

Vamos fazer

L f t = s s 2 + s + 1

Normalmente quando temos um polinômio de 2 º grau no denominador vamos olha a transformada de sem ⁡ a t ou cos ⁡ a t . Isso porque

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

E

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Mas a nossa função tem um s junto com o s 2 , então vamos combinar essas transformadas com a transformada

L e b t f t = L f t s - b

Então na verdade queremos comparar com

L e b t sen ⁡ a t = a s - b 2 + a 2

E

L e b t cos ⁡ a t = s - b s - b 2 + a 2

A primeira coisa que temos que fazer é tentar escrever o denominador como s - b 2 + a 2

Abrindo isso temos

s 2 - 2 b + b 2 + a 2

E temos

s 2 - 2 b + b 2 + a 2 = s 2 + s + 1

Comparando vamso ter

- 2 b = 1

b 2 + a 2 = 1

Assim

b = - 1 2

- 1 2 2 + a 2 = 1

a 2 = 1 - 1 4 = 3 4

a = 3 2

Consideramos sempre a > 0 .

Beleza, então temos

L f t = s s + 1 2 2 + 3 4

Comparando com as transformadas ali em cima de e b t sen ⁡ a t e e b t cos ⁡ a t , nenhuma delas se parece com isso que achamos, isso porque o numerador é diferente.

Como temos s no numerador vamos escrever o numerador como s - b , que assim conseguimos comparar com a transformada de e b t cos ⁡ a t .

Para isso vamos fazer

L f t = s s + 1 2 2 + 3 4 = s + 1 2 - 1 2 s + 1 2 2 + 3 4

Somamos e subtraímos o 1 2 , assim não mudamos a nossa conta e temos, em parte, algo que conseguimos fazer a transformada inversa.

L f t = s + 1 2 s + 1 2 2 + 3 4 - 1 2 1 s + 1 2 2 + 3 4 = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 2 1 s + 1 2 2 + 3 4

Aquela segunda parcela é parecida com a transformada do e b t sen ⁡ a t , falta só p a no numerador, podemos fazer

1 s + 1 2 2 + 3 4 = 3 2 3 2 1 s + 1 2 2 + 3 4 = 2 3 3 2 s + 1 2 2 + 3 4

Voltando par a L f t

L f t = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 2 2 3 3 2 s + 1 2 2 + 3 4

L f t = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 L e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

L f t = L e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Então

f t = e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Assim a nossa função y vai ficar

L y = L - 1 + L t + L s s + 1 2 2 + 3 4

y = - 1 + t + e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Resposta

y = - 1 + t + e - 1 2 t cos ⁡ 3 t 2 - 1 3 e - 1 2 t sen ⁡ 3 t 2

Exercício Resolvido #9

Calcule:

L - 1 e - π s 2 s s 2 + 4

Passo 1

Primeira coisa que eu quero que a gente observe é como isso lembra a transformada do cosseno, né?

cos ⁡ t → s s 2 + 1

Temos uma exponencial na transformada. Ela indica que a função que a gente quer determinar está deslocada e multiplicada por um degrau:

L - 1 e - c s F ( s ) = f ( t - c ) u ( t - c )

Comparando:

F s = s s 2 + 4

E c = π / 2 . Teremos o formato:

L - 1 e - π / 2 s F ( s ) = f ( t - π / 2 ) u ( t - π / 2 )

Passo 2

Sendo f ( t ) a inversa de F ( s ) e comparando com a transformada do cosseno:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Vemos que:

f t = L - 1 F s = L - 1 s s 2 + 4 = cos ⁡ ( 2 t )

Então:

f t - π 2 = cos ⁡ 2 t - π 2 = cos ⁡ 2 t - π

Lembrando da formula de adição de arcos

cos ⁡ 2 t - π = cos ⁡ 2 t cos ⁡ π + s e n 2 t s e n π = - cos ⁡ 2 t

f t - π 2 = - cos ⁡ 2 t

Passo 3

Então, substituindo:

L - 1 s e - π s 2 s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t u t - π 2

Resposta

L - 1 s e - π s 2 s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t u t - π 2

Exercício Resolvido #10

Calcule:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2

Passo 1

Tá bem, a primeira coisa a fazer aqui é abrir aquele numerador:

1 + e - 2 s 2 = 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s

Passo 2

Então vai ficar:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = L - 1 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s s + 2

Como a transformada inversa é linear:

L - 1 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s s + 2 = L - 1 1 s + 2 + 2 L - 1 e - 2 s s + 2 + L - 1 e - 4 s s + 2

Passo 3

Para a primeira, temos a transformada inversa de 1 deslocada. O que desloca a transformada? A exponencial na função:

L f t e a t = L { f t } ( s - a )

Comparando essa fórmula com o nosso caso, temos a = - 2 e f t = 1 ...

L 1 ⋅ e 2 t s = L 1 s - 2   →

Como L 1 = 1 s , substituindo s - 2 no lugar de s ...

L 1 ⋅ e 2 t = 1 s + 2   →

Logo...

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Passo 4

Agora, além do deslocamento, temos uma exponencial. A exponencial na presença de um degrau na função:

L f ( t - c ) u ( t - c ) = e - c t L { f ( t ) }

Repare que não é só o degrau que surge, ele também desloca a função para seu ponto central. Então vai ficar:

L - 1 e - 2 s s + 2 = L - 1 1 s + 2 ( t - 2 ) u ( t - 2 )

Vimos que:

L - 1 1 s + 2 t = e - 2 t

Logo:

L - 1 1 s + 2 t - 2 = e - 2 t - 2

Portanto:

L - 1 e - 2 s s + 2 = e - 2 t - 2 u ( t - 2 )

Passo 5

A mesmíssima coisa acontece para a outra transformada:

L - 1 e - 4 s s + 2 = e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

Passo 6

Juntando tudo:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

Resposta

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u ( t - 4 )