Teorema do Deslocamento

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Teoria

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determinar a transformada de Laplace da função f ( t )   =   e t . cos ⁡ t .  

  F s = s - 2 s 2 - 2 s + 3  

  F s = s - 1 s 2 - 2 s + 2

  F s = s - 1 s 2 - 1

    F s = s + 2 s 2 - 2 s + 2

  F s = s - 1 s 2 - 2 s + 1

Passo 1

Opaa, tudo na paz? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

f ( t )   =   e t . cos ⁡ t  

Vamos olhar na tabela de transformadas de Laplace qual função mais se parece com o que a gente quer.

Passo 2

Bom, a função que mais se parece é e - a t cos ⁡ w t . Para

a = - 1

w = 1

Então, a transformada vai ficar:

L e t . cos ⁡ t   = s - 1 s - 1 2 + 1 2 = s - 1 ( s 2 - 2 s + 1 ) + 1 = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Logo, a transformada é:

L e t . cos ⁡ t   = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Repara que aqui tivemos a sorte do enunciado nos dá uma função que já tinha na tabela, mas nem sempre é assim, beleza? Ainda vamos olhar esses outros casos, não se preocupe, gafanhoto!

Resposta

L e t . cos ⁡ t   = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Exercício Resolvido #2

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Passo 1

Vamos aplicar a transformada em:

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Primeiro vamos aplicar a transformada em cada parcela, assim:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = L 9 e - 3 t - L 2 e - 3 t t + L 10 e - 3 t cos ⁡ t 3

Colocando as constantes para fora:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Agora o que vamos fazer é resolver um termo de cada vez.

Passo 2

Para o primeiro termo:

9 L e - 3 t

Vamos usar,

L [ e a t ] = 1 s - a

Logo,

a = - 3

E,

9 L e - 3 t = 9 × 1 s - ( - 3 ) = 9 s + 3

Passo 3

Para o segundo termo:

2 L e - 3 t t

Vamos deixar a exponencial de lado e resolver apenas para t .

2 L t

Vamos usar,

L t n s = n ! s n + 1

n = 1

Ou seja,

2 L t = 2 × 1 s 1 + 1   = 2 s 2

Passo 4

Agora, vamos analisar quem é o “ a ” da exponencial. Comparando com:

L [ e a t ] = 1 s - a

Temos que:

a = - 3

Assim, o que era s na resposta do 2 L t , agora irá virar s - a :

2 L e - 3 t t = 2 ( s - - 3 ) 2 = 2 s + 3 2

Isso que fizemos foi aplicar a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Beleza?

Passo 5

Passo 6

Para o último termo:

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Vamos usar o mesmo raciocínio do passo anterior. Onde, a princípio vamos ignorar a exponencial:

10 L cos ⁡ t 3 = 10 L cos ⁡ 1 3 t = 10 × s s 2 + 1 3 2 = 10 s s 2 + 1 9

Onde,

a = - 3

Então,

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3 = 10 ( s + 3 ) ( s + 3 ) 2 + 1 9

Passo 7

Agora só precisamos juntar tudo:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 ( s + 3 ) ( s + 3 ) 2 + 1 9

Feshow! 😊

Resposta

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 ( s + 3 ) s + 3 2 + 1 9

Exercício Resolvido #3

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t )

Passo 1

Faaaala aii, tudo bem? Nessa questão nós queremos:

L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t ) s = L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) s - L e 2 t sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Então, vamos aplicar a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Nesse caso, temos, para a primeira transformada, f t = sen ⁡ ( 3 t ) e, para segunda, f t = sen ⁡ ( 2 t ) .

Onde,

c = 2

Então, podemos escrever o seguinte:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

Passo 2

Agora vamos calcular essas transformadas começando pela primeira:

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2

Sabemos o seguinte:

L sen ⁡ ( a t ) s = a s 2 + a 2

a = 3

Logo,

L sen ⁡ ( 3 t ) s = 3 s 2 + 3 2 = 3 s 2 + 9

Mas não queremos a transformada em s , queremos em ( s - 2 ) , não é? Então, basta substituir s por ( s - 2 ) na equação;

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 = 3 s - 2 2 + 9 = 3 ( s 2 - 4 s + 4 ) + 9 = 3 s 2 - 4 s + 13

Passo 3

Beleza, agora vamos fazer o mesmo para a outra transformada:

L sen ⁡ ( 2 t ) s = 2 s 2 + 2 2 = 2 s 2 + 4

Mudando s para ( s - 2 ) , temos:

L sen ⁡ ( 2 t ) s - 2 = 2 s - 2 2 + 4 = 2 ( s 2 - 4 s + 4 ) + 4 = 2 s 2 - 4 s + 8

Passo 4

Agora basta juntar os valores que encontramos:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

L g t s = 3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8

Resposta

3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8

Exercício Resolvido #4

Encontre a transformada de Laplace da função dada;  a  e  b  são números reais e  n  é um inteiro positivo.

f t = t n e a t

Passo 1

Oba! Acho que essa questão conseguimos fazer em um passo só! Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo

Por tabela, sabemos que a transformada do t n   é

t n → n ! s n + 1

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

n ! s n + 1 → n ! ( s - a ) n + 1

Tranquilin, né não? Bora pra próxima então.

Resposta

L t n e a t = n ! s - a n + 1

Exercício Resolvido #5

Encontre a transformada de Laplace da função dada;  a  e  b  são números reais e  n  é um inteiro positivo.

f t = - e a t cos ⁡ b t

Passo 1

Oba! Acho que essa questão conseguimos fazer em um passo só! Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo

Por tabela, sabemos que a transformada do cos ⁡ b t   é

cos ⁡ b t → s s 2 + b 2

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

s s 2 + b 2 → s - a ( s - a ) 2 + b

Observa que isso é a transformada de L e a t cos ⁡ b t , como queremos L - e a t cos ⁡ b t ,   então vai ser só colcoar um sinal de menos na frente.

L - e a t cos ⁡ b t = - s - a s - a 2 + b 2

Tranquilin, né não? Bora pra próxima então.

Resposta

L - e a t cos ⁡ b t = - s - a s - a 2 + b 2

Exercício Resolvido #6

Encontre a transformada de Laplace da função dada;  a  e  b  são números reais e  n  é um inteiro positivo.

f t = - e a t sen ⁡ b t

Passo 1

Oba! Acho que essa questão conseguimos fazer em um passo só! Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo

Por tabela, sabemos que a transformada do sen ⁡ b t   é

s e n   b t → b s 2 + b 2

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

s s 2 + b 2 → b ( s - a ) 2 + b

Observa que isso é a transformada de L e a t sen ⁡ b t , como queremos L - e a t s en ⁡ b t ,   então vai ser só colcoar um sinal de menos na frente.

L - e a t sen ⁡ b t = - b s - a 2 + b 2

Tranquilin, né não? Bora pra próxima então.

Resposta

L - e a t sen ⁡ b t = - b s - a 2 + b 2

Exercício Resolvido #7

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função de t

e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t

Passo 1

Aqui vamos basicamente fazer aplicação de fórmulas,

Ele quer

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - L 3 t 2 e 3 t

Vamos fazer por partes

Passo 2

Começando com

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t

Lembre-se que

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Sem essa relação trigonométrica na cabeça eu mesmo nem sei resolver, então memoriza isso aí! Minha dica é: faz bastaaaante exercício. Quando mais exercício você faz, essas coisas vem na cabeça automaticamente.

Então

cos 2 ⁡ 3 t = 1 + cos ⁡ 6 t 2

Só fiz multiplicar o 2 de dentro do cosseno por 3 .   Simples assim.

A nossa transformada fica

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t = L e - 2 t 1 + cos ⁡ 6 t 2 = L e - 2 t 2 + L e - 2 t cos ⁡ 6 t 2

= 1 2 L e - 2 t + 1 2 L e - 2 t cos ⁡ 6 t

Lembrando que

L e a t = 1 s - a

E

L cos ⁡ b t = s s 2 + b 2

Como o cosseno está multiplicando um exponencial, pela regra do deslocamento vamos substituir os s   por s - a , assim ficamos com

L e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Então

1 2 L e - 2 t + 1 2 L e - 2 t cos ⁡ 6 t = 1 2 1 s - - 2 + 1 2 s - - 2   s - - 2 2 + 6 2 = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36

Passo 3

Vamos ver agora

L 3 t 2 e 3 t

Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo

Por tabela, sabemos que a transformada do t n   é

t n → n ! s n + 1

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

n ! s n + 1 → n ! ( s - a ) n + 1

Teremos assim para nosso caso

L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 e 3 t

Então

L t 2 = 2 ! s 3 = 2 s 3

Nosso a nos exponencial vale 3, logo, trocando o s por s - a → ( s - 3 )

Assim vamos ter

3 L t 2 e 3 t = 3 2 s - 3 3 = 6 s - 3 3

Passo 4

A transformada vai ser a subtração do que achamos no passo 3 com o que achamos no passo 2

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

Resposta

1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

Exercício Resolvido #8

Determine a transformada de Laplace da função f ( t )   =   e t s e n 2 ( 2 t )  

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

f ( t )   =   e t s e n 2 ( 2 t )

Pra começar, vamos lembrar que se:

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Aí você me pergunta: “Amigo, como eu resolvo se eu não lembrar dessa relação trigonométrica?” Eu te digo, não faz. Tem que lembrar. E como faz pra lembrar? Fazendo muito exercício! Quanto mais exercício você faz, esses detalhes vem automaticamente. Confia em mim

Então:

s e n 2 2 t = 1 - cos ⁡ 4 t 2

Daí a gente pode aplicar a distributiva com e t e ficar com a função reescrita:

f t = 1 2 e t - 1 2 e t cos ⁡ 4 t

E a transformada vai ser:

L f t = L 1 2 e t - 1 2 e t cos ⁡ 4 t

L f t = 1 2 ∙ L e t - 1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t

Passo 2

Agora, vamos olhar na tabela de transformadas de Laplace qual função mais se parece com o as que a gente quer.

Bem, pra primeira transformada, pela tablea, como temos a = - 1 , vamos ficar com:

1 2 ∙ L e t = 1 2 s - 1 = 1 2 s - 2

E pro outro carinha, primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo

Por tabela, sabemos que a transformada do cos ⁡ b t   é

cos ⁡ b t → s s 2 + b 2

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

s s 2 + b 2 → s - a ( s - a ) 2 + b

Como estamos trabalhando com 1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t , temos b = 4 e a = 1 , ficamos entçao com

L e t cos ⁡ 4 t = s - 1 s - 1 2 + 32

Ainda temos que lembrar de multiplicar por 1 2 já que queremos 1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t

1 2 ∙ L e t cos ⁡ 4 t = s - 1 2 s - 1 2 + 32

Juntando os dois termos, teremos:

L f t = 1 2 s - 2 - s - 1 2 s - 1 2 + 32

Resposta

L f t = 1 2 s - 2 - s - 1 2 s - 1 2 + 32

Exercício Resolvido #9

Encontre L { F   ( t ) } = f ( s ) = L { cosh ⁡ 2   t ( cos ⁡ 2 t ) } ou seja a transformada de Laplace da função F ( t ) = c o s h ( 2 t ) c o   s ( 2 t ) onde a função cosseno hiperbólico de t , cosh ⁡ t é assim definida cosh ⁡ t = ( e t + e - t ) /   2 .

.

(a)   s 2 - 8 s 4 + 64

(b) s 3 s 3 + 64

(c) s 2 + 8 s 4 +   64

(d)   s 4 s 4 + 64

(e) s 3 s 4 + 64

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente calcule a transofmada de Laplace para a nossa função:

F ( t ) = c o s h ( 2 t ) c o   s ( 2 t )

Repara só que ela nos dá uma dica:

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

Logo,

cosh ⁡ 2 t = ( e 2 t + e - 2 t ) / 2

Consege erceber isso? Simplesmente troque os t por 2 t .

Vamos substituir isso na nossa função:

F t = e 2 t + e - 2 t 2 c o s 2 t

Fazemos então a distributiva, e chegamos nesse resultado abaixo

1 2 ( e 2 t cos ⁡ 2 t + e - 2 t cos ⁡ 2 t )

Observa como temos dois termos em que podemos aplicar o teorema do deslocamento...lindo, né? Bora lá então

Bom, Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo

Por tabela, sabemos que a transformada do cos ⁡ b t   é

cos ⁡ b t → s s 2 + b 2

TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o s por ( s - a ) onde a é o termo dentro da exponencial, simples assim!

Então teremos

s s 2 + b 2 → s - a ( s - a ) 2 + b

A função que queremos a transformada é

1 2 ( e 2 t cos ⁡ 2 t + e - 2 t cos ⁡ 2 t )

Podemos entçao separar assim

1 2 L 1 e 2 t cos ⁡ 2 t + L 2 e - 2 t cos ⁡ 2 t

Para a primeira teremos a 1 = 2   e   b 1 = 2 ,   já para a segunda teremos a 2 = - 2 e b 2 = 2 , agora vai ser só substituir.

1 2 s - a 1 s - a 1 2 + b 1 + s - a 2 s - a 2 2 + b 2

L F t = 1 2 s - 2 s - 2 2 + 2 2 + s + 2 s + 2 2 + 2 2

Bom, juntando essas frações, teremos (fazendo umas continhas chatas):

L F t = 1 2 s - 2   s + 2 2 + 2 2 + s + 2 s - 2 2 + 2 2 ( s - 2 2 + 2 2 ) ( s + 2 2 + 2 2 )

L F t = 1 2 s - 2 s + 2 s + 2 + s - 2 + 4 s - 2 + 4 s + 2 s - 2 2 + 2 2 s + 2 2 + 2 2

= 1 2 2 s 3 s - 2 2 + 2 2 s + 2 2 + 2 2  

L F t = 1 2 2 s 3 s 4 + 64

L F t = s 3 s 4 + 64

Minha dica pra você aqui é, faz as contas devagar, assim como eu, passo a passo, sem pressa...diminui muito suas chances de erro.

Resposta

b   L F t = s 3 s 4 + 64

Exercício Resolvido #10

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e t d 100 e - t t 100 d t 100

Passo 1

Vamos calcular agora:

L e t d 100 e - t t 100 d t 100

Temos que lembrar aqui que a exponencial vai atuar deslocando a transformada do que ela está multiplicando:

L e a t f t = L f t s - a

Neste caso, temos que: f t = d 100 e - t t 100 d t 100

Então vamos calcular a transformada:

L d 100 e - t t 100 d t 100 s

Para isso, precisamos lembrar da transformada de uma derivada, de forma geral:

L d n g t d s n = s n L g t - s n - 1 g ' 0 … - s g n - 2 0 - g n - 1 0

Vamos calcular esses termos para o que nós temos. Para g t = e - t t 100 :

L g t = L e - t t 100 = L t 100 s + 1

Como:

L t n = n ! s n + 1

Temos:

L t 100 s + 1 = 100 ! s + 1 101

OK, agora temos que calcular algumas as derivadas para entender o que acontece. Usando a regra do produto:

g ' t = e - t t 100 ' = - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99

g ' ' t = - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 '

= e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 - 100 e - t t 99 + 100 ⋅ 99 ⋅ e - t t 98

g ' ' ' t = e - t t 100 + 100 ⋅ 99 ⋅ e - t ⋅ t 98 '

= - e - t t 100 + e - t ⋅ 100 ⋅ t 99 - 100 ⋅ 99 ⋅ e - t ⋅ t 98 + 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ e - t ⋅ t 97

Para não ter que fazer isso 100 vezes, vamos reparar que em todas as derivadas aparecem o t elevado a alguma coisa multiplicando tudo. De forma que o termo de menor grau multiplicando é, para cada derivada:

g ' t → t 99

g ' t → t 98

g ' ' ' t → t 97

Então, é natural supor que:

g n t → t 100 - n

Logo, temos, neste caso:

L d 100 g t d t 100 s = s 100 L g t - s 99 g ' 0 … - s g 98 0 - g 99 0

Todas as derivadas que aparecem tem todos os termos multiplicados por t de grau maior ou igual a 1 , logo, para t = 0 :

g ' 0 = g ' ' 0 = … = g 98 0 = g 99 0 = 0

E temos:

L d 100 e - t t 100 d t 100 s = s 100 ⋅ 100 ! s + 1 101

Então, temos que:

L e t d 100 e - t t 100 d t 100 = s + 1 100 ⋅ 100 ! s + 2 101

Pronto! Raciocínio meio chato, né? Eu admito, mas é isso aí. Boa sorte nos seus estudos

Resposta

L e t d 100 e - t t 100 d t 100 = s + 1 100 ⋅ 100 ! s + 2 101