Teorema do Deslocamento
Teoria
Módulo 3
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Determinar a transformada de Laplace da função .
Passo 1
Opaa, tudo na paz? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:
Vamos olhar na tabela de transformadas de Laplace qual função mais se parece com o que a gente quer.
Passo 2
Bom, a função que mais se parece é . Para
Então, a transformada vai ficar:
Logo, a transformada é:
Repara que aqui tivemos a sorte do enunciado nos dá uma função que já tinha na tabela, mas nem sempre é assim, beleza? Ainda vamos olhar esses outros casos, não se preocupe, gafanhoto!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de :
Passo 1
Vamos aplicar a transformada em:
Primeiro vamos aplicar a transformada em cada parcela, assim:
Colocando as constantes para fora:
Agora o que vamos fazer é resolver um termo de cada vez.
Passo 2
Para o primeiro termo:
Vamos usar,
Logo,
E,
Passo 3
Para o segundo termo:
Vamos deixar a exponencial de lado e resolver apenas para
Vamos usar,
Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos analisar quem é o “” da exponencial. Comparando com:
Temos que:
Assim, o que era na resposta do agora irá virar
Isso que fizemos foi aplicar a seguinte fórmula:
Beleza?
Passo 5
Passo 6
Para o último termo:
Vamos usar o mesmo raciocínio do passo anterior. Onde, a princípio vamos ignorar a exponencial:
Onde,
Então,
Passo 7
Agora só precisamos juntar tudo:
Feshow! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria.
Calcule , onde
Passo 1
Faaaala aii, tudo bem? Nessa questão nós queremos:
Então, vamos aplicar a seguinte fórmula:
Nesse caso, temos, para a primeira transformada, e, para segunda, .
Onde,
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 2
Agora vamos calcular essas transformadas começando pela primeira:
Sabemos o seguinte:
Logo,
Mas não queremos a transformada em , queremos em , não é? Então, basta substituir por na equação;
Passo 3
Beleza, agora vamos fazer o mesmo para a outra transformada:
Mudando para , temos:
Passo 4
Agora basta juntar os valores que encontramos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Encontre a transformada de Laplace da função dada; e são números reais e é um inteiro positivo.
Passo 1
Oba! Acho que essa questão conseguimos fazer em um passo só! Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo
Por tabela, sabemos que a transformada do
TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o por onde é o termo dentro da exponencial, simples assim!
Então teremos
Tranquilin, né não? Bora pra próxima então.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Encontre a transformada de Laplace da função dada; e são números reais e é um inteiro positivo.
Passo 1
Oba! Acho que essa questão conseguimos fazer em um passo só! Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo
Por tabela, sabemos que a transformada do
TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o por onde é o termo dentro da exponencial, simples assim!
Então teremos
Observa que isso é a transformada de , como queremos então vai ser só colcoar um sinal de menos na frente.
Tranquilin, né não? Bora pra próxima então.
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Encontre a transformada de Laplace da função dada; e são números reais e é um inteiro positivo.
Passo 1
Oba! Acho que essa questão conseguimos fazer em um passo só! Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo
Por tabela, sabemos que a transformada do
TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o por onde é o termo dentro da exponencial, simples assim!
Então teremos
Observa que isso é a transformada de , como queremos então vai ser só colcoar um sinal de menos na frente.
Tranquilin, né não? Bora pra próxima então.
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFF - Equações - Lista 5 - 1c
Calcule a transformada de Laplace da seguinte função de
Passo 1
Aqui vamos basicamente fazer aplicação de fórmulas,
Ele quer
Vamos fazer por partes
Passo 2
Começando com
Lembre-se que
Sem essa relação trigonométrica na cabeça eu mesmo nem sei resolver, então memoriza isso aí! Minha dica é: faz bastaaaante exercício. Quando mais exercício você faz, essas coisas vem na cabeça automaticamente.
Então
Só fiz multiplicar o de dentro do cosseno por Simples assim.
A nossa transformada fica
Lembrando que
E
Como o cosseno está multiplicando um exponencial, pela regra do deslocamento vamos substituir os por , assim ficamos com
Então
Passo 3
Vamos ver agora
Primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo
Por tabela, sabemos que a transformada do
TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o por onde é o termo dentro da exponencial, simples assim!
Então teremos
Teremos assim para nosso caso
Então
Nosso nos exponencial vale 3, logo, trocando o por
Assim vamos ter
Passo 4
A transformada vai ser a subtração do que achamos no passo 3 com o que achamos no passo 2
Resposta
Exercício Resolvido #8
Determine a transformada de Laplace da função
Passo 1
Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:
Pra começar, vamos lembrar que se:
Aí você me pergunta: “Amigo, como eu resolvo se eu não lembrar dessa relação trigonométrica?” Eu te digo, não faz. Tem que lembrar. E como faz pra lembrar? Fazendo muito exercício! Quanto mais exercício você faz, esses detalhes vem automaticamente. Confia em mim
Então:
Daí a gente pode aplicar a distributiva com e ficar com a função reescrita:
E a transformada vai ser:
Passo 2
Agora, vamos olhar na tabela de transformadas de Laplace qual função mais se parece com o as que a gente quer.
Bem, pra primeira transformada, pela tablea, como temos , vamos ficar com:
E pro outro carinha, primeiramente, como estamos multiplicando por uma exponencial, sabemos que vamos começar ignorando o exponencial, certo? E fazendo a transformada só do outro termo
Por tabela, sabemos que a transformada do
TRANQUILO, né? Agora, vamos substituir o por onde é o termo dentro da exponencial, simples assim!
Então teremos
Como estamos trabalhando com temos e , ficamos entçao com
Ainda temos que lembrar de multiplicar por já que queremos