Teorema do Deslocamento

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Determinar a transformada de Laplace da função f ( t )   =   e t . cos ⁡ t .  

  F s = s - 2 s 2 - 2 s + 3  

  F s = s - 1 s 2 - 2 s + 2

  F s = s - 1 s 2 - 1

    F s = s + 2 s 2 - 2 s + 2

  F s = s - 1 s 2 - 2 s + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opaa, tudo na paz? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

f ( t )   =   e t . cos ⁡ t  

Vamos olhar na tabela de transformadas de Laplace qual função mais se parece com o que a gente quer.

Passo 2

Bom, a função que mais se parece é e - a t cos ⁡ w t . Para

a = - 1

w = 1

Então, a transformada vai ficar:

L e t . cos ⁡ t   = s - 1 s - 1 2 + 1 2 = s - 1 ( s 2 - 2 s + 1 ) + 1 = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Logo, a transformada é:

L e t . cos ⁡ t   = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Repara que aqui tivemos a sorte do enunciado nos dá uma função que já tinha na tabela, mas nem sempre é assim, beleza? Ainda vamos olhar esses outros casos, não se preocupe, gafanhoto!

Resposta

L e t . cos ⁡ t   = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Exercício Resolvido #2

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções de t :

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos aplicar a transformada em:

e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3

Primeiro vamos aplicar a transformada em cada parcela, assim:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = L 9 e - 3 t - L 2 e - 3 t t + L 10 e - 3 t cos ⁡ t 3

Colocando as constantes para fora:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Agora o que vamos fazer é resolver um termo de cada vez.

Passo 2

Para o primeiro termo:

9 L e - 3 t

Vamos usar,

L [ e a t ] = 1 s - a

Logo,

a = - 3

E,

9 L e - 3 t = 9 × 1 s - ( - 3 ) = 9 s + 3

Passo 3

Para o segundo termo:

2 L e - 3 t t

Vamos deixar a exponencial de lado e resolver apenas para t .

2 L t

Vamos usar,

L t n s = n ! s n + 1

n = 1

Ou seja,

2 L t = 2 × 1 s 1 + 1   = 2 s 2

Passo 4

Agora, vamos analisar quem é o “ a ” da exponencial. Comparando com:

L [ e a t ] = 1 s - a

Temos que:

a = - 3

Assim, o que era s na resposta do 2 L t , agora irá virar s - a :

2 L e - 3 t t = 2 ( s - - 3 ) 2 = 2 s + 3 2

Isso que fizemos foi aplicar a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Beleza?

Passo 5

Passo 6

Para o último termo:

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

Vamos usar o mesmo raciocínio do passo anterior. Onde, a princípio vamos ignorar a exponencial:

10 L cos ⁡ t 3 = 10 L cos ⁡ 1 3 t = 10 × s s 2 + 1 3 2 = 10 s s 2 + 1 9

Onde,

a = - 3

Então,

10 L e - 3 t cos ⁡ t 3 = 10 ( s + 3 ) ( s + 3 ) 2 + 1 9

Passo 7

Agora só precisamos juntar tudo:

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 L e - 3 t - 2 L e - 3 t t + 10 L e - 3 t cos ⁡ t 3

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 ( s + 3 ) ( s + 3 ) 2 + 1 9

Feshow! 😊

Resposta

L e - 3 t 9 - 2 t + 10 cos ⁡ t 3 = 9 s + 3 - 2 s + 3 2 + 10 ( s + 3 ) s + 3 2 + 1 9

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Faaaala aii, tudo bem? Nessa questão nós queremos:

L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t ) s = L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) s - L e 2 t sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Então, vamos aplicar a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Nesse caso, temos, para a primeira transformada, f t = sen ⁡ ( 3 t ) e, para segunda, f t = sen ⁡ ( 2 t ) .

Onde,

c = 2

Então, podemos escrever o seguinte:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

Passo 2

Agora vamos calcular essas transformadas começando pela primeira:

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2

Sabemos o seguinte:

L sen ⁡ ( a t ) s = a s 2 + a 2

a = 3

Logo,

L sen ⁡ ( 3 t ) s = 3 s 2 + 3 2 = 3 s 2 + 9

Mas não queremos a transformada em s , queremos em ( s - 2 ) , não é? Então, basta substituir s por ( s - 2 ) na equação;

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 = 3 s - 2 2 + 9 = 3 ( s 2 - 4 s + 4 ) + 9 = 3 s 2 - 4 s + 13

Passo 3

Beleza, agora vamos fazer o mesmo para a outra transformada:

L sen ⁡ ( 2 t ) s = 2 s 2 + 2 2 = 2 s 2 + 4

Mudando s para ( s - 2 ) , temos:

L sen ⁡ ( 2 t ) s - 2 = 2 s - 2 2 + 4 = 2 ( s 2 - 4 s + 4 ) + 4 = 2 s 2 - 4 s + 8

Passo 4

Agora basta juntar os valores que encontramos:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

L g t s = 3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8