Introdução
Teoria
Módulo 3
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria.
Calcule , onde
Passo 1
A questão está nos pedindo para fazer a transformada de Laplace da função , ou seja, queremos:
Podemos ainda separar essas transformadas em 3 blocos da seguinte forma:
Podemos ainda colocar as constantes para fora:
Passo 2
Vamos começar, então, resolvendo o primeiro bloco:
Para isso, vamos lembrar do seguinte:
Comparando com o que temos, vemos que:
Então,
Passo 3
Resolvendo, agora, o segundo bloco:
Temos:
Comparando com o que temos, vemos que:
Aplicando ao problema:
Passo 4
Para o terceiro, e último, bloco vamos utilizar a mesma propriedade do anterior.
Onde nesse caso,
E aplicando ao problema:
Passo 5
Agora, podemos juntar todos os blocos:
Substituindo esses valores, então:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine a Transformada de Laplace de e indique a única resposta correta:
Passo 1
Fala aí!! Essa questão quer a transformada de Laplace da nossa função:
Bom, para isso vamos ver as funções que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace:
Passo 2
Então vamos analisar cada termo da função para depois juntar tudo, beleza?
Do primeiro termo, temos a tranformada de uma contante, olhando a tabela:
Passo 3
Do segundo termo:
Vamos usar,
Comparando com o que temos, vemos que:
Então,
Passo 4
Do terceiro termo:
Vamos usar,
Comparando com o que temos, vemos que:
Aplicando ao problema:
Passo 5
Pronto, agora que já sabemos as transformadas de Laplace de todos os termos, podemos substituir na expressão.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria.
Calcule , onde
Passo 1
Fala aiii, nessa questão vamos fazer a transformada de Laplace para :
E para isso, vamos dividir em dois termos:
Onde podemos tirar as constantes de dentro:
Passo 2
Essa questão é basicamente aplicação de fórmulas. Então olhando o primeiro termo:
Sabemos que vamos utilizar a fórmula:
Logo:
E,
Passo 3
E no segundo termo:
Vamos utilizar a seguinte fórmula:
Onde,
Aplicando isso à nossa questão:
Passo 4
Agora é só juntar tudo 😉
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere f(t) definida para . A Transformada de Laplace de é dada pela fórmula . Determine.
Passo 1
Opa, tudo bem? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de . Então, podemos substituir na formulinha que a questão nos trouxe:
Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por e depois aplicamos o limite para da seguinte forma:
Passo 2
Agora, vamos resolver essa integral e aplicar os limites inferior e superior.
Bom, chegamos em uma situação em que o limite pode assumir dois valores dependendo do valor de . Então, vamos precisar analisar os dois casos.
Passo 3
Para o caso em que :
Pois o expoente do fica positivo, fazendo com que o primeiro termo cresca infinitamente.
Passo 4
Já para :
Pois o expoente do fica negativo, fazendo com que o primeiro termo seja desprezível.
Então,
Resposta
Exercício Resolvido #5
Pela definição, calcule a transformada de Laplace da função (justificando os passos)
Passo 1
Aqui vamos calcular a transformada de Laplace usando a definição, beleza?
Repara que nós temos dois intervalos para essa função:
Então vamos separar a integral nesses dois intervalos:
Que vai ficar:
Passo 2
Vamos resolver uma integral de cada vez.
Para resolver essa integral, vamos usar a regra da substituição:
Além disso, quando:
Substituindo:
Passo 3
Já na segunda:
Essa é uma integral imprópria, então:
Passo 4
Juntando as duas integrais, nossa transformada será:
Prontinho! 😊
Resposta
Exercício Resolvido #6
Sabendo que a Transformada de Laplace de uma função denotada aqui por é definida por:
Considere definida para . A de é dada pela fórmula
E usando a linearidade do operador em questão, determine a Transformada de Laplace da função elementar
Passo 1
Fala aiiii!! Essa questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:
Então, vamos substituir na fórmula:
Agora vamos resolver separadamente cada integral, beleza? Show!
Passo 2
Para a primeira integral:
Aqui nós vamos ter dois casos.
Para , o limite tende a infinito.
Para , temos:
Passo 3
Para a segunda:
Nessa integral, teremos que fazer integração por parte três vezes e chegaremos a:
Aplicando o limite, chegaremos a:
Passo 4
E na terceira e última integral:
Agora que já calculamos a transformada de Laplace de cada termo, podemos substituir na expressão.
Resposta
Exercício Resolvido #7
Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável a transformada é válida:
Passo 1
Começamos aplicando a transformada em toda a função:
E usamos a linearidade da transformada para separá-las, já que isso nos permite separar em várias transformadas menores, mais tranquilas de resolver.
Passo 2
Agora, vamos olhar para cada transformada que sobrou individualmente.
é uma transformada de polinômio. De maneira geral, temos:
Portanto, comparando, vemos que , assim:
Para a gente saber para quais valores o é válido, lembramos da definição da transformada:
Não precisamos calcular efetivamente a integral, só precisamos saber que se o que estiver na exponencial for maior ou igual que zero, a integral pode divergir. Então, substituímos nossa expressão:
Olhando para exponencial, vemos que o que está dentro dela vai ser menor que zero se , então esses são os valores válidos para integral.
Portanto, vamos ter:
Show. Uma já foi.
Passo 3
Vamos ver agora . De maneira geral, vamos ter:
Assim, comparando, achamos , logo:
Seguindo a mesma ideia de antes, vamos ter:
Assim, para que o que está na exponencial seja negativo, precisamos:
Show, então:
Passo 4
Faltou agora
Para resolver esse problema. Vamos lembrar da regrinha da soma dos senos:
Então para , vamos ter:
Opa, já nos ajuda, então:
Por tabela, temos:
Então, comparando, vemos que e então:
Olhando para a definição:
Vemos que . Então vamos ter:
Passo 5
Agora justamos tudo que achamos:
Para o valor de , temos que pegar o caso mais restrito dentre aqueles que encontramos, que é justamente , então:
Prontinho 😊
Resposta
Exercício Resolvido #8
UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2010 - 1a
Calcule a transformada de Laplace da função:
Dica:
Passo 1
Queremos calcular:
Vamos separar essa transformada grande em varias menores que nós sabemos calcular pela propriedade da soma:
Vamos calcular as transformadas uma a uma.
Passo 2
Pelas transformadas tradicionais:
Começamos tranquilinho
Passo 3
Maravilha! Não vou reclamar
Passo 4
E essa?
Temos que usar a fica que o enunciado passou pra gente. A transformada de
Assim, para:
Temos:
A transformada do já temos tabelada, então ficamos com
Vamos ter então que calcular essa derivada. Podemos fazer isso pela regra do quociente.
Derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro, dividido pelo segundo ao quadrado. Ou seja
Como estávamos calculando
Que já tinha esse sinal de menos na frente, vamos ter
Lembre-se que é a derivada da transformada, não a transformada da derivada. Não vai derivar o seno e calcular a transformada do cosseno. Primeiro a gente transforma o seno e então deriva!
Passo 5
Lembrando que
Juntando tudo então:
Resposta
Exercício Resolvido #9
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 393-13.
Calcule:
Passo 1
Queremos calcular:
Gezuis, eu não sei como calcular transformada de integral? Como viver? Calma jovem, você não precisa calcular transformada de integral nenhuma. Essa integral é bem calculável.
Passo 2
Olhe só:
Então vai ficar, já que a transformada é linear, podemos separar nas somas:
Passo 3
Então, vamos calcular uma a uma. Pelas transformadas tradicionais:
Tranquilinha essa né? Só olhar na tabela
Passo 4
Agora, para:
Temos que lembrar que:
Para a nossa transformada queremos:
Para calcular essa derivada vamos precisar lembrar da regra do quociente, onde faremos a derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro, dividido pelo segundo ao quadrado. Ou seja
Como estávamos calculando
Que já tinha esse sinal de menos na frente, vamos ter
Então, juntando tudo:
Resposta
Exercício Resolvido #10
Questão 2: Calcule e , conforme seja o caso:
a)
Passo 1
Vamos começar aqui aplicando o Laplace de ambos os lados da equação:
Podemos então separar na soma dos laplaces, pra facilitar nossa vida, ficando então com
Para calcular o primeiro Laplace vamos precisar lembrar que (tabelado)...
Então, no nosso caso:
Para calcular a outra Laplace vem comigo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula
E, além disso...
Então, no nosso caso...
E, portanto, aplicando a formuleta ali de cima...
Passo 3
Logo, podemos voltar para cá:
E substituir...
Como nos cálculos, apareceu que , e , para essa , peguemos o maior deles: