Introdução

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t + 3 t 3 - t 2 2

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Passo 1

A questão está nos pedindo para fazer a transformada de Laplace da função g ( t ) , ou seja, queremos:

L g t s = L e 2 t + 3 t 3 - t 2 2 s

Podemos ainda separar essas transformadas em 3 blocos da seguinte forma:

= L e 2 t ( s ) + L 3 t 3 s - L t 2 2 ( s )

Podemos ainda colocar as constantes para fora:

= L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Passo 2

Vamos começar, então, resolvendo o primeiro bloco:

L e 2 t ( s )

Para isso, vamos lembrar do seguinte:

L [ e a t ] = 1 s - a

Comparando com o que temos, vemos que:

a = 2

Então,

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 3

Resolvendo, agora, o segundo bloco:

3 L t 3 s

Temos:

L t n s = n ! s n + 1

Comparando com o que temos, vemos que:

n = 3

Aplicando ao problema:

3 L t 3 s = 3 × 3 ! s 3 + 1 = 3 × 3 × 2 × 1 s 4 = 18 s 4

Passo 4

Para o terceiro, e último, bloco vamos utilizar a mesma propriedade do anterior.

1 2 L t 2 ( s )

Onde nesse caso,

n = 2

E aplicando ao problema:

1 2 L t 2 s = 1 2 × 2 ! s 2 + 1 = 1 2 × 2 × 1 s 3 = 1 s 3

Passo 5

Agora, podemos juntar todos os blocos:

L g t s = L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Substituindo esses valores, então:

L g t s = 1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Resposta

1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Exercício Resolvido #2

Determine a Transformada de Laplace de f t = 5 - e 2 t + 6 t 2   e indique a única resposta correta:

      5 - 1 s - 2   - 6 s 3

    5 s 2 - 1 s - 2   + 6 s 3

    - 5 + 1 s - 2   + 6 s 3

    5 s - 1 s - 2   + 12 s 3

    5 s 4 - 1 s - 2   + 6 s 3

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Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer a transformada de Laplace da nossa função:

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s )

Bom, para isso vamos ver as funções que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace:

Passo 2

Então vamos analisar cada termo da função para depois juntar tudo, beleza?

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s )

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + L 6 t 2 ( s )

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + 6 L t 2 ( s )

Do primeiro termo, temos a tranformada de uma contante, olhando a tabela:

L [ 5 ] ( s ) = 5 1 s = 5 s

Passo 3

Do segundo termo:

L e - 2 t s

Vamos usar,

L [ e a t ] = 1 s - a

Comparando com o que temos, vemos que:

a = 2

Então,

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 4

Do terceiro termo:

6 L t 2 ( s )

Vamos usar,

L t n s = n ! s n + 1

Comparando com o que temos, vemos que:

n = 2

Aplicando ao problema:

6 L t 2 s = 6 × 2 ! s 2 + 1 = 6 × 2 × 1 s 3 = 1 2 s 3

Passo 5

Pronto, agora que já sabemos as transformadas de Laplace de todos os termos, podemos substituir na expressão.

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + L 6 t 2 ( s )

L f t s = 5 s - 1 s - 2 + 12 s 3

Resposta

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s ) = 5 s - 1 s - 2 + 12 s 3

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = 5 cos ⁡ ( 2 t ) + s e n 3 t 4

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Passo 1

Fala aiii, nessa questão vamos fazer a transformada de Laplace para g t :

L g t s = L 5 cos ⁡ 2 t + s e n 3 t 4 ( s )

E para isso, vamos dividir em dois termos:

L 5 cos ⁡ 2 t + s e n 3 t 4 s = L 5 cos ⁡ 2 t ( s ) + L s e n 3 t 4 ( s )

Onde podemos tirar as constantes de dentro:

L 5 cos ⁡ 2 t + s e n 3 t 4 s = 5 L cos ⁡ 2 t ( s ) + 1 4 L s e n 3 t ( s )

Passo 2

Essa questão é basicamente aplicação de fórmulas. Então olhando o primeiro termo:

5 L cos ⁡ 2 t ( s )

Sabemos que vamos utilizar a fórmula:

L c o s a t s = s s 2 + a 2

Logo:

a = 2

E,

5 L cos ⁡ 2 t ( s ) = 5 × s s 2 + 2 2 = 5 s ( s 2 + 4 )

Passo 3

E no segundo termo:

1 4 L s e n 3 t ( s )

Vamos utilizar a seguinte fórmula:

L s e n a t s = a s 2 + a 2

Onde,

a = 3

Aplicando isso à nossa questão:

1 4 L s e n 3 t ( s ) = 1 4 × 3 s 2 + 3 2 = 3 4 ( s 2 + 9 )

Passo 4

Agora é só juntar tudo 😉

L g t s = 5 L cos ⁡ 2 t ( s ) + 1 4 L s e n 3 t ( s )

L g t s = 5 s ( s 2 + 4 ) + 3 4 ( s 2 + 9 )

Resposta

5 s ( s 2 + 4 ) + 3 4 ( s 2 + 9 )

Exercício Resolvido #4

Considere f(t) definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A Transformada de Laplace de f ( t ) é dada pela fórmula F s = L f   t = ∫ 0 ∞ e - s t d t . Determine L { e 5 t } .

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Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de e 5 t . Então, podemos substituir na formulinha que a questão nos trouxe:

L e 5 t = ∫ 0 ∞ e 5 t   e - s t d t = ∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t

Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por x e depois aplicamos o limite para x → ∞