Teoria

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t + 3 t 3 - t 2 2

Passo 1

A questão está nos pedindo para fazer a transformada de Laplace da função g ( t ) , ou seja, queremos:

L g t s = L e 2 t + 3 t 3 - t 2 2 s

Podemos ainda separar essas transformadas em 3 blocos da seguinte forma:

= L e 2 t ( s ) + L 3 t 3 s - L t 2 2 ( s )

Podemos ainda colocar as constantes para fora:

= L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Passo 2

Vamos começar, então, resolvendo o primeiro bloco:

L e 2 t ( s )

Para isso, vamos lembrar do seguinte:

L [ e a t ] = 1 s - a

Comparando com o que temos, vemos que:

a = 2

Então,

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 3

Resolvendo, agora, o segundo bloco:

3 L t 3 s

Temos:

L t n s = n ! s n + 1

Comparando com o que temos, vemos que:

n = 3

Aplicando ao problema:

3 L t 3 s = 3 × 3 ! s 3 + 1 = 3 × 3 × 2 × 1 s 4 = 18 s 4

Passo 4

Para o terceiro, e último, bloco vamos utilizar a mesma propriedade do anterior.

1 2 L t 2 ( s )

Onde nesse caso,

n = 2

E aplicando ao problema:

1 2 L t 2 s = 1 2 × 2 ! s 2 + 1 = 1 2 × 2 × 1 s 3 = 1 s 3

Passo 5

Agora, podemos juntar todos os blocos:

L g t s = L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Substituindo esses valores, então:

L g t s = 1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Resposta

1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Exercício Resolvido #2

Determine a Transformada de Laplace de f t = 5 - e 2 t + 6 t 2   e indique a única resposta correta:

      5 - 1 s - 2   - 6 s 3

    5 s 2 - 1 s - 2   + 6 s 3

    - 5 + 1 s - 2   + 6 s 3

    5 s - 1 s - 2   + 12 s 3

    5 s 4 - 1 s - 2   + 6 s 3

Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer a transformada de Laplace da nossa função:

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s )

Bom, para isso vamos ver as funções que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace:

Passo 2

Então vamos analisar cada termo da função para depois juntar tudo, beleza?

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s )

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + L 6 t 2 ( s )

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + 6 L t 2 ( s )

Do primeiro termo, temos a tranformada de uma contante, olhando a tabela:

L [ 5 ] ( s ) = 5 1 s = 5 s

Passo 3

Do segundo termo:

L e - 2 t s

Vamos usar,

L [ e a t ] = 1 s - a

Comparando com o que temos, vemos que:

a = 2

Então,

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 4

Do terceiro termo:

6 L t 2 ( s )

Vamos usar,

L t n s = n ! s n + 1

Comparando com o que temos, vemos que:

n = 2

Aplicando ao problema:

6 L t 2 s = 6 × 2 ! s 2 + 1 = 6 × 2 × 1 s 3 = 1 2 s 3

Passo 5

Pronto, agora que já sabemos as transformadas de Laplace de todos os termos, podemos substituir na expressão.

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + L 6 t 2 ( s )

L f t s = 5 s - 1 s - 2 + 12 s 3

Resposta

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s ) = 5 s - 1 s - 2 + 12 s 3

Exercício Resolvido #3

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = 5 cos ⁡ ( 2 t ) + s e n 3 t 4

Passo 1

Fala aiii, nessa questão vamos fazer a transformada de Laplace para g t :

L g t s = L 5 cos ⁡ 2 t + s e n 3 t 4 ( s )

E para isso, vamos dividir em dois termos:

L 5 cos ⁡ 2 t + s e n 3 t 4 s = L 5 cos ⁡ 2 t ( s ) + L s e n 3 t 4 ( s )

Onde podemos tirar as constantes de dentro:

L 5 cos ⁡ 2 t + s e n 3 t 4 s = 5 L cos ⁡ 2 t ( s ) + 1 4 L s e n 3 t ( s )

Passo 2

Essa questão é basicamente aplicação de fórmulas. Então olhando o primeiro termo:

5 L cos ⁡ 2 t ( s )

Sabemos que vamos utilizar a fórmula:

L c o s a t s = s s 2 + a 2

Logo:

a = 2

E,

5 L cos ⁡ 2 t ( s ) = 5 × s s 2 + 2 2 = 5 s ( s 2 + 4 )

Passo 3

E no segundo termo:

1 4 L s e n 3 t ( s )

Vamos utilizar a seguinte fórmula:

L s e n a t s = a s 2 + a 2

Onde,

a = 3

Aplicando isso à nossa questão:

1 4 L s e n 3 t ( s ) = 1 4 × 3 s 2 + 3 2 = 3 4 ( s 2 + 9 )

Passo 4

Agora é só juntar tudo 😉

L g t s = 5 L cos ⁡ 2 t ( s ) + 1 4 L s e n 3 t ( s )

L g t s = 5 s ( s 2 + 4 ) + 3 4 ( s 2 + 9 )

Resposta

5 s ( s 2 + 4 ) + 3 4 ( s 2 + 9 )

Exercício Resolvido #4

Considere f(t) definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A Transformada de Laplace de f ( t ) é dada pela fórmula F s = L f   t = ∫ 0 ∞ e - s t d t . Determine L { e 5 t } .

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de e 5 t . Então, podemos substituir na formulinha que a questão nos trouxe:

L e 5 t = ∫ 0 ∞ e 5 t   e - s t d t = ∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t

Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por x e depois aplicamos o limite para x → ∞ da seguinte forma:

∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e 5 t - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e ( 5 - s ) t d t

Passo 2

Agora, vamos resolver essa integral e aplicar os limites inferior e superior.

lim x → ∞ ⁡ e 5 - s t ( 5 - s ) 0 x = l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - e 5 - s 0 5 - s = l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s

Bom, chegamos em uma situação em que o limite pode assumir dois valores dependendo do valor de s . Então, vamos precisar analisar os dois casos.

Passo 3

Para o caso em que s < 5 :

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = ∞ - 1 5 - s = ∞

Pois o expoente do e fica positivo, fazendo com que o primeiro termo cresca infinitamente.

Passo 4

Já para s > 5 :

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = 0 - 1 5 - s = 1 s - 5

Pois o expoente do e fica negativo, fazendo com que o primeiro termo seja desprezível.

Então,

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

Resposta

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

Exercício Resolvido #5

( b ) Pela definição, calcule a transformada de Laplace da função (justificando os passos)

f t = e 2 t ,     0 ≤ t < 1 4 ,     1 ≤ t

Passo 1

Aqui vamos calcular a transformada de Laplace usando a definição, beleza?

L f t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t    

Repara que nós temos dois intervalos para essa função:

    0 ≤ t < 1

    1 ≤ t

Então vamos separar a integral nesses dois intervalos:

L f t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Que vai ficar:

L f t = ∫ 0 1 e t 2 - s d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Passo 2

Vamos resolver uma integral de cada vez.

∫ 0 1 e t 2 - s d t

Para resolver essa integral, vamos usar a regra da substituição:

u = t 2 - s

d u = 2 - s d t

Além disso, quando:

t = 0 → u = 0

t = 1 → u = 2 - s

Substituindo:

∫ 0 1 e t 2 - s d t = ∫ 0 2 - s e u 2 - s d u = e u 2 - s 0 2 - s = e 2 - s 2 - s - e 0 2 - s = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s

Passo 3

Já na segunda:

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Essa é uma integral imprópria, então:

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 x 4 e - s t d t = 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s t s 1 x

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s x s - e - s . 1 s = 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s x s + e - s s

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = 4 e - s s

Passo 4

Juntando as duas integrais, nossa transformada será:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

Prontinho! 😊

Resposta

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

Exercício Resolvido #6

Sabendo que a Transformada de Laplace de uma função F t   ( t > 0 ) denotada aqui por L F t é definida por:

Considere f t definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A de   f t é dada pela fórmula

  L F t =   f s = ∫ 0 ∞ F t e - s t d t

E usando a linearidade do operador em questão, determine a Transformada de Laplace da função elementar F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

Passo 1

Fala aiiii!! Essa questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

Então, vamos substituir na fórmula:

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = ∫ 0 ∞ 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 e - s t d t = ∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t + ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t + ∫ 0 ∞ 5 e - s t d t

Agora vamos resolver separadamente cada integral, beleza? Show!

Passo 2

Para a primeira integral:

∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ ∫ 0 k 3 e 5 t e - s t d t

∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 t e - s t 5 - s 0 k = lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s

Aqui nós vamos ter dois casos.

Para s < 5 , o limite tende a infinito.

lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s = ∞ - 1 5 - s = ∞

Para s > 5 , temos:

lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s = 3 s - 5

Passo 3

Para a segunda:

∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ ( ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t )

Nessa integral, teremos que fazer integração por parte três vezes e chegaremos a:

lim k → ∞ ⁡ ( ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t ) = lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 - s 3 e - s t t 3 - 3 s 2 t 2 e - s t - 6 t e - s t - 6 e - s t 0 k  

= lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 [ - s 3 e - s k k 3 - 3 s 2 k 2 e - s k - 6 k e - s k - 6 e - s k - ( - s 3 e - s . 0 0 3 - 3 s 2 0 2 e - s . 0 - 6 . 0 . e - s . 0 - 6 e - s . 0 )

lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 - s 3 e - s k k 3 - 3 s 2 k 2 e - s k - 6 k e - s k - 6 e - s k + 6

Aplicando o limite, chegaremos a:

∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = 2 s 4 6 = 12 s 4

Passo 4

E na terceira e última integral:

∫ 0 ∞ 5 e - s t d t = 5 ∫ 0 ∞ e - s t d t = 5 - e - s t s 0 ∞ = 5 - e - s ∞ s - - e - s . 0 s = 5 0 + 1 s = 5 s

Agora que já calculamos a transformada de Laplace de cada termo, podemos substituir na expressão.

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

Resposta

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

Exercício Resolvido #7

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável s a transformada é válida:

  1. f 1 t = 2 t 3 - 3 e - 2 t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ,   t ≥ 0

Passo 1

Começamos aplicando a transformada em toda a função:

L f 1 t = L 2 t 3 - 3 e - 2 t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

E usamos a linearidade da transformada para separá-las, já que isso nos permite separar em várias transformadas menores, mais tranquilas de resolver.

L f 1 t = 2 L t 3 - 3 L e - 2 t + 2 L sen ⁡ t cos ⁡ t