Teorema de Stevin

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A física está presente em muitas situações cotidianas, quando mergulhamos, sentimos a ação da pressão hidrostática, com base no estudo dos fluidos, é correto afirmar que:

  1. A pressão será a mesma, desde que apenas a densidade do meio seja alterada
  2. Quanto maior a densidade e a profundidade, maior será o valor da pressão hidrostática
  3. A pressão será maior para profundidades menores
  4. A pressão não depende da densidade do fluido
  5. A pressão não tem relação com a densidade e gravidade local

Passo 1

Faaaaala aí! Vamos começar nossa questão de Princípio de Stevin!

Vou começar de cara relembrando o Princípio de Stevin, ele diz o seguinte

Onde h   é a distância do ponto até a superfície do fluido.

Passo 2

Show vamos ver as opções!

  1. A pressão será a mesma, desde que apenas a densidade do meio seja alterada
  2. Falsa né, a gente vê na fórmula que a pressão varia não só com a densidade, mas também com a profundidade!

  3. Quanto maior a densidade e a profundidade, maior será o valor da pressão hidrostática
  4. Verdadeira! Quanto maior a densidade, maior a pressão e quanto maior a profundidade, maior o h e maior a pressão

  5. A pressão será maior para profundidades menores
  6. Falsa, quanto menor a profundidade, menor o h e, por isso, menor a pressão

  7. A pressão não depende da densidade do fluido
  8. Falsa, na fórmula a gente vê que a pressão depende diretamente da densidade

  9. A pressão não tem relação com a densidade e gravidade local

Falsa, Falsa, na fármula a gente vê que a pressão depende diretamente da densidade e da gravidade

Resposta

  1. Quanto maior a densidade e a profundidade, maior será o valor da pressão hidrostática

Exercício Resolvido #2

O físico e matemático Simon Stevin estudou o comportamento da pressão no interior de um líquido. De acordo com o princípio de Stevin qual é a relação entre as pressões nos pontos Q e R , da figura abaixo

  1. P Q < P R
  2. P Q > P R
  3. P Q = P R
  4. P Q = 3 P R
  5. P Q = 1 3 P R

Passo 1

Faaala ai, belezinha? Espero que sim pra gente fazer uma questão do Principio de Stevin!

Vamos começar relembrando como é a equação que nos dá a pressão hidrostática em um ponto

P = ρ g h

Como no enunciado a gente tem o mesmo fluido, então a densidade será a mesma em qualquer parte do fluido. Ou seja, a pressão depende apenas da altura, nesse caso.

Passo 2

Shooow, agora que já relembramos a pressão, vamos ver a nossa questão.

Temos dois pontos Q e R , e pela imagem a gente consegue ver que

h Q < h R

E como a pressão depende só da altura, podemos dizer que

P Q < P R

Como não temos a relação entre as alturas não podemos afirmar que P Q = 1 3 P R , que até é possível mas com as informações que foram dadas no enunciado, não podemos fixar uma relação exata entre Q e R !

P Q < P R

Resposta

  1. P Q < P R

Exercício Resolvido #3

Considere um fluido incompressível em repouso num recipiente como mostrado na figura. São escolhidos três elementos infinitesimais de área, todos a mesma profundidade, mas com orientações diferentes ( A   F I G U R A   E S T Á   F O R A   D E   E S C A L A ) . O que podemos dizer sobre a pressão em cada uma dessas superfícies?

  1. A pressão no elemento orientado para cima é a maior.
  2. A pressão no elemento orientado para a direita é a menor.
  3. A pressão nos três elementos é a mesma.
  4. A pressão no elemento oblíquo é a maior.
  5. A pressão no elemento orientado à direita é a maior.

Passo 1

Faaaala aii! Vamos continuar com nossos estudos sobre o Princípio de Stevin!

Bom, lembra do que vimos sobre a pressão em um objeto dentro de um fluido com relação a profundidade que ele está?

Que a pressão é a mesma pra todos os elementos que estão a mesma altura!!!

Na nossa imagem temos que tudo está na mesma altura, assim:

Então, pelo o princípio de Stevin a resposta é que a pressão é a mesma, a opção c).

Passo 2

Mas isso vai um pouco contra o nosso conhecimento de orientação de área, né?

Porque ali temos 3 elementos com áreas orientadas de formas diferentes. Você poderia pensar: bem, a pressão sempre atua só na vertical, de cima para baixo. Então o elemento 3 , por exemplo, não teria pressão em sua área já que ele não está orientado com a vertical.

Porém, isso não é verdade, porque a afirmativa que a pressão depende apenas da altura é muito forte.

Ela depende apenas da altura, e é a mesma pra elementos com alturas iguais e, além disso, como mostra essa questão, ela é a mesma em todas as direções.

Resposta

c) A pressão nos três elementos é a mesma.

Exercício Resolvido #4

Segundo o teorema de Steven, a diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração gravitacional e a diferença entre a profundidade dos pontos. Desta forma, considere a situação hipotética onde um mergulhador está a 5 m de profundidade num tanque de mergulho com água de densidade 1   g / c m 3 . A pressão atmosférica é igual a 10 5 P a . Sendo g = 10   m / s 2 , podemos afirmar que a pressão absoluta exercida no mergulhador é de:

  1. 2 × 10 5   P a
  2. 4 × 10 3   P a
  3. 3 × 10 2   P a
  4. 1,5 × 10 5   P a
  5. 1 × 10 6   P a

Passo 1

Ooopa, fala ai! Vamos continuar com nosso estudo do princípio de Stevin!

Bom, o enunciado relembra a gente a formulinha, que é a seguinte

P = ρ f l u i d o ⋅ g ⋅ h

E ele conta uma historinha pra gente de um mergulhador que está a 5 m de profundidade na agua com densidade de 1 g / c m 3

Passo 2

Belezinha, agora que a gente já entendeu o que está acontecendo com nosso mergulhador, vamos começar os cálculos!

Antes de partir pra cima, a gente tem que ver as unidades, a resposta está em P a , então precisamos que tudo esteja no SI, ou seja: metro, kg, segundo.

1 g / c m 3 temos que passar para k g / m 3 .

Já vou dar o bizu para essa conversão, temos que multiplicar por 1000

Então temos que

1 g / c m 3 = 1000   k g / m 3

A gente tem que

P = ρ f l u i d o ⋅ g ⋅ h

Substituindo os valores do enunciado, temos

P = 1000 ⋅ 10 ⋅ 5

P = 50.000

Passo 3

Mas espera ai que ainda não acabouuu! O que a gente achou é a pressão só da água sobre o mergulhador, para acharmos a pressão total ainda temos que somar com a pressão atmosférica que o enunciado nos informa!

P t o t a l = P + P a t m

P t o t a l = 50.000 + 10 5

Para fazer essa soma precisaremos colocar os números com a mesma potência de 10 . Repare que o 50.000 possui 4 zeros, então podemos coloca-lo em notação científica assim

50.000 = 5 ⋅ 10 4

mas o que precisamos mesmo é da potência 10 5 . Então, precisamos andar com a vírgula mais uma casa para a esquerda lá no 5

50.000 = 0,5 ⋅ 10 5

Agora sim! Estamos com os números na mesma potência de 10 . Vamos reescrever nossa pressão

P t o t a l = 0,5 × 10 5 + 1 × 10 5

P t o t a l = 1 , 5 × 10 5 P a

Resposta

d) 1,5 × 10 5 P a

Exercício Resolvido #5

Um peixe se encontra a 15   m de profundidade da superfície de um oceano. Sabendo-se que a densidade da água do mar vale d = 1,03 × 10 3 k g / m 3 , a P a t m = 1 × 10 5 N / m 2 e que g = 10   m / s 2 , podemos afirmar que a pressão suportada pelo peixe vale, em P a :

Passo 1

Oiiii! Bora pra mais uma questão de Principio de Stevin? “Siiiim” Vamo que vamo!

Bom, vamos começar entendendo a questão, temos um peixinho nadando beeem fundo, com as seguintes condições:

h = 15   m

d = 1,03 × 10 3 k g / m 3

P a t m = 1 × 10 5 N / m 2

g = 10 m / s 2

Um detalhe importante, as vezes a densidade pode ser escrita como ρ e as vezes aparece como d , mas é tudo a mesma coisa ,ok?

Show, tiramos as informações que precisamos, falta só lembrar duas coisinhas:

P t o t a l = P r e l a t i v a + P a t m

P r e l a t i v a = d ⋅ g ⋅ h

Passo 2

Beeeelezinha, agora vamos partir pra cima, começando pela P r e l a t i v a !

P r e l a t i v a = d ⋅ g ⋅ h

Substituindo os valores que a gente tem P r e l a t i v a = 1,03 × 10 3 ⋅ 10 ⋅ 15

P r e l a t i v a = 154,5 × 10 3 N / m 2

Vamos escrever em notação cientifica pra ficar mais bonitinho

P r e l a t i v a = 1,55 × 10 5 N / m 2

Passo 3

Beleuza pura! Agora a gente só precisa somar a pressão relativa (que acabamos de achar) com a pressão atmosférica (que é dada no enunciado)

P t o t a l = P r e l a t i v a + P a t m

P t o t a l = 1,55 × 10 5 + 1 × 10 5

P t o t a l = 2,55 × 10 5 N / m 2

Repare que o enunciado pede a resposta em P a e a unidade que colocamos foi N / m 2 porque tivemos que colocar a mesma unidade da pressão atmosférica dada no enunciado.

E agora, como faremos para passar N / m 2 para P a ? É muito simples, basta trocar um pelo outro! Olha a relação entre essas unidades

1 N / m 2 = 1 P a

Então nossa pressão fica

P t o t a l = 2,55 × 10 5 P a

Resposta

P t o t a l = 2,55 × 10 5 P a

Exercício Resolvido #6

Durante a atividade de exploração de petróleo, principalmente quando ocorre em águas profundas, é necessário operar em profundidades em torno de 150   m . Muitas vezes quem realiza esse trabalho são os mergulhadores, utilizando roupas especiais que são capazes de suportar a pressão exercida pela coluna de água. Qual deve ser a intensidade da força, por c m 2 de área que essa roupa especial suporta a essa profundidade?

Passo 1

Faaaala aii! Bora pra mais uma questão sobre Princípio de Stevin!A questão diz pra gente que

h = 150   m

Eu já vou te dar uns bizus que o enunciado não informa mas é sempre bom a gente saber

Geralmente a gente considera a gravidade como:

g = 9,8   m / s 2           o u               g = 10   m / s 2

No caso dessa questão como ele não informa a gravidade, vamos usar

g = 10   m / s 2

Além disso, temos que a densidade da água é

ρ = 1000   k g / m 2

E a pressão atmosférica vale

P a t m = 1 × 10 5 P a

Passo 2

Show de bola! Bora partir para nossas fórmulas!

Temos que calcular a pressão total exercida sobre o mergulhador

P T = P a t m + P á g u a

Temos que P á g u a = ρ g h

P T = P a t m + ρ g h

P T = 1 × 10 5 + 1000 ⋅ 10 ⋅ 150

Isso dá pra gente:

P T = 1 × 10 5 + 1.500.000

Repare que o 1.500.000 possui 5 zeros. Então, colocando em notação cientfica, temos

P T = 1 × 10 5 + 15 × 10 5

Isso nos dá

P T = 16 × 10 5 N m 2

Passo 3

Maaas segura o cavalinho ai! A questão pede pra gente em c m 2

Temos que

1 m 2 = 10 4 c m 2

Como c m 2 está no denominador, vamos dividir o resultado por 10 4

P T = 16 × 10 5 10 4 N c m 2

Aqui precisamos usar a regrinha da divisão de potências na mesma base: Repete a base e subtrai os expoentes

10 5 10 4 = 10 5 - 4 = 10 1 = 10

No final, ficamos com

P T = 16 × 10   N / c m 2

P T = 160   N / c m 2

Resposta

P T = 160   N / c m 2

Exercício Resolvido #7

O tubo de plástico da figura abaixo tem uma seção reta de 5,00   c m 2 . Introduz-se água no tubo até que o lado mais curto (de comprimento d   =   0,800   m ) fique cheio. Em seguida, o lado menor é fechado e mais água é despejada no lado maior. Se a tampa do lado menor é arrancada quando a força a que está submetida excede 9,80   N , que altura da coluna de água do lado maior deixa a tampa na iminência de ser arrancada?

OBS.: use ρ á g u a = 1000   k g / m 3

Passo 1

Faaaala aí! Vambora pra mais um exercício para ficar fera no Princípio de Stevin!

Bom, de acordo com o Princípio de Stevin, temos que as pressões nos pontos A e B serão iguais:

E podemos relacionar a pressão no ponto B com a equação:

P = ρ á g u a g h

Onde h será a altura da coluna de água acima desse ponto.

Passo 2

Bom, na situação descrita, nós vamos ter uma coluna d’água exercendo uma pressão no lado mais curto, para arrancar a tampa, logo, temos umas força associada a essa pressão.

E o enunciado diz que a força na iminência da tampa ser arrancada vale 9,80   N e que o tubo de plástico tem uma seção reta de 5,00   c m 2 . Para passar para m 2   vamos multiplicar por 10 - 4 e isso vai nos dar   0,0005   m 2 .

A pressão e a força vão se relacionar por:

P = F A = 9,8 0,0005

Agora, usando as duas equações encontradas:

P = ρ á g u a g h

P = 9,8 0,0005

Igualando os dois valores de P , temos

ρ a g u a g h = 9,8 0,0005

Agora vamos substituir os valores de ρ e g

1000 ⋅ 9,8 ⋅ h = 9,8 0,0005

Para encontrar o h precisamos passar o 1000 ⋅ 9,8 para o outro lado dividindo

h = 9,8 9,8 ⋅ 1000 ⋅ 0,00 0 5

Podemos cortar os 9,8 e multiplicar 0,0005 por 1000

h = 1 0,5

h = 2   m

Passo 3

Calma calma, ainda não terminou: esse valor de h é a altura a partir do ponto B, lembra? Então, nossa verdadeira altura (do chão) vale:

d + h = 0,8 + 2 = 2,8   m

Agora sim hehe acabamos a questão.

Resposta

A altura da coluna de água vale 2,8   m .

Exercício Resolvido #8

Três líquidos não miscíveis 1,2 e 3 estão colocados em vasos comunicantes. Sendo ρ 1 = 0,50   g / c m 3 e ρ 2 = 2,50   g / c m 3 , determine a massa especifica do líquido 3 ρ 3 .

Dados g = 10 m / s 2

Passo 1

Faaala galerinha, bora pra mais um questão sobre princípio de Stevin!

Bom vamos começar relembrando o que o Stevin fala pra gente:

A pressão em um mesmo fluido é igual para alturas iguais”

E é o que conseguimos ver nos pontos A e B ! Eles estão na mesma altura e estão no fluido 2 !

Passo 2

Show, então o que a gente pode fazer é dizer que

P A = P B

Mas quem são essas pressões? Vamos ver tudo que tem em cima desses pontos!!

Para P A temos

P A = P a t m + ρ 1 ⋅ g ⋅ h 1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 2

Substituindo pelos valores do enunciado e da figura, temos:

P A = P a t m + 0,50 ⋅ 10 ⋅ 7 + 2,50 ⋅ 10 ⋅ 2

P A = P a t m + 35 + 50

P A = P a t m + 85

Para P B temos:

P B = P a t m + ρ 3 ⋅ g ⋅ h 3

Substituindo pelos valores do enunciado e da figura, temos:

P B = P a t m + ρ 3 ⋅ 10 ⋅ 5

P B = P a t m + 50 ρ 3

Passo 3

Belezinha, a gente quer achar então o ρ 3 , para isso vamos igualar P A com P B , como já vimos anteriormente!

P A = P B

Substituindo os valores que achamos para cada pressão, ficamos com

P a t m + 85 = P a t m + 50 ρ 3

Podemos cortar os P a t m ’s, ficando com

85 = 50 ρ 3

par isolar o ρ 3 precisamos passar o 50 para o outro lado dividindo

ρ 3 = 85 50

ρ 3 = 1,7

E a unidade vai ser a mesma das outras massas específicas!

ρ 3 = 1,7 g / c m 3

Resposta

ρ 3 = 1,7 g / c m 3

Exercício Resolvido #9

Dois líquidos A e B , possuem massa específica ρ a = 0,80 g / c m 3 e ρ b = 1,6 g / c m 3 . Estes fluidos são imiscíveis e estão em equilíbrio em um tubo em U, conforme ilustrado abaixo. O desnível h entre as superfícies livres dos dois fluidos vale (em c m ):Dados: d = 40   c m

Passo 1

Faaaala ai, belezinha? Vamos pra mais uma questão sobre o princípio de Stevin!

Lembra laa na teoria que o princípio de stevin diz pra gente que:

“A pressão em um mesmo fluido é igual em alturas iguais”

É isso que a gente vai fazer aqui, vamos pegar o ponto em que temos dois fluidos iguais que a gente saiba quais são as alturas!

Se liga nessa ajeitada que vamos fazer no nosso desenho!

Vamos escolher o ponto em que o líquido A e B se encontram, traçar uma reta horizontal e ver quais são as alturas!

Aí sim! Podemos aplicar o Teorema de Stevin nessa altura!

Passo 2

Show agora que a gente entende melhor o que tá acontecendo vamos partir pra cima da nossa questão!

Pelo teorema de Stevin, temos que

P 1 = P 2

Para o ponto P 1 , a pressão acima dele é

P 1 = P a t m + P A

E a pressão de P A vale:

P A = ρ A g h

P A = 0,80 ⋅ 10 ⋅ 40

P A = 320

P 1 = P a t m + 320

Para o ponto P 2 , temos que

P 2 = P a t m + P B

E a pressão de P B vale:

P B = ρ B g h

P B = 1,6 ⋅ 10 ⋅ ( 40 - h )

P B = 16 ⋅ ( 40 - h )

P 2 = P a t m + 16 ⋅ ( 40 - h )

Passo 3

Belezinha, agora vamos igualar as duas pressões!

P 1 = P 2

Substituindo pelo que a gente achou, temos:

P a t m + 320 = P a t m + 16 ⋅ 40 - h

Podemos cortar os P a t m

320 = 16 ⋅ 40 - h

como precisamos isolar o h e temos aquele 16 multiplicando geral, podemos passar ele para o outro lado dividindo

40 - h = 320 16

fazendo a divisão

40 - h = 20

passaremos o 40 para o outro lado com sinal contrário

- h = 20 - 40

- h = - 20

repare que ficamos com um - h , como faremos para consertar isso? Simples, só trocar o sinal de todo mundo! (é a mesma coisa que multiplicar todo mundo por - 1 )

h = 20

Uhul! Achamos a resposta

h = 20   c m

Resposta

h = 20   c m

Exercício Resolvido #10

Considerando a figura a seguir, determine a diferença de pressão entre os pontos A e B (em k P a )

Dados: h 1 = 25   c m ; h 2 = 15 c m ; h 3 = 50 c m ,   ρ á g u a = 1.000   k g / m 3 e ρ a z e i t e = 800   k g / m 3