Princípio de Pascal

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um objeto de peso 2000   N é colocado sobre a área maior de um elevador hidráulico que possui valor de 0,4   m 2 . Determine a mínima força necessária a ser aplicada sobre a área menor, de valor 4 ∙ 10 - 4   m 2 , para que o objeto possa ser elevado.

Passo 1

Faaaaaala ai, bora pra cima desse exercício sobre Princípio de Pascal!

Vamos começar entendendo como representar esse nosso elevador hidráulico

Só temos que encontrar uma força que compense a força peso do objeto sobre a área maior.

Passo 2

Shoow, vamos relembrar a formulinha do principio de Pascal. Ele diz que as pressões tem que ser iguais!

P 1 = P 2

E como

P = F A

Temos que

F 1 A 1 = F 2 A 2

Passo 3

Show, bora substituir os valores que a gente tem!

F 1 4 ∙ 10 - 4 = 2000 0,4

Queremos encontrar F 1 !

Então vamos passar o 4 ⋅ 10 - 4 para o outro lado da equação multiplicando

F 1 = 2000 ⋅ 4 ⋅ 10 - 4 0,4

Para resolver essa conta podemos ignorar a potência de 10 por enquanto e trabalhar com os outros números.

2000 ⋅ 4 0,4 = 8000 0,4 = 20000

Agora aplicando esse resultado no nosso F 1

F 1 = 20000 ⋅ 10 - 4

Aqui deixarei uma dica bem legal para trabalhar com potências de 10 . Perceba que o expoente é negativo, isso significa que temos que andar com a vírgula para a esquerda! Mas quantas casas? Temos que andar 4 casas para a esquerda!

F 1 = 2,0000

Pronto! Como não precisamos representar os zeros depois da vírgula, chegamos na nossa resposta 😊

F 1 = 2   N

Resposta

Força mínima que deve ser aplicada vale 2   N .

Exercício Resolvido #2

A figura abaixo mostra o princípio de funcionamento de um elevador hidráulico, formado por um sistema de vasos comunicantes contendo um fluído incompressível no seu interior. Considere que a aceleração da gravidade vale 10   m / s 2   . Sabendo-se que as áreas das seções transversais dos pistões 1 e 2 são, respectivamente, A 1   =   0,2   m 2  e A 2   =   1   m 2   , o módulo da força F 1  necessária para erguer o peso equivalente de uma carga com massa igual a 100   k g será:

  1. 10   N
  2. 50   N
  3. 100   N
  4. 150   N
  5. 200   N

Passo 1

Opa, tudo bem? Vambora continuar nossos exercícios sobre o Princípio de Pascal!

Bom, o enunciado dá para a gente várias informações importantes, temos que as áreas são:

A 1 = 0,2   m 2

A 2 = 1   m 2

Além disso, temos que a massa da carga em A 2 é:

m = 100   k g

Considerando a gravidade 10 m / s 2 , podemos calcular o peso

P = m ⋅ g

P = 100 ⋅ 10

P = 1000   N

Como P = F 2

F 2 = 1000   N

Passo 2

Show! Agora vamos lembrar como é o princípio de Pascal!

F 1 A 1 = F 2 A 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

F 1 0,2 = 1000 1

Fazendo uma multiplicação cruzada, ficamos com

F 1 = 1000 ⋅ 0,2

F 1 = 200   N

Uhul! Vamos continuar praticando!

Resposta

e) 200   N

Exercício Resolvido #3

A figura abaixo mostra esquematicamente uma prensa hidráulica. Os êmbolos tem respectivamente área A 1 = 20   c m 2 e A 2 = 200   c m 2 . Se for aplicada no êmbolo 1 uma força de 400   N , a força transmitida em 2 (em N ) será:

Passo 1

Faaaaala aí! Vambora continuar nossos estudos sobre Princípio de Pascal!

Vamos começar pegando as informações que o enunciado dá pra gente!

A 1 = 20   c m 2

A 2 = 200   c m 2

F 1 = 400   N

F 2 = ? ?

Passo 2

Shoow, agora que separamos tudo bonitinho, vamos relembrar como é o Prinicipio de Pascal, ele diz pra gente que as pressões tem que ser iguais!

P 1 = P 2

Como P = F A

F 1 A 1 = F 2 A 2

Vamos substituir os valores que separamos no passo anterior!

400 20 = F 2 200

Podemos dividir o lado esquerdo da equação

20 = F 2 200

Para encontrar o F 2 precisamos deixar ele sozinho, então vamos passar o 200 para o outro lado multiplicando

20 ⋅ 200 = F 2

Fazendo essa multiplicação encontraremos o que estamos procurando

F 2 = 4000 N

Resposta

F 2 = 4000 N

Exercício Resolvido #4

A seguir está representada uma prensa hidráulica. Sobre a plataforma 1 , de área 1,5   m 2 , encontra-se uma pessoa de massa 92   k g . Considerando a acelaracao da gravidade g = 10   m / s 2 e A 2 = 15   m 2 , determine a força aplicada na plataforma 2

Passo 1

Faaaaala ai, vamo que vamo pra mais uma questão de Princípio de Pascal!

Bom, vamos começar relembrando o Princípio de Pascal! Ele diz o seguinte

P 1 = P 2

Como P = F A

F 1 A 1 = F 2 A 2

Então vamos pegar as informações do enunciado

A 1 = 1,5   m 2

A 2 = 15   m 2

E ele dá pra gente que a massa da pessoa vale

m = 92   k g

Juntando essa informação com o valor da gravidade que ele da pra gente, podemos calcular a força peso do carinha

F 1 = m ⋅ g

F 1 = 92 ⋅ 10

F 1 = 920   N

Passo 2

Show, achamos os valores que a gente precisava, agora é só substituir na equação do Princípio de Pascal!

F 1 A 1 = F 2 A 2

Agora é só substituir pelos valores que a gente viu no passo 1

920 1,5 = F 2 15

Para encontrar o F 2 precisamos deixar ele sozinho de um lado da equação. Então vamos passar o 15 para o outro lado multiplicando

920 ⋅ 15 1,5 = F 2

Podemos dividir o 15 com o 1,5 , que dará 10

920 ⋅ 10 = F 2

Fazendo essa multiplicação encontraremos o F 2

F 2 = 9200   N

Resposta

F 2 = 9200   N

Exercício Resolvido #5

Uma força F 1 é aplicada sobre a área menor de um elevador hidráulico. Sabendo que a área maior A 2 é o quíntuplo da área menor A 1 e que a força F 2 exercida sobre a área maior é de 2000   N , determine F 1 .

Passo 1

Fala galerinha! Vamos partir pra mais uma questão de Princípio de Pascal!

Bom a questão mostra o que está acontecendo nesse elevador hidráulico! Bora fazer um desenho disso pra entender melhor!

Além disso, o enunciado diz que:

“A área maior é o quíntuplo da área menor”

Colocando isso em matematiques, temos que:

A 2 = 5 A 1

Passo 2

Belezinha! Agora que a gente já entendeu melhor a questão, vamos usar o Princípio de Pascal! Como as pressões tem que ser iguais

P 1 = P 2

e podemos escrever a pressão como sendo P = F A , então

F 1 A 1 = F 2 A 2

Bora pegar os valores que temos e substituir!

F 1 A 1 = 2000 5 A 1

Podemos cortar esses A 1 dos dois denominadores, ficando com

F 1 = 2000 5

Fazendo essa divisão encontraremos a força F 1

F 1 = 400   N

Bora pra mais exercícios pra ficar fera!

Resposta

F 1 = 400   N

Exercício Resolvido #6

Uma prensa hidráulica é representada a seguir. Qual deve ser o valor da força F ( k N ) , aplicada no embolo 2 , para que o sistema possa suportar uma carga de 1000   N no embolo 1 , permanecendo em equilíbrio? Dados A 2 = 1,2   m 2   e A 1 = 4700   c m 2

  1. 25,5   k N
  2. 255   k N
  3. 2,55   k N
  4. 2,05   k N
  5. 205   k N

Passo 1

Opa, e ai galerinha tudo certo? Vamos partir pra cima dessa questão de Principio de Pascal!

A primeira coisa que a gente vai fazer é passar esse c m 2 para m 2 . Mas como faremos isso?? Lembra que quando queremos passar c m para m a gente fazia essa tabelinha aqui:

De c m 2 → m 2 é bem parecido, fica assim

Como pulamos duas casas, temos

A 1 = 4700   c m 2 = 0,47   m 2

Passo 2

Show agora que já temos as unidades iguais, vamos relembrar o Princípio de Pascal!

Ele diz pra gente que

F 1 A 1 = F 2 A 2

E pelo enunciado

A 1 = 0,47   m 2

A 2 = 1,2   m 2

F 1 = 1000   N

Substituindo tudo isso na nossa formulinha

1000 0,47 = F 2 1,2

Para resolver essa conta, podemos passar o 1,2 para o outro lado multiplicando

1000 ⋅ 1,2 0,47 = F 2

Multiplicando o numerador, ficamos com

1200 0,47 = F 2

E fazendo essa divisão encontraremos a força F 2

F 2 = 2553   N

Passo 3

Maaas segura ai, ele pede pra gente em k N , então a gente tem que dividir por 1000 essa força

F 2 = 2553 1000 = 2,55 3   k N

Resposta

c) 2,55   k N  

Exercício Resolvido #7

Um engenheiro deseja elevar uma carga de 12.000   k g utilizando um elevador hidráulico, como o representado logo a seguir. A razão entre o diâmetro da plataforma d P e o diâmetro do pistão d F sobre o qual será aplicada a força F 1 é de d P d F = 40 . Desprezando os atritos, qual será a força F 1 necessária para levantar a carga?

Passo 1

Faaaala galerinha bonita! Simbora pra mais uma questão sobre o Princípio de Pascal!

Bom, o enunciado nos dá uma relação entre d P e d F , que é a seguinte:

d P d F = 40

Podemos passar o d F para o outro lado e ficar com

d P = 40 d F

Show, bora segurar isso daí enquanto vemos outras coisas!

Passo 2

Além dessa informação, o enunciado dá pra gente que

m c a r g a = 12.000   k g

Então, para acharmos o peso (que é o nosso F P )   precisamos multiplicar pela gravidade

P = 12.000 ⋅ 10

P = 120.000   N

F P = 120.000   N

Passo 3

Show de bolinhas, agora a gente vai colocar na nossa formulinha clássica do princípio de Pascal!

F 1 A 1 = F 2 A 2

Sendo que podemos fazer as relações

F 1 = F F

F 2 = F P

E com relação às áreas, precisamos de um raciocínio a mais, já que ele não nos deu o valor delas.

Lembram como calcula área de uma circunferência? Não!? Então deixa eu refrescar sua memória

A = π R 2

em que o R é o raio da circunferência. Mas o safado do enunciado não nos deu o raio ☹

Então vamos ret que usar uma outra relaçãoziha entre raio e diâmetro

R = d 2

Agora sim temos uma informação que foi dada no enunciado! Com isso, podemos calcular a área da sequinte forma

A = π R 2 = π d 2 2 = π d 2 4

Maravilha! vamos usar isso no nosso Princípio de Pascal!!

F F π d F 2 4 = F P π d P 2 4

Perceba que podemos cortar os π e os 4 dos dois lados da equação

F F d F = F P d P

Olha que bacana, encontramos uma relação com os diâmetros!!

Passo 4

Como já calculamos F P = 120.000   N , vamos substituir

F F d F = 120.000 d P

Só que também já vimos que d P = 40 d F

Então ficamos com

F F d F = 120.000 40 d F

Podemos simplificar os d F dos dois lados, ficando com

F F = 120.000 40

E finalmente

F F = 3000   N

Resposta

F F = 3000   N

Exercício Resolvido #8

A prensa hidráulica mostrada na figura está em equilíbrio. Sabendo-se que os êmbolos possuem uma relação de áreas de 2 : 5 , determine a intensidade da força F .

Passo 1

Opa, fala aii! Vamos pra mais uma questão sobre Princípio de Pascal!

Temos uma prensa hidráulica em equilíbrio. Então, aplicaremos o Princípio de Pascal, que é desse jeitinho aqui:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Passo 2

O enunciado diz uma coisa meio estranha, não é? Ele diz que a relação entre as áreas é de 2 : 5 , o que será que isso significa?

Bom, vamos lá. Isso significa que a proporção entre uma área e a outra é de 2 5 .

Então, podemos usar essa relação da forma que é mostrada na figura, chamando

A 1 = 2 a

A 2 = 5 a

No lado esquerdo, sabemos a força aplicada:

F 1 = 28   k g f

Observação: mesmo que a gente não conheça essa unidade de força, isso não influencia nas contas. No final, encontraremos F 2 nessa mesma unidade! (mas pra quem ficou curioso, k g f significa quilograma-força 😊)

Passo 3

Pelo Princípio de Pascal

F 1 A 1 = F 2 A 2

Substituindo as informações na fórmula

28 2 a = F 2 5 a

Podemos cortar os a ’s dos dois denominadores!

28 2 = F 2 5

Podemos também simplificar 28 com   2

14 = F 2 5

Agora passando esse 5 multiplicando, temos que

14 ⋅ 5 = F 2

Isso nos dá que

F 2 = 70

Passo 4

Como já vimos na observação do Passo 2 , a unidade de F 2 vai ser a mesma de F 1 , então temos que

F 2 = 70   k g f

Resposta

F 2 = 70   k g f

Exercício Resolvido #9

Na figura apresentada a seguir, os êmbolos ( A )   e   ( B ) possuem áreas de 80   c m ² e 20   c m ² respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em ( A ) é igual a 100   k g , determine a massa do corpo colocado em ( B ) .

Passo 1

Faaaala ai galerinha! Vamo que vamo para mais uma questão de Princípio de Pascal!

Queremos determinar a massa do bloco em ( A ) para que o sistema permaneça em equilíbrio.

Temos uma prensa hidráulica. Então, aplicaremos o Princípio de Pascal.

As pressões são iguais nas duas extremidades

P A = P B

Como P = F A

F A A A = F B A B

Passo 2

Conhecemos as áreas nos dois lados:

A A = 80   cm 2   A B = 20   cm 2

Mas ainda não sabemos as forças, apenas as massas! Então precisamos calcular os pesos multiplicando a massa pela gravidade

F A = m A ⋅ g

onde m A = 100   kg . Temos então que

F A = 100 g

E para a força F B

F B = m B ⋅ g

Passo 3

Agora é hora de substituir essas informações na equação do Princípio de Pascal

F A A A = F B A B

Substituindo os valores que temos, ficamos com

100 ⋅ g 80 = m B ⋅ g 20

Podemos cortar os g ' s dos dois lados, ficando com

100 80 = m b 20

Podemos dar uma simplificada do lado esquerdo, ficando com

10 8 = m b 20

Para encontrar o m B vamos passar o 20 para o outro lado multiplicando

10 ⋅ 20 8 = m B

Multiplicando o numerador, ficamos com

200 8 = m B

E ao fazer essa divisão encontraremos o m B

m b = 25

Passo 4

A unidade de m b   vai ser a mesma de m a , ou seja

⇒ m B = 25   kg

Resposta

m B = 25   kg

Exercício Resolvido #10

Uma prensa hidráulica tem um pistão com 2,0   c m de diâmetro e outro pistão com 8,0   c m de diâmetro. A força que deve ser aplicada ao pistão menor para obter uma força de 1600 N no pistão maior é:

  1. 25   N
  2. 1600   N
  3. 100   N
  4. 6,25   N
  5. 400   N

Passo 1

Faaaaala aí! Vamos pra mais uma questão de Princípio de Pascal!

O enunciado diz pra gente que

d 1 = 2,0   c m

d 2 = 8,0   c m

F 2 = 1600 N

F 1 =   ?

Passo 2

Show separamos tudo! Mas o Princípio de Pascal diz que

F 1 A 1 = F 2 A 2

E o enunciado não informa a área, apenas o diâmetro do pistão. Como o pistão tem o topo com formato de um circulo, temos que a área dele é:

A = π r 2

Como o enunciado não nos deu os raios, precisamos lembrar da relação entre o raio e o diâmetro

r = d 2

Então, pegando cada diâmetro e dixidindo por 2 ensontraremos seus raios

d 1 = 2,0   c m → r 1 = 1,0   c m

d 2 = 8,0   c m → r 2 = 4,0   c m

Agora vamos calcular as áreas A 1   e A 2

Para A 1 , temos

A 1 = π 1 2

A 1 = π   c m 2

Para A 2 , temos

A 2 = π 4 2

A 2 = 16 π   c m 2

Passo 3

Belezinha, agora que a gente tem as áreas, vamos substituir na nossa equação!

F 1 A 1 = F 2 A 2

F 1 π = 1600 16 π

Podemos cortar esses π ’s feiosos dos denominadores

F 1 = 1600 16

Simplificando, ficamos com

F 1 = 100   N

Resposta

c) 100   N