Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção Populacional Não Conservativo.

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Enunciado

Deseja-se estimar a probabilidade de acerto (de encaçapar a bola com uma jogada) do campeão nacional de sinuca. Um intervalo de 95 % de confiança foi obtido para estimar esta probabilidade: ( 0,66 ; 0,94 ) .

  1. Forneça uma estimativa pontual para a probabilidade de acerto.
  2. Se o intervalo é conservador (ou conservativo), qual é o tamanho da amostra?
  3. Calcule, para este mesmo tamanho de amostra, o intervalo não conservador (ou não conservativo). Há diferença? Por quê?

Passo 1

(a)

Um intervalo de confiança é simétrico em torno da estimativa, concorda?

Um intervalo para a média μ é:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

É a estimativa x ¯ ± d .

Pensando assim... a estimativa da probabilidade seria:

p ^ - d = 0,66

p ^ + d = 0,94

Somando as equações:

2 p ^ = 1,6

p ^ = 0,8

Passo 2

(b)

Agora que a gente sabe o valor da estimativa p ^ :

p ^ = 0,8

A gente pode descobrir o d .

p ^ - d = 0,66

d = 0,8 - 0,66

d = 0,14

E para intervalos conservativos, a gente sabe que:

d = z 1 - α 2 . 1 4 n

Passo 3

Como o intervalo é de 95 % ...

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975

E olhando na tabela da Normal:

z 0,975 = 1,96

Passo 4

Agora que a gente já tem tudo, só isolar o n ...

0,14 = 1,96 × 1 4 n

n = 1,96 2 × 0,14

n = 49

Passo 5

(c)

Um intervalo não conservativo tem a seguinte forma:

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

Se você reparar, já conhecemos todo mundo.

p ^ = 0,8

z 1 - α 2 = 1,96

n = 49

Então é só calcular.

Passo 6

z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n = 1,96 × 0,8 × 0,2 49

= 0,112

E daí:

I C = 0,8 - 0,112   ; 0,8 + 0,112

I C = 0,688   ; 0,912

E sim, os intervalos são diferentes... o conservador é maior porque ele considera o cenário mais desfavorável, aquele com p 1 - p = 1 / 4 . O nome “conservador” já diz né?

Resposta

a   p ^ = 0,8

b   n = 49

c   I C = 0,688   ; 0,912