Exercícios Resolvidos de Reta de Regressão

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Enunciado

Uma amostra de dez casais e seus respectivos salários anuais (em s.m.) foi colhida num certo bairro conforme vemos na tabela abaixo:

Sabe-se que:

∑ x i = 200   ,   ∑ y i = 100   ,   ∑ x i 2 = 4500   ,   ∑ y i 2 = 1150   ,   ∑ x i y i = 2150

  1. Calcule a média e o desvio padrão do salário anual dos homens.
  2. Calcule o primeiro, segundo e terceiro quartis do salário anual das mulheres.
  3. Construa o diagrama de dispersão e encontre a correlação entre o salário anual dos homens e o das mulheres. O que os resultados indicam?

Passo 1

(a)

Pra calcular a média e o desvio padrão, só vamos aplicar fórmulas.

E X = ∑ x i n

Como: ∑ x i = 200   e n = 10 .

E X = 200 10

E X = 20

Passo 2

Pra variância...

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ ² n - 1

A gente já conhece todos esses valores, até o x ¯ = 20 que a gente acabou de calcular.

s 2 = 4500 - 10 × 20 ² 9

s ² = 55,55

Daí:

s = 55,55

s = 7,45

Passo 3

(b)

Primeiro colocamos os salários das mulheres em ordem crescente...

5     5     5     10     10     10     10     15     15     15

Muito importante fazer isso, se não fica tudo errado... não esquece!!

Daí agora é só localizar os quantis e achar o valor referente...

O segundo quantil Q 2 , que é a mediana, fica no meio, na posição:

n + 1 2

Como n = 10 ... o segundo quantil é o valor na posição 5,5 (média entre o quinto e o sexto).

Q 2 = 10 + 10 2

Q 2 = 10

Passo 4

O primeiro quantil Q 1 , fica na posição:

n + 3 4 = 13 4 = 3,25

Uma média ponderada entre o terceiro e o quarto valor.

Q 1 = 0,75 × 5 + 0,25 × 10

Q 1 = 6,25

Já o Q 3 fica na posição:

3 n + 1 4 = 31 4 = 7,75

Média ponderada entre o sétimo e o oitavo.

Q 3 = 0,25 × 10 + 0,75 × 15

Q 3 = 13,75

Passo 5

(c)

O diagrama de dispersão é fácil, só plotar os dados dos homens e das mulheres, um em cada eixo.

Passo 6

Vamos achar a correlação agora, que é:

r x y = s x y s x s y

Temos muito o que calcular antes então.

O s x a gente já conhece da letra (a), é o desvio padrão dos homens.

s x = 7,45

Vamos calcular o das mulheres.

s y 2 = ∑ y i 2 - n . y ¯ 2 n - 1

Onde:

y ¯ = ∑ y i n = 100 10 = 10

E daí:

s y 2 = 1150 - 10 × 10 2 9 = 16,7

s y ≅ 4,08

Passo 7

Falta só s x y que é pela fórmula:

s x y = ∑ x i y i - n . x ¯ . y ¯ n - 1

Substituindo tudo:

s x y = 2150 - 10 × 20 × 10 9

s x y = 16,67

Passo 8

Agora que já temos tudo, é só juntar e achar a correlação.

r x y = s x y s x s y

= 16,67 7,45 × 4,08

r x y ≅ 0,548

Essa correlação indica uma relação linear positiva (quando um cresce o outro cresce também) moderada entre o salário dos homens e suas respectivas mulheres.

Resposta

a   E X = 20   e   s = 7,45

b   Q 1 = 6,25   ,   Q 2 = 10   e   Q 3 = 13,75

c   r x y = 0,548

Essa correlação indica uma relação linear positiva (quando um cresce o outro cresce também) moderada entre o salário dos homens e suas respectivas mulheres.