Reta de Regressão

Teoria Completa

Covariância e correlação

Como a gente já viu antes, as vezes, a gente se interessa por mais de uma característica de um mesmo coisa e precisamos estudar como elas se relacionam.

Por exemplo, podemos determinar a marca de um carro e o tipo de combustível que ele usa, entende? Ou, como na tabela abaixo por exemplo, que mostra a evolução de casos de Malária no decorrer das semanas.

Um bom jeito de descobrir como essas características se relacionam: o passar das semanas e o número de casos da doença, é fazendo um diagrama de dispersão.

No gráfico a gente percebe que quanto mais as semanas passam menos casos são observados. Pequenos valores pras semanas se relacionam a grandes valores no número de casos e vice e versa.

A medida que a gente usa pra saber esse tipo de comportamento é a covariância amostral:

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n n - 1

Haha, achou que as fórmulas iam parar? Que iam diminuir? Deal with it!

Nós do responde aí estamos aqui pra te ajudar, relaxe.

Voltando... covariância é negativa se acontece igual no nosso exemplo, uma tendência decrescente. Se a tendência for crescente, covariância positiva, e se num tiver tendência de nada, covariância é zero.

Outra medida que podemos fazer pra relacionar duas variáveis de uma mesma amostra é o coeficiente de correlação:

r x y = s x y s x . s y

s x e s y são os desvios padrões.

Esse r aí vai sempre estar entre 1 e - 1 ! Quanto mais próximo o módulo da correlação for de 1 , mais linear é a relação entre x e y .

Se ele for positivo, quando uma cresce, a outra deve crescer junto. Se for negativo, quando uma cresce, a outra diminui.

E se for 0 quer dizer que x e y são independentes!

Uma observação interessante é que a covariância e a correlação mede apenas a relação linear entre as variáveis! Então se eles tiverem, por exemplo, uma relação exponencial, isso não será refletido nessas medidas.

Ah e não abra essa fórmula da correlação, você vai encontrar algo ainda mais assustador que na da covariância. Calcule cada coisa separado e depois junte.

reta de regressão

Reta de regressão é a reta que melhor representa como as variáveis variam uma com a outra. A gente tem a equação da reta:

Y = a + b x + e r r o

Esse “erro” aí é só porque a relação nem sempre é perfeitamente linear, mas não se preocupe com isso.

No nosso exemplo a reta seria mais ou menos assim:

Nosso trabalho então é encontrar os valores de a e de b :

b = s x y s x 2

Já com o valor de b , partiu encontrar o a :

a = ∑ i = 1 n y i - b . ∑ i = 1 n x i n

b mede o coeficiente angular da reta e a é o valor que a reta corta o eixo y , só lembrando.

O lado bom de ter a equação da reta, é que você pode determinar o valor de Y para qualquer valor de X que você queira e vice e versa.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Foram observados 4 lotes aleatórios de sucos concentrados, cada um com a sua respectiva quantidade (em mg) por pacote e a quantidade de água necessária (em ml).

Estime os parâmetros da reta de regressão Y = a + b X . Onde X é a quantidade em mg.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, pra fazer isso a gente só vai precisar aplicar fórmulas.

b = s x y s x 2

Sendo que...

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n n - 1

s x 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Então, eu num vou fazer todas essas contas passo a passo não.

s x 2 = 33333,3

s x y = 5666,6

Com isso...

b = 0,17

Passo 2

Pra calcular o a ...

a = ∑ i = 1 n y i - b . ∑ i = 1 n x i n

Substituindo os valores na fórmula..

a = 340 - 0,17 × 1200 4

a = 34

Resposta

Y = 34 + 0,17 X

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 286.

Em seu livro Uncertainties analysis, loads and safety in Structural Engineering (Prentice Hall, 1982) – em português, Análise de incertezas, cargas e segurança em Engenharia de Estruturas -, Gary C. Hart apresenta o conjunto de dados a seguir, que nos permite investigar a relação de dependência entre duas propriedades mecânicas do concreto: X = módulo secante (em 10 6 psi) e Y = força de compressão (em 10 3 psi).

  1. Obtenha um diagrama de dispersão relativo a esses dados;
  2. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y ;
  3. Ajuste os dados a reta de regressão Y = a + b x .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Diagrama de dispersão é colocar os pontos ( X , Y ) num gráfico;

Passo 2

(b)

Coeficiente de correlação é a fórmula:

r x y = s x y s x . s y

Então vamos calcular cada parte separadamente.

s x 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

x ¯ = ∑ i = 1 n x i n = 3,5155

∑ i = 1 20 x i 2 = 247,6033

s x 2 = 0,022

s x = 0,15

Passo 3

s y 2 = ∑ y i 2 - n . y ¯ 2 n - 1

y ¯ = ∑ i = 1 n y i n = 7,295

∑ i = 1 20 y i 2 = 1102,11

s y 2 = 1,99

s y = 1,41

Passo 4

Agora s x y .

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n n - 1

∑ i = 1 n x i . y i = 516,322

s x y = 0,1 795

Passo 5

Agora sim:

r x y = s x y s x . s y

r x y = 0,1 795 0,15 × 1,41 = 0 , 8486

Relaxe, dependendo dos seus arredondamento seu resultado pode ter dado um pouco diferente.

Passo 6

(c)

Vamos ajustar a reta, pra isso temos que calcular os coeficientes a e b :

b = s x y s x 2

b = 0,1795 0,15 2 = 7,97

a = ∑ i = 1 n y i - b . ∑ i = 1 n x i n

a = - 20,72

Nossa reta de regressão seria então:

Y = - 20,72 + 7,97 X + e r r o

Resposta

b   0,8486

c   Y = - 20,72 + 7,97 X + e r r o

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas