Exercícios Resolvidos de Reta de Regressão

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Enunciado

Um grupo de engenheiros deseja estudar a relação entre o número médio de itens defeituosos produzidos pelas máquinas a cada lote de 1000 peças e o tempo de funcionamento dessas máquinas, em anos. Para isso, coletaram esses dados para 10 máquinas:

X = T e m p o   d e   f u n c i o n a m e n t o → 1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   5 ,   6 ,   9 ,   9 ,   11 ,   x 10

Y = N ú m e r o   m é d i o   d e   i t e n s   d e f e i t u o s o s → 6 ,   8 ,   15 ,   12 ,   13 ,   18 ,   28 ,   21 ,   26 ,   y 10

Sabe-se que:

∑ i = 1 10 x i = 63   ,     ∑ i = 1 10 y 1 = 182   ,     ∑ i = 1 10 x i 2 = 591   ,     ∑ i = 1 10 y i 2 = 4088   ,     ∑ i = 1 10 x i y i = 1517

  1. Quais os valores da observação faltante x 10 , y 10 ? Construa o gráfico de dispersão das variáveis X e Y .
  2. Calcule o coeficiente de correlação amostral entre X e Y , interpretando o valor obtido.
  3. Calcule os coeficientes da reta de regressão Y = a + b X e utilize a equação desta reta para estimar a proporção esperada de itens defeituosos entre os que forem produzidos por uma máquina já em funcionamento por 10 anos.

Passo 1

(a)

Vamos lá... o exercício deu duas variáveis X e Y que representam o tempo de funcionamento de uma máquina e o número de itens defeituosos que ela fabrica.

De cara, ele deu valores de 10 máquinas, só que tá faltando a gente descobrir os valores da última.

Não tem mistério, ele deu várias informações depois que deixam fácil pra gente achar os valores que estão faltando...

Ele deu os somatórios de todos x i e de todos os y i , usando isso a gente acha os que faltam.

∑ i = 1 10 x i = 63 = 1 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 9 + 9 + 11 + x 10

63 = 48 + x 10

x 10 = 15

Passo 2

E pra Y , a mesma coisa...

∑ i = 1 10 y 1 = 182 = 6 + 8 + 15 + 12 + 13 + 18 + 28 + 21 + 26 + y 10

182 = 147 + y 10

y 10 = 35

Os valores que faltam então são: 15 ,   35 .

Não dá pra errar isso ein! Ponto dado... não vai errar conta na calculadora.

O diagrama de dispersão fica:

Passo 3

(b)

Coeficiente de correlação amostral entre as variáveis a gente faz através de uma fórmula, tá lembrado dela? Eu também não, vê se não tá no formulário da prova, só não pode esquecer que:

c o r r e l a ç ã o   a m o s t r a l → r X Y

Aí você acha ele no formulário...

r X Y = s X Y s X s Y

Putz, surgiram mais 3 coisas pra gente calcular...

s X Y → c o v a r i â n c i a   a m o s t r a l

s X → d e s v i o   p a d r ã o   a m o s t r a l   d e   X

s Y → d e s v i o   p a d r ã o   a m o s t r a l   d e   Y

A gente tem fórmulas pra todos eles, vamos lá, tudo no formulário.

Passo 4

Pros desvios padrões, tem essa fórmula aqui óh:

s X 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

s Y 2 = ∑ y i 2 - n . y ¯ 2 n - 1

Esses somatórios aí da fórmula são dados do exercício, fica só faltando calcular as médias.

x ¯ = ∑ i = 1 10 x i 10 = 63 10 = 6,3

y ¯ = ∑ i = 1 10 y 1 10 = 182 10 = 18,2

Aí joga na fórmula.

s X 2 = 591 - 10 × 6,3 2 9 ≅ 21,57

s X ≅ 4,64

s Y 2 = 4088 - 10 × 18,2 2 9 ≅ 86,18

s Y ≅ 9,28

Passo 5

Falta s X Y , que é:

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - n x ¯ . y ¯ n - 1

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - n ∑ i = 1 10 x i n . ∑ i = 1 10 y 1 n n - 1

s x y = ∑ i = 1 n x i . y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n n - 1

Que é a mesma do formulário, só que melhorada...

s X Y = 1517 - 63 × 182 10 9 ≅ 41,16

Passo 6

Aí a gente termina, juntando tudo.

r X Y = s X Y s X s Y

r X Y ≅ 41,16 4,64 × 9,28 ≅ 0,955

Tem umas aproximações aí, mas tá tranquilo.

Pra finalizar ele também pede pra gente interpretar esse valor! Como ele ficou muito próximo de 1 , isso quer dizer que X e Y tem uma forte correlação linear! E por ser positivo quer dizer que quando um cresce, o outro cresce também!

Passo 7

(c)

Pra calcular os coeficientes da reta de regressão, adivinha? Mais fórmulas...

Y = a + b X

b = s x y s x 2

Substituindo:

b = 41,16 21,57 ≅ 1,908

E:

a = ∑ i = 1 n y i - b . ∑ i = 1 n x i n

a = 182 - 1,908 × 63 10 ≅ 6,18

Passo 8

Agora a gente precisa calcular o número de itens defeituosos Y de uma máquina com 10 anos de uso X = 10 .

A gente já tem a fórmula da reta:

Y = 6,18 + 1,908 . X

Só usar ela:

Y = 6,18 + 1,908 × 10

Y ≅ 25,26   i t e n s

Passo 9

Aí falta só uma pegadinha, o exercício pede a proporção de itens defeituosos...

Você já sabe que são 25,26 itens defeituoso, mas sabe quantos são no total? Sabe sim, tá lá no enunciado, são 1.000 itens produzidos.

Então a proporção é:

p = 25,26 1000 ≅ 2,526 %

A questão não é difícil né? Você só não pode ficar distraído e errar conta ou não fazer o que foi pedido.

Resposta

a   15 ,   35

b   r X Y ≅ 0,955

Como r X Y ficou muito próximo de 1 , isso quer dizer que X e Y tem uma forte correlação linear! E por ser positivo quer dizer que quando um cresce, o outro cresce também!

c   b ≅ 1,908   ,   a ≅ 6,18   e   a   p r o p o r ç ã o   é   p ≅ 2,526 %