Exercícios Resolvidos de Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Conhecido

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Enunciado

O teor da substância S no minério M 0 se comporta como uma Normal de média 25 % e desvio padrão 10 % . Já o teor da substância S no minério M 1 também se comporta como uma Normal, porém esta com média 30 % e desvio padrão 10 % . A Companhia C dispõe de um volume apreciável de um minério cuja natureza ( M 0 ou M 1 )   é desconhecida. Como S é uma impureza indesejável, só interessa a Cia. C utilizar esse material no caso de ele ser M 0 . Serão coletadas n unidades amostrais desse material a serem analisadas quimicamente e, com base nos resultados, se pretende testar H 0 : o minério é M 0 contra H 1 : o minério é M 1 .

  1. Qual deve ser o tamanho n da amostra para que as probabilidades do Erro I e do Erro II sejam respectivamente de 0,01 e 0,10 ?
  2. Usando o n obtido em a , qual a decisão a ser tomada se X ¯ o b s = 28 % ? Justifique a sua resposta.

Sugestão: Note que quanto maior for a média amostral, maiores serão os motivos para se rejeitar H 0 .

Passo 1

(a)

Calma, vamos devagar e sempre desossar essa questão aí.

A questão é sobre uma substância S encontrada em dois minérios: M 0 e M 1 .

A gente sabe como essa substância se comporta em cada minério...

M 0   ~   N o r m a l   25 %   ; 10 %

M 1   ~   N o r m a l   30 %   ; 10 %

A companhia tem uma quantidade grande de um minério desconhecido e como o S é ruim, ela quer testar se o minério que ela tem é o M 0 , que é o que tem menos S .

Vamos ter que fazer o seguinte teste de hipóteses então:

H 0 : o   m i n é r i o   é   M 0

H 1 : o   m i n é r i o   é   M 1

A gente tem n amostras desse material desconhecido, se a média de S neles for 25 % quer dizer que são do minério M 0 , certo?

Então nós temos duas hipóteses pra média...

μ o = 25

μ 1 = 30

Outros dados que a gente tem também são:

σ = 10

Independente do tipo de minério, os dois tem o mesmo desvio padrão.

E:

  α = E r r o   T i p o   I = 0,01

β = E r r o   T i p o   I I = 0,10

E vamos ter que usar esses erros aí pra achar o valor de n (tamanho da amostra).

Passo 2

Só temos duas possibilidades pra média, mas como 30 > 25 ... podemos usar aquele caso de teste...

H 0 :     μ = 25

H 1 :     μ > 25   n o   c a s o = 30

Show?

E pra esse caso a gente sabe que a região de rejeição é acima, quando a média for maior que média de corte...

R e g i ã o   d e   R e j e i ç ã o →   x ¯ o b s > x ¯ c

Passo 3

Agora vamos usar os erros ali de cima... você lembra o que são cada um deles?

Erro do tipo I é o de rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira. Hummm... pra isso então basta a gente calcular a prob. do x ¯ o b s na amostra ser maior que o x ¯ c quando μ = 25 ... porque desse jeito a gente acabaria caindo na região de rejeição e negando μ 0 mesmo ele sendo verdadeiro.

α = P x ¯ o b s > x ¯ c

Padronizando...

P Z > x ¯ c - μ σ n = 0,01

1 - P Z < x ¯ c - 25 10 n = 0,01

P Z < x ¯ c - 25 10 n = 0,99

z 0,99 = x ¯ c - 25 . n 10

Usando a tabela da Normal a gente sabe que z 0,99 = 2,33 . E daí vamos tirar uma relação entre x ¯ c e n .

2,33 = x ¯ c - 25 . n 10

23,3 = x ¯ c - 25 n

Passo 4

Bom, agora vamos ter que procurar outra relação entre essas incógnitas né... e pra isso vamos usar o erro do tipo II.

Erro do tipo II é o de aceitar H 0 , com H 0 sendo falsa.

O que muda agora? Primeiro de tudo que se H 0 é falsa, então μ = 30 , concorda?

Show!

Então temos que calcular a prob. da média observada na amostra ficar dentro da região de aceitação < x ¯ c , com μ = 30 .

β = P x ¯ o b s < x ¯ c

Passo 5

Padronizando isso...

0,10 = P Z < x ¯ c - μ σ n

Só que agora μ = 30 .

0,10 = P Z < x ¯ c - 30 10 n

z 0,10 = x ¯ c - 30 . n 10

Usando a tabela da Normal, a gente sabe que z 0,10 = - 1,28 ... é o mesmo que o z 0,90 só que com o sinal invertido.

Daí:

- 12,8 = ( x ¯ c - 30 ) n

Passo 6

Agora é só juntar esses dois candangos aí!

Vamos isolar o x ¯ c nessa equação aqui e substitui na outra pra achar o nosso n ...

23,3 = x ¯ c - 25 n

x ¯ c - 25 = 23,3 n

x ¯ c = 23,3 n + 25

Substitui agora nessa equação debaixo aqui comigo!

- 12,8 = ( x ¯ c - 30 ) n

- 12,8 n = 23,3 n + 25 - 30

5 = 36,1 n

n = 7,22

n ≅ 52

Show? Só algebrismo isso aí!

Passo 7

(b)

Agora que a gente já tem o n , a gente pode descobrir o x ¯ c ...

23,3 = x ¯ c - 25 n

Vamos usar essa aí, você poderia usar a outra também, tanto faz!

23,3 52 = x ¯ c - 25

Resolvendo essa matemática aí!

x ¯ c = 28,23

Passo 8

A média que a gente tem agora é:

X ¯ o b s = 28

E a nossa média de corte é:

x ¯ c = 28,23

Você ainda lembra qual era a região de rejeição? Era x ¯ o b s > x ¯ c , certo?

Só que no caso 28 < 28,23 ...

Desse jeito nosso x ¯ o b s está dentro da nossa região de aceitação, então deveríamos aceitar H 0 .

Resposta

a   n = 52

b   A c e i t a r   H 0

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