Considere
é contínua em ? é derivável em ?
Calcule e .
Determine os pontos críticos de .
Em quais intervalos é crescente?
Em quais intervalos é decrescente?
Determine, se houver, os pontos de mínimo local de .
Determine, se houver, os pontos de máximo local de .
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para cima?
Em quais intervalos, se houver, o gráfico de é côncavo para baixo?
Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de .
Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de .
Passo 1
Para descobrir se a função é contínua no , temos que calcular os limites laterais pelos dois lados e ver se eles são iguais. Como vemos, a função é uma em e outra em :
Beleza, agora vamos ver o limite pela direita:
Pela regra de l’Hôpital, isso aí dá:
Ora, os limites laterais batem, então a função é contínua em .
Passo 2
Já para ver se a função é derivável aplicamos o limite da definição da derivada e vemos se lateralmente os limites batem. A definição é essa aqui:
Vamos ver se os limites laterais desse termo batem, começando calculando :
Vamos fazer agora para :
Como vemos, os limites laterais da definição da derivada não bateram, o que significa que é não derivável em .
Passo 3
Vamos calcular os dois limites pedidos:
O outro limite agora:
Vamos de L’Hôpital:
Passo 4
Vamos derivar a função :
Na região de , temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo . Assim, a função será crescente em e decrescente para , com ponto crítico em .
Quando a derivada será positiva quando:
Dessa forma, há um ponto crítico em , com a derivada sendo negativa em e positiva em .
Conclui-se, há apenas dois pontos críticos, um em e outro em .
Passo 5
Para analisar o crescimento e decrescimento da função nós devemos observar o sinal da derivada. Como visto no Passo 4, a derivada será positiva para todo e negativa para , com o detalhe da derivada ser nula em :
Passo 6
Nossos pontos críticos são e , vamos substituir esses pontos na função de acordo com os intervalos que elas pertencem para ver seus valores. Para , temos que a função é , logo
E para o ponto crítico , temos
Isso quer dizer que dados nossos pontos críticos, e . Portanto
Passo 7
Vamos calcular e analisar seu sinal para descobrir quais são suas regiões de crescimento e decrescimento:
Na região de temos uma exponencial com um sinal de menos multiplicando um termo que é negativo para todo . Assim, a função será côncava para cima em e para baixo quando , com ponto de inflexão em .
Quando , o é sempre positivo. A concavidade é para cima em toda essa região
Passo 8
Os únicos pontos em que a muda de sinal são em e em :
Passo 9
Vamos reunir todas as informações para fazer o nosso esboço:
Vamos fazer o esboço:
