Considere a função:

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

1. O domínio da função;
2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de .

As assíntotas horizontais saem pelos limites abaixo:

Pondo em evidência pra fora da raiz cúbica:

Mesma coisa com o outro:

Ou seja, não tem assíntotas horizontais.

Já as verticais, vamos pelo limite pra bagunçar esse denominador:

Portanto uma assíntota vertical é . Se considerarmos o ponto , temos a mesma situação:

Assim, temos outra assíntota vertical em .

Os intervalos onde a função é crescente são aqueles onde a derivada é positiva:

E decrescente onde ela é negativa:

Portanto:

Façamos, então, análise do sinal. Quais fatores influenciam no sinal? Aqueles que não têm expoente par. Por exemplo, o fator no denominador não influencia, já que é sempre positivo. Portanto, resta analisar :

Mesma coisa com o intervalo onde é decrescente:

Com o detalhe que os pontos em que não fazem parte do domínio, portanto os intervalos são:

Os máximos e mínimos ocorrem onde a derivada é igual a zero:

Agora a questão é analisar a troca de sinal em torno desses pontos. Em temos que a derivada é negativa antes e positiva depois, portanto é um ponto de mínimo.

Em a derivada é positiva antes e negativa depois, portanto é um ponto de máximo.

Como com o a função também tende para e , não há máximo nem mínimo globais. Ambos são locais.

Os intervalos da concavidade correspondem ao sinal da derivada segunda:

Infelizmente agora toda uma série de funções vão entrar na nossa análise. Vamos precisar recorrer à nossa tabelinha da marotagem. As funções no caso são essas três:

Destrinchando melhor, pra ficar mais fácil, temos:

Portanto, acredito que fique melhor escrever assim:

Seus zeros são:

E é em torno deles que vamos construir nossa tabela. Segue:

Multiplicando os sinais, chegamos ao sinal da derivada segunda:

Portanto, a concavidade é para cima em:

E para baixo em:

E os pontos de inflexão são:

Obtemos o gráfico: