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Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 12 – Questão 1c

Use o roteiro a seguir para esboçar o gráfico

  • Dê o domínio de f
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem
  • Estude a concavidade, destacando os pontos de inflexão
  • Encontre as assíntotas horizontais ou verticais, se existirem
  • Esboce o gráfico

y = x 2 - 1 3

Passo 1

Nós temos a função y = f x = x 2 - 1 3

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como nossa raiz pode assumir qualquer valor, nosso domínio são os reais.

Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f 0 = - 1 ; intercepto x : f x = 0 , então: x 2 5 - x = 0 → x = 0 ou x = 5 .

f - x = f ( x ) , então a curva é simétrica no eixo y .

Não há assíntotas.

Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

f x = x 2 - 1 3

f ' x = 1 3 x 2 - 1 - 2 3 2 x = 2 x 3 x 2 - 1 2 3

f ' x > 0 ↔ x > 0

f ' x < 0 ↔ x < 0

Sendo assim, f cresce em 0 , ∞ , e decresce em - ∞ , 0 .

Como a função cresce depois decresce, há um valor de máximo local em 0 .

f 0 = - 1

Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

f ' ' x = 2 3 x 2 - 1 2 3 1 - x 2 3 x 2 - 1 - 1 3 ( 2 x ) [ x 2 - 1 2 3 ] ²

f ' ' x = 2 9 x 2 - 1 - 1 3 [ 3 x 2 - 1 - 4 x 2 ] x 2 - 1 4 3 = - 2 x 2 + 3 9 x 2 - 1 5 3

f ' ' x > 0 para - 1 < x < 1 , e f ' ' x < 0 para x < - 1 ou x > 1 , assim f tem concavidade para cima em ( - 1,1 ) , e concavidade para baixo em ( - ∞ , - 1 ) e em ( 1 , ∞ ) . Há ponto de inflexão em ( ± 1,0 ) , que é quando a derivada trocada o sinal.

Passo 3

Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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