Considere a função
- Determine as assíntotas horizontais e verticais caso existam.
- Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Encontre e classifique os extremos relativos de .
- Determine os intervalos de concavidade voltada para cima e para baixo, indicando os pontos de inflexão.
- Esboce o gráfico da função, destacando os elementos encontrados nos itens anteriores.
Passo 1
(a)
Vamos começar pelas assíntotas verticais.
Na expressão da função não tem nenhum termo que possa causar alguma indeterminação (raiz, logaritmo, divisão), então o domínio da é todo o não tem assíntotas verticais. :)
Passo 2
Beleza, agora vamos pras assíntotas horizontais.
Basta calcular os limites no infinito:
Deu indeterminação, então vamos escrever o limite de outra forma:
Agora sim, podemos usar l’Hôpital:
Pro limite em , o procedimento vai ser exatamente o mesmo:
Portanto, é assíntota horizontal do gráfico da .
Passo 3
(b)
Pra estudar o crescimento da função, precisamos da derivada dela. Pela regra do produto:
Passo 4
Vejamos onde essa derivada se anula:
Como a exponencial é sempre positiva, temos
Show, então e são os 2 pontos críticos da função.
Passo 5
Agora nos resta classificar esses pontos críticos e assim determinar onde a está crescendo e onde ela está decrescendo.
Então vamos ver o sinal da derivada!
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
Resumindo, é decrescente no intervalo e crescente no intervalo .
E pelo teste da primeira derivada, é um ponto de mínimo local e um ponto de máximo local.
Passo 6
Agora a última etapa: concavidade. Pra ela vamos precisar da segunda derivada, lembrando que:
Derivando de novo:
Passo 7
Vejamos onde a segunda derivada zera:
Como , isso vai dar:
Então temos 3 candidatos a ponto de inflexão: e .
Passo 8
Então vamos estudar o sinal da segunda derivada nos intervalos , , e .
(Tem que trocar o sinal da desigualdade porque é negativo)
Em cada um dos pontos candidatos a concavidade mudou, então os 3 são pontos de inflexão: e .
Passo 6
Vamos dar uma resumida no que vimos pra poder partir pro esboço.
A primeira coisa foi a assíntota horizontal para .
Também estudamos o crescimento e a concavidade da função:
Também ajuda ver que , ou seja, o gráfico passa pela origem.
Agora é juntar isso tudo no esboço:
Resposta
(a)
Não tem assíntota vertical. Assíntota horizontal .
(b)
Pontos críticos: (mínimo local) e (máximo local).
é decrescente no intervalo e crescente no intervalo .
(c)
Pontos de inflexão: e .
tem concavidade para baixo no intervalo e concavidade para cima no intervalo .
(d)