UFSC – Lista 3.8 – 2021.1 – P1b
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Passo 2
Como o denominador não pode se anular, devemos ter . Assim, . Desta forma, o domínio da função
Passo 3
A única interseção com os eixos coordenados ocorre em .
Passo 4
Observe que a função é ímpar:
Portanto, a curva é simétrica em relação à origem.
Passo 5
Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para indo para :
Assim, tanto para como para , a reta é assíntota horizontal da função.
Como tanto como não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesses pontos. Para :
Analogamente, para :
Assim, as retas e são assíntotas verticais da curva.
Passo 6
Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:
Como e , temos que , de modo que a função será sempre decrescente em todo o seu domínio.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Assim,
Como , apenas o denominador vai importar para o sinal de :
Resposta
O esboço da curva:
