Lista de Exercícios – Semana 10 – Cálculo I -
3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;
c)
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Nesse exercício ele pede para a gente obter uma série de coisas:
- Pontos críticos,
- Máximos e mínimos locais,
- Intervalos de crescimento e decrescimento,
- Pontos de inflexão,
- Intervalos onde é côncava para cima e para baixo
- Determinar as (possíveis) assíntotas
- Fazer um esboço do gráfico.
NOSSA! Um monte de coisa... mas relaxa que a gente fazendo cada um dos passos aqui isso vai sair bem de boa. Todos esses itens estão relacionados com as derivadas da função. Então a gente começa calculando essas derivadas! No geral a primeira derivada dá conta da maioria dos itens, mas não vamos esquecer que a segunda derivada também ajuda bastante então é legal começarmos calculando as duas!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de
Para calcular a derivada de primeira ordem, usamos a regra da cadeia:
Dessa forma temos:
Passo 3
Também é bem útil começar obtendo a derivada de segunda ordem. Fazemos isso derivando a função:
Agora temos uma função composta, daí usamos a regra da cadeia:
Showw, agora a gente usa essas derivadas nos testes para obter cada um dos itens que nos pediram!
Passo 4
Vamos começar com os pontos críticos. Esses pontos são aqueles em que a primeira derivada é zero:
Pela equação que apareceu vemos que não existe nenhum que zere essa derivada, ou seja, a função não possui pontos críticos! Se ela não possui pontos críticos a gente já sabe que ela não tem máximos e mínimos locais! Beleza!
Passo 5
Para ver sobre o intervalo de crescimento ou decrescimento olhamos os sinais de . Quando esse cara é positivo, a função é crescente e quando é negativo a função é decrescente.
Vamos olhar a cara de
A gente observa que ele nunca pode ser positivo né? Para isso acontecer, teríamos que ter:
E não dá né? Um número ao quadrado é sempre positivo... Ou seja, é sempre negativo, e a função é decrescente em seu domínio!
Passo 6
Agora, para olhar sobre a concavidade, olhamos o sinal da segunda derivada
Aonde temos a regra:
Pela cara de vemos que quem dita o sinal é a função de baixo Pelo seu expoente ímpar sabemos que:
Então a função tem concavidade voltada para baixo quando !O caso contrário é dado olhando:
Ou seja, a função tem concavidade voltada para cima quando .
Como a função muda a concavidade em , esse seria o ponto de inflexão da função. Como a função não é definida neste ponto, ela não possui ponto de inflexão.
Passo 7
Para olhar as assíntotas a gente deve olhar dois casos:
Assíntotas verticais: Quando temos um onde
Como a nossa função é uma fração, a dica é olhar qual valor que zera o denominador de .Nesse caso temos uma assíntota vertical em .
Assíntotas horizontais: A gente calcula os limites:
Então uma assíntota horizontal em . Shoow
Passo 8
Para esboçar essa função a gente junta todas essas informações que a gente obteve, marca as assíntotas no plano cartesiano, olha as concavidades e os crescimentos e esboça como o gráfico deve ser. A gente tem algo desse tipo aqui: