3) repita o que foi feita no feito no exercício acima para as funções seguintes;

c) f x = x + 1 x - 1

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício ele pede para a gente obter uma série de coisas:

  • Pontos críticos,
  • Máximos e mínimos locais,
  • Intervalos de crescimento e decrescimento,
  • Pontos de inflexão,
  • Intervalos onde f é côncava para cima e para baixo
  • Determinar as (possíveis) assíntotas
  • Fazer um esboço do gráfico.

NOSSA! Um monte de coisa... mas relaxa que a gente fazendo cada um dos passos aqui isso vai sair bem de boa. Todos esses itens estão relacionados com as derivadas da função. Então a gente começa calculando essas derivadas! No geral a primeira derivada dá conta da maioria dos itens, mas não vamos esquecer que a segunda derivada também ajuda bastante então é legal começarmos calculando as duas!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de

f x = x + 1 x - 1

Para calcular a derivada de primeira ordem, usamos a regra da cadeia:

A b ' = A ' B - A B ' B 2

Dessa forma temos:

f ' x = x + 1 ' .   x - 1 - x + 1 .   x - 1 ' x - 1 2 =   x - 1 - x + 1 x - 1 2

f ' x = - 1 x - 1 2

Passo 3

Também é bem útil começar obtendo a derivada de segunda ordem. Fazemos isso derivando a função:

f ' x = - 1 x - 1 2

Agora temos uma função composta, daí usamos a regra da cadeia:

f ' ' x =   - ( - 2 ) x - 1 3 x - 1 ' f ' ' x =   2 x - 1 3

Showw, agora a gente usa essas derivadas nos testes para obter cada um dos itens que nos pediram!

Passo 4

Vamos começar com os pontos críticos. Esses pontos são aqueles em que a primeira derivada é zero:

f ' x c = - 1 x c - 1 2 = 0

Pela equação que apareceu vemos que não existe nenhum x c que zere essa derivada, ou seja, a função não possui pontos críticos! Se ela não possui pontos críticos a gente já sabe que ela não tem máximos e mínimos locais! Beleza!

Passo 5

Para ver sobre o intervalo de crescimento ou decrescimento olhamos os sinais de f ' ( x ) . Quando esse cara é positivo, a função é crescente e quando é negativo a função é decrescente.

Vamos olhar a cara de f ' ( x )

f ' x = - 1 x - 1 2

A gente observa que ele nunca pode ser positivo né? Para isso acontecer, teríamos que ter:

1 x - 1 2 < 0 → x - 1 2 < 0  

E não dá né? Um número ao quadrado é sempre positivo... Ou seja, f ' ( x ) é sempre negativo, e a função é decrescente em seu domínio!

Passo 6

Agora, para olhar sobre a concavidade, olhamos o sinal da segunda derivada

f ' ' x =   2 x - 1 3

Aonde temos a regra:

f ' ' x > 0 → f u n ç ã o   c o n c a v a   p a r a   c i m a f ' ' x < 0 → f u n ç ã o   c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Pela cara de f ' ' x vemos que quem dita o sinal é a função de baixo x - 1 3 . Pelo seu expoente ímpar sabemos que: x - 1 3 < 0 → x - 1 < 0

x < 1  

Então a função tem concavidade voltada para baixo quando x < 1 !O caso contrário é dado olhando:

x - 1 3 > 0 → x - 1 > 0

x > 1  

Ou seja, a função tem concavidade voltada para cima quando x > 1 .

Como a função muda a concavidade em   x = 1 , esse seria o ponto de inflexão da função. Como a função não é definida neste ponto, ela não possui ponto de inflexão.

Passo 7

Para olhar as assíntotas a gente deve olhar dois casos:

Assíntotas verticais: Quando temos um x = a onde

lim x → a ⁡ f ( x ) =   ± ∞

Como a nossa função é uma fração, a dica é olhar qual valor que zera o denominador de f x = x + 1 x - 1 .Nesse caso temos uma assíntota vertical em x = 1 .

Assíntotas horizontais: A gente calcula os limites:

lim x → ∞ ⁡ x + 1 x - 1 = 1 lim x → - ∞ ⁡ x + 1 x - 1 = 1

Então uma assíntota horizontal em y = 1 . Shoow

Passo 8

Para esboçar essa função a gente junta todas essas informações que a gente obteve, marca as assíntotas no plano cartesiano, olha as concavidades e os crescimentos e esboça como o gráfico deve ser. A gente tem algo desse tipo aqui:

Resposta

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