Considere a função . Determine:

O domínio de ;

Os interceptos;

As simetrias de ;

As assíntotas;

Intervalos de crescimento e decrescimento;

Valores máximos e mínimos locais;

Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

Use a informação obtida para esboçar o gráfico de .

Quando ele pede os interceptos ele deseja saber aonde esse termo cruza os eixos:

Achamos apenas um um ponto, que é onde ele cruza os dois eixos de uma vez:

O gráfico possui simetria por ser uma função ímpar , para comprovar basta usar qualquer par de pontos igualmente distante a . Logo, tem simetria ímpar.

Para resolver essa letra devemos levar em conta que os limites da função quando está tendendo para e para descobrir as assíntotas horizontais. Para as verticais, não teremos nenhuma, uma vez que a função é contínua ao longo de todo seu eixo :

Logo, temos apenas uma assíntota, , que é horizontal.

Ele pede intervalos de crescimento e decrescimento. Precisamos, então, olhar para o sinal da derivada primeira. Vamos usar a Regra do Quociente para derivar:

Bom, se é sempre positivo, por estar ao quadrado, sabemos que o sinal só depende de . É uma parábola com concavidade para baixo e raízes em e . Logo, ela é positiva entre e negativa no resto do domínio.

Assim, é crescente em e decrescente no resto do domínio.

Os pontos de máximo e de mínimo locais (os famosos pontos críticos) são encontrados quando . Nesse caso, sabemos que os pontos onde isso ocorre são . Como a derivada é positiva antes e negativa depois, sabemos que é um ponto de máximo local; para o outro, , a derivada é negativa antes e positiva depois, é ponto de mínimo local.

Concavidade é derivada segunda; vamos derivar e analisar o sinal de :

Pelo resultado, notamos que o sinal só depende de .

Bom, a gente vai observar que antes de é negativa. Em é positiva, negativa. A partir daí ela é positiva.

Assim, é côncava para cima em , para baixo em .

Juntando as informações:

Esboçando, fica assim: