Durante o processo de tosse, provocado pela presença a traqueia de algum corpo estranho, a traqueia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar através dela, e assim tornar mais eficiente o método de expulsão do corpo estranho. Segundo Pouseiulle, indicando por o raio da traqueia em estado normal e por o seu raio durante a tosse, o fluxo de ar na traqueia pode ser modelado por:

Onde K é uma constante positiva.

1. Determine os pontos críticos de no intervalo
2. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
3. Determine os intervalos em que o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo.
4. Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de no caso em que

Obrigado por vir.

Para b)

Intervalos de decrescimento são intervalo onde a função cresce ou decresce, de forma que podemos saber a partir de qual ponto ela cresce ou decresce. Para isso, basta substituirmos o ponto que achamos quando igualamos a nossa derivada da função a 0 na própria derivada da função.

“Mas por que, Mogli?” pois se a derivada da função é 0 naquele ponto, em outras palavras ela é reta horizontal, significa dizer que antes dela e depois dela a função cresce e decresce, como na imagem anterior que demos:

Repetindo a derivada:

E quando igualamos a 0, obtivemos: . Para sabermos de fato se a função cresce ou decresce naquele ponto, basta pegarmos quaisquer pontos nesse intervalo, se ela é maior que 0 significa que ela está crescendo, isso é chamado de varal de crescimento e decrescimento, e é dessa forma:

Onde escolhemos como um ponto no intervalo , e é com ele que vamos saber se a função cresce ou decresce.

Assim, aplicando na nossa derivada, temos:

pois não há como o raio de uma garganta ser menor que 0.

Assim veja que a função é intervalo de crescimento.

Agora para a outra derivada, temos:

Peguemos por exemplo os pontos

Para o intervalo entre

E:

Para o intervalo .

Assim ficando no nosso varal:

Vamos analisar para o intervalo com o ponto primeiro. Assim:

Veja que, assim:

Assim a função cresce nesse ponto.

Agora para o intervalo com o ponto :

Veja que . Assim:

Logo a função decresce nesse ponto.

Portanto, pegando os pontos de crescimento e decrescimento, temos:

Para c)

Para a determinação do intervalo de concavidade de uma função devemos pegar a segunda derivada igualar a 0 e verificar se ela é positiva ou negativa. Para melhor visualização, veja essa imagem:

Ficou mais claro, né carinha?!

É parecido com o item anterior, não é?!

Sendo assim, derivemos a nossa função derivada de , ou seja:

Ficando:

Igualando a 0, temos:

Aplicando o mesmo varal que usamos no interior, sob os mesmos intervalos, temos:

Com o ponto

Temos:

Veja que , assim a função nesse intervalo tem concavidade para cima.

Para o outro pedaço da função:

Veja que pegamos o ponto para analisarmos entre o intervalo , e para analisarmos entre intervalo . Assim, bora lá analisar?

Fatorando , temos:

Assim, por ser positiva, a função nesse intervalo, de , tem concavidade positiva.

Para o outro lado do intervalo, com para o intervalo , temos:

Fatorando , temos:

]

Veja que , assim:

E assim, por ser negativa, a função tem concavidade para baixo.

Resumindo:

Com isso tudo já definido, podemos montar nosso gráfico seguindo os passos dados nos itens anteriores.

Ficando algo assim nessa pegada;