Esboce o gráfico

f x = x 4 - 2 x 2

Passo 1

Bora resolver mais uma comigo?

Para esboçar o gráfico da função f x = x 4 - 2 x 2

siga os seguintes passos:

Encontre os pontos de interseção com o eixo x   f x = 0

Para encontrar onde a função cruza o eixo x, defina f x = 0

x 4 -   2 x 2 =   0

Fatorando:

x 2 ( x 2 - 2 ) =   0

Isso resulta em duas soluções:

      a )   ( x 2   =   0 ⇒   x   =   0 )

      b )   ( x 2   -   2   =   0 )

Para ( x 2   -   2   =   0 ) , podemos encontrar as raízes:

      x 2   =   2 ⇒   x   =   ± 2

Portanto, os pontos de interseção com o eixo x são - 2 , 0 , 0,0   e   ( 2 , 0 )

Passo 2

Encontre o comportamento da função para x   tendendo ao infinito positivo e negativo:

À medida que x   tende ao infinito positivo ou negativo, o termo x 4 se torna dominante na função.

Como resultado, a função se comporta como x 4 e aumenta infinitamente positivamente quando x   tende ao infinito positivo e infinitamente negativamente quando x tende ao infinito negativo.

Encontre os valores máximos e mínimos locais:

Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, podemos calcular a derivada da função f x e encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero.

A derivada de f ( x ) é:

f ' x =   4 x 3 -   4 x

Igualando f ' ( x ) a zero:

4 x 3 -   4 x   =   0

Fatorando 4 x   em comum:

      4 x ( x 2   -   1 )   =   0

Isso resulta em duas soluções:

      a )   4 x   =   0 ⇒   x   =   0

      b )   x 2 -   1   =   0

Para x 2   -   1   =   0 , podemos encontrar as raízes:

x 2 =   1   ⇒ x   =   ±   1

Portanto, os valores máximos e mínimos locais ocorrem em ( x   =   - 1 ) ,   ( x   =   0 )   e   ( x   =   1 ) .

Passo 3

Avaliando f ( x ) nesses pontos:

      f - 1 =   - 1 4 -   2 - 1 2 =   1   -   2   =   - 1

      f 0 =   0 4 -   2 0 2 =   0   -   0   =   0

f 1 =   1 4 -   2 1 2 =   1   -   2   =   - 1

Portanto, temos os seguintes pontos de máximo e mínimo locais: - 1 ,   - 1   ,   1 ,   - 1 e 0,0 .

Agora, você pode esboçar o gráfico com essas informações:

- Os pontos de interseção com o eixo x são - 2 , 0 , 0,0   e   2 , 0 .

- À medida que x tende ao infinito positivo ou negativo, a função aumenta infinitamente positivamente ou negativamente.

- Os valores mínimos locais ocorrem em - 1 ,   - 1   e   1 ,   - 1 , e há um máximo local em ( 0,0 )

O gráfico será uma curva suave que passa pelos pontos de interseção com o eixo x, atinge um mínimo local em - 1 , - 1 , um máximo local em 0,0 , e depois um mínimo local em 1 , - 1 , enquanto se comporta como uma função cúbica no infinito.

Passo 4

Gráfico

Resposta

Vide o passo a passo.

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