Esboce o gráfico de

f x = e 1 x

Passo 1

Para começar, vamos determinar o domínio da função. A única restrição é no ponto x = 0 , em que a função não está definida. Então o domínio é

R - ( 0 )

Passo 2

Agora, vamos ver se a função tem alguma paridade, ou seja, se ela é uma função par ou uma função ímpar.

  • f x = f ( - x ) ?
  • Não. Exemplo: e 1 1 ≠ e 1 - 1

  • f - x = - f ( x ) ?
  • Não. Exemplo: e 1 - 1 ≠ - e 1 1

    Passo 3

    Chegou a hora de determinar se a função tem assíntotas. Vamos começar pelas verticais. Essas ocorrem perto de pontos de descontinuidade da função. Nesse caso temos o ponto x = 0 em que a função é descontínua. Vamos ver o comportamento dela perto desse ponto.

    lim x → 0 + ⁡ e 1 x = e ∞ = ∞

    lim x → 0 - ⁡ e 1 x = e - ∞ = 0

    Então x = 0 é uma assíntota vertical apenas quando nos aproximamos de 0 pelo lado positivo.

    lim x → ∞ ⁡ e 1 x = e 1 ∞ = e 0 = 1

    lim x → ∞ ⁡ e 1 x = e 1 - ∞ = e 0 = 1

    Então y = 1 é assíntota horizontal.

    Passo 4

    Esse passo vai ser dedicado ao estudo do crescimento da função. Temos que derivar e ver onde a derivada é positiva e negativa.

    f ' x = e 1 x . - 1 x 2 = - e 1 x x ²

    Como x 2 > 0 o sinal da derivada só será afetado por - e 1 x , mas veja só, e 1 x > 0 para todo x no domínio, logo - e 1 x < 0 sempre. Ou seja

    f ' x = - e 1 x x ² < 0

    Como a derivada é sempre negativa, significa que a função é estritamente decrescente.

    Passo 5

    Agora vamos determinar os máximos e mínimos da função, se existirem. Primeiro temos que achar os pontos críticos.

    f ' x = 0

    - e 1 x x ² = 0

    - e 1 x = 0

    e 1 x = 0

    A equação acima não tem solução real, logo não há pontos críticos, portanto, não há máximo nem mínimo.

    Passo 6

    Estamos quase terminando. Falta estudar a concavidade da função. Para isso, temos que fazer a segunda derivada, lembra?

    f ' ' x = - e 1 x - 1 x 2 x 2 - 2 x - e 1 x x 4 = e 1 x x 2 x 2 + 2 x e 1 x x 4 = e 1 x + e 1 x ( 2 x ) x 4 = e 1 x ( 1 + 2 x ) x 4

    Note que e 1 x > 0 e x 4 > 0 então só o 1 + 2 x influencia no sinal. Vamos ver como.

    1 + 2 x = 0

    x = - 1 2

  • Quando x < - 1 2 : f ' ' x < 0 e a função tem concavidade para baixo
  • Quando x > - 1 2 : f ' ' x > 0 e a função tem concavidade para cima

O ponto x = - 1 2 é ponto de inflexão.

Passo 3

Pronto! Agora podemos juntar todos os dados que descobrimos e fazer o esboço do gráfico, que fica assim:

Resposta

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