Esboce o gráfico da função

y = x^3 / (1 + x^2) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que esboçar o gráfico da função

y = x 3 ( 1 + x 2 ) .

Para isso, vamos calcular sua derivada, pois sabemos que quando a derivada é positiva a função é crescente, quando a derivada é negativa a função é decrescente.Além disso, temos um ponto de máximo, mínimo ou de sela, no ponto em que a derivada é nula.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar a derivada da função:

d y d x = d d x ( x 3 ( 1 + x 2 ) )

Vamos utilizar a regra do quociente:

d y d x = 3 x 2 ( 1 + x 2 ) - x 3 2 x ( 1 + x 2 ) 2 = 3 x 2 + 2 x 4 ( 1 + x 2 ) 2

Temos que essa derivada é sempre positiva, então a função é sempre crescente.

Passo 3

Agora vamos avaliar para quais valores de x , d y d x se anula:

3 x 2 + 2 x 4 ( 1 + x 2 ) 2 = 0

x 2 ( 3 + 2 x 2 ) = 0

Assim, para x=0, teremos um ponto de sela, pois como a função é sempre crescente, não teremos máximos ou mínimos.

Passo 4

Com essas informações podemos fazer o esboço do gráfico:

Note que a função é sempre crescente e no ponto x=0, ela possui um ponto de sela.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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