Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

f(x) = (e^(-1/x)) / x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = e - 1 x x

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as ass��ntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = e - 1 x x

f ' x = 1 - x e 1 / x x 3

E onde ela é zero

f ' x = 0

x = 1

0 pois nesse ponto a função não está definida.

Beleza?

Vemos que a derivada muda de sinal em x = 1 , ali temos um ponto de máximo. Embora em torno de x = 0 a derivada troque de sinal, não podemos considerar como ponto de mínimo porque ali a função não está definida

  • Crescente: 0,1
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 1 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = 1
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 1 - x e 1 / x x 3

    f ' ' x = 2 x 2 - 4 x + 1 e 1 / x x 5

    f ' ' = 0 → 2 x 2 - 4 x + 1 = 0

    x = 2 ± 2 2 ,   x = 0  

    Vemos que a função troca de concavidade! Sendo assim, quanto ao sinal da concavidade:

    • Côncava para baixo: ( - ∞ , 0 ) U 2 - 2 2 ,   2 + 2 2    
    • Côncava para cima: 0 , 2 - 2 2 U 2 + 2 2 , + ∞

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: 0,1
  • Decrescente: ( - ∞ ,   0 ) U ( 1 , + ∞ )
  • Ponto de máximo: x = 1
  • Côncava para baixo: 2 - 2 2 ,   2 + 2 2    
  • Côncava para cima: 0 , 2 - 2 2 U 2 + 2 2 , + ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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