UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 11c
Esboce os gráficos das funções dadas a seguir:
c)
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função e nos pede esboçar o seu gráfico.
Para isso, temos que determinar o domínio da função, encontrar as intersecções nos eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, entre várias coisas.
Assim, vamos determinar uma característica dessas em cada passo, combinadinho?
Agora vamos lá!!
😉
Passo 2
Então... vamos verificar primeiro o domínio da função.
Para isso, precisamos considerar os valores de para os quais a função está definida.
Como não há nenhum tipo de restrição para essa função , então o domínio são todos os números reais.
Passo 3
Para encontrarmos a intersecção como eixo , fazemos :
Obs: não podemos afirmar que pois a função exponencial é estritamente positiva.
Para encontrarmos a intersecção como eixo , fazemos :
Passo 4
Para verificarmos se tem simetria, temos que saber que:
- Simetria Par: Uma função é simétrica em relação ao eixo se para todo no domínio de , tivermos ;
- Simetria Ímpar: Uma função é simétrica em relação ao eixo se para todo no domínio de , tivermos .
Fazendo , temos:
Logo, vemos que não apresenta simetria.
Passo 5
Para determinar se há assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função à medida que se aproxima de infinito ou menos infinito.
Como sempre irá crescer no infinito, então não há assíntotas horizontais.
A função também não apresenta assíntotas verticais também por conta do exponencial .
Passo 6
Para verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, vamos derivar a função e depois igualar a zero.
e
Assim, observamos que:
Passo 7
Para verificarmos os pontos de máximo e mínimo, temos que verificar a segunda derivada:
Pelo passo 6, descobrimos que e são pontos críticos. Dessa forma, substituindo na derivada segunda, temos:
Logo, vemos que o mínimo está em e o máximo em .
Passo 8
Com base nessas informações, podemos plotar o gráfico:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
