Faça um estudo qualitativo das funções dadas a seguir. Em seguida, esboce seus gráfico, desta-

cando os pontos de máximo e mı́nimo locais e/ou globais, pontos de inflexão e assíntotas (caso

existam).

f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x - 2

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para fazer um estudo qualitativo da função, vamos estudar sua derivada, que nos dá os intervalos em que a função cresce, decresce e seus pontos de extremo, sua derivada segunda, que nos dá a concavidade da função e seus pontos de inflexão. Também vamos verificar o comportamento da função quando a variável x vai à + ∞ ou - ∞ e procurar pontos onde a f(x) vai a infinito. Vamos lá?

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a derivada da função f(x). Como a derivada de uma soma de funções é simplesmente a soma das derivadas. obtemos

f ' ( x ) =   6 x 2 - 24 x + 18

Igualando a derivada a zero, obtemos os pontos de extremo

6 x 2 - 24 x + 18 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau, obtemos as raízes x 1 = 1 e x 2 = 3 . Então, já sabemos que nesses pontos, a função f(x) tem dois extremos. Agora só precisamos saber qual dos pontos é um máximo e qual é um mínimo. Para isso vamos calcular a concavidade da função, através de sua derivda segunda. Derivando a expressão obtida para a derivada primeira, obtemos

f ' ' ( x ) =   12 x - 24

Dessa expressão, vemos que para x > 2 , a função é positiva porque

12 x - 24 > 0 ⇔ x > 2

Portanto, a raiz x 2 é um ponto de mínimo, pois é um extremo com concavidade positiva. Semelhantemente, a derivada segunda é negativa quando

12 x - 24 < 0 ⇔ x < 2

O que caracteriza x 1 como um ponto de máximo, pois é um ponto de extremo com concavidade negativa. Além disso, descobrimos também que a função tem um ponto de inflexão em x = 2, pois é quando sua derivada segunda é nula e, a partir do qual, o sinal da concavidade se inverte.

Passo 3

Agora, devemos estudar o comportamento da função quando fazemos x vai à + ∞ ou - ∞ . Quando x → - ∞ , temos

l i m x → - ∞ 2 x 3 - 12 x 2 + 18 x - 2 → - ∞

Como o termo cúbico cresce mais rapidamente que os outros polinômios, temos que a função decresce infinitamente quando x tende à - ∞ , por ser um polinômio de ordem ímpar, mantendo assim o sinal negativo. Semelhantemente, pelo mesmo argumento, quando x → - ∞ temos

l i m x → ∞ 2 x 3 - 12 x 2 + 18 x - 2 → ∞

Então, temos uma função que é infinitamente negativa quando x → - ∞ , cresce conforme aumentamos x e com concavidade negativa até que atinge um máximo em x 1 = 1 , a partir de onde começa a decrescer, até atingir o ponto de inflexão x = 2 . A partir daí a concavidade é positiva e a função atinge um mínimo em x 2 = 3 . Conforme aumentamos x, a função cresce indefinidamente, como constatado no último limite. Dá uma olhada no gráfico da função:

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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