3. Uma função f : R → R satisfaz as seguintes propriedades:

  • f 2 = 0
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1
  • f é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ )
  • f é uma função par
  1. Esboce o gráfico de uma tal função.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que esboçar o gráfico de uma função desconhecida, baseado em algumas informações que foram nos passadas.

Então vamos interpretando cada informação e montando o gráfico.

Bora lá!

Passo 2

A primeira informação é f 2 = 0 , ou seja, a função passa pelo ponto 2,0 .

Passo 3

Agora vamos olhar para a seguinte informação:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞

Repara que quando x tende a 2 tanto pela esquerda, como pela direita, a nossa função vai para o infinito (positivo e negativo). Ou, seja, ali temos uma assíntota.

Juntando essa informação o fato de que ela é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ ) , podemos montar:

Passo 4

Buscando agora as assíntotas horizontais, vamos olhar para essa informação

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1

Ou seja, temos uma assíntota horizontal em y = 1 .

Mas repara que também temos que,

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1

Logo, temos o ponto 0,1 ,

Passo 5

Por fim, vamos usar a informação de que temos uma função par. Ou seja, podemos espelhar o lado positivo, no lado negativo. Fica assim:

Resposta

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