UNB-Calculo1 – Listas de aplicação em cálculo 1 - Lista 9 – 2020.2
Suponha que o número de milhares de pessoas infectadas por um vírus seja modelado pela função em que e são constantes e o tempo é medido em anos. Suponha ainda que, no instante , nove mil pessoas estavam infectadas, uns anos depois esse número atingiu um valor mínimo e, em seguida, cresceu até atingir um valor máximo para .
Determine as constantes e a partir das informações dadas.
Determine o número de pessoas infectadas anos depois do instante .
Determine a concavidade de e, em seguida, esboce o seu gráfico para
Passo 1
Olá galerinha do Responde Aí, está tudo ok?
Analisando a questão nós temos um probleminha de uma função que descreve a quantidade de pessoas contaminadas por um vírus, estilo aquelas curvas de covid, em função de um único parâmetro que é o tempo, logo podemos falar que é um probleminha de cálculo .
Além disso, o enunciado faz diversas suposições e algumas delas são sobre os máximos e mínimos da função, isso indica que existe alguma relação com derivadas.
Devido a isso podemos entender que vamos resolver um probleminha de cálculo , para ser mais preciso, vamos utilizar diversos conceitos de derivadas aplicados a máximos e mínimos de função.
Mas vamos ver quais conceitos vamos utilizar? Você lembra?
Não fique triste, vamos revê-los agora mesmo.
Os conceitos que vamos utilizar são os conceitos de máximos e mínimos e de quebra o de concavidade para a última alternativa.
Para nossa sorte, todos esses conceitos estão relacionados com derivadas, e o que nosso livrinho de cálculo nos informa é que:
Além disso temos que:
E para finalizar os conceitos que vamos utilizar temos que:
Agora que sabemos disso, só precisamos resolver a questão, e ae bora colocar as mãos na massa?
AHHHHHHHHH, vamos utilizar essa regrinha aqui de derivação tá?
Agora sim, vamos lá.
Passo 2
Vamos começar respondendo a letra para respondê-la, vamos precisar das seguintes afirmações do enunciado:
“no instante , nove mil pessoas estavam infectadas, um ano depois esse número atingiu um valor mínimo e, em seguida, cresceu até atingir um valor máximo para .”
A primeira informação é que quando temos que,.
Colocando essa informação na questão temos que:
Logo, temos que:
.
Já as demais informações têm relação com valores máximos e mínimos da função, para isso vamos precisar da primeira e da segunda derivada da função, belezinha?
Calculando a primeira derivada:
E para confirmar se é um ponto de máximo ou de mínimo iremos precisar da segunda derivada, logo:
Passo 3
Agora vamos aplicar as equações no nosso probleminha, a segunda informação é que “um ano depois esse número atingiu um valor mínimo”. Aplicando isso nas nossas derivadas, vamos utilizar as seguintes condições:
Logo, temos as seguintes equações:
Já a terceira informação, temos que “cresceu até atingir um valor máximo para ” aplicando as seguintes condições de máximo, só que para .
geramos as seguintes igualdades:
Passo 4
Vamos resolver o seguinte sistema de equações:
Logo analisando as inequações, temos que:
Logo temos que:
Sendo assim:
Analisando as demais equações:
Sendo assim, temos o seguinte sistema de equações:
Cuja as soluções são
E percebendo que cai certinho no seguinte intervalo .
Passo 5
b)
A nossa função se torna:
Agora podemos responder a letra que é calcular os seguintes valores.
Passo 6
Para responder a letra precisamos identificar onde a função terá concavidade para cima, e onde ela estará para baixo. Mas, lembra do que vimos no passo ?
A concavidade da função é determinada pelo sinal da segunda derivada. Assim, vamos utilizar a segunda derivada de que é:
Analisando os extremos do domínio:
como temos , a função é côncava para cima, sendo assim a função deve ser algo dessa forma:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)