Exercícios Resolvidos de Eventos Mutuamente Exclusivos

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Enunciado

Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de 1 4     para A, de 1 5     para B e de 1 3     para C . Calcule a probabilidade:

  1. de que o problema seja resolvido;
  2. de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
  3. condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.

Passo 1

Inicialmente, vamos nomear os nossos eventos.

A :   pesquisador A resolver o problema

B :   pesquisador B resolver o problema

C :   pesquisador C resolver o problema

R :   problema ser resolvido

D :   pelo menos 2 resolverem o problema

Anotamos também os dados do enunciado:

P A = 1 4   ,     P B = 1 5     ,     P C = 1 3

Passo 2

(a)

Vamos ter que calcular a prob. do problema ser resolvido,

P R =   ?

Para atender a este evento, podemos ter um pesquisador resolvendo o problema, dois pesquisadores resolvendo o problema ou mesmo os três resolvendo o problema ao mesmo tempo!

A gente sabe que a prob. do problema ser resolvido é 1 menos a prob. de ele não ser resolvido.

P R = 1 - P R c

Passo 3

A prob. P ( R c ) é a prob. de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão;

P R c = P ( A c ∩ B c ∩ C c )

= 3 4 × 4 5 × 2 3

= 24 60                          

Passo 4

Com isso podemos substituir e encontrar o que queremos.

P R = 1 - P R c

P R = 1 - 24 60 = 36 60

P R = 0,6

Passo 5

(b)

Bom, vamos calcular agora P ( D ) .

Dizer que pelo menos dois dos três pesquisadores acertam a questão significa que dois deles podem acertar a questão ou os três podem acertar a questão simultaneamente.

Então, a prob. de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão será:

P D = P A ∩ B ∩ C     ∪   A c ∩ B ∩ C     ∪     A ∩ B c ∩ C     ∪     A ∩ B ∩ C c

Como os eventos A ∩ B ∩ C , A c ∩ B ∩ C , A ∩ B c ∩ C e A ∩ B ∩ C c são mutuamente exclusivos, é só calcular cada probabilidade e somar.

P D = P A ∩ B ∩ C )   +   P ( A c ∩ B ∩ C )   + P ( A ∩ B c ∩ C )   +     P ( A ∩ B ∩ C c

Passo 6

Calcular cada parcela.

P A ∩ B ∩ C = 1 4 × 1 5 × 1 3 = 1 60

P A c ∩ B ∩ C = 3 4 × 1 5 × 1 3 = 3 60

P A ∩ B c ∩ C = 1 4 × 4 5 × 1 3 = 4 60

P A ∩ B ∩ C c = 1 4 × 1 5 × 2 3 = 2 60

Então:

P D = 1 60 + 3 60 + 4 60 + 2 60 = 10 60

P D = 1 6

Passo 7

(c)

Ah, já tá ligado né?

Agora uma prob. condicional pra fazer.

Queremos P B     D ) .

P B     D ) = P B ∩ D P D

O valor de P ( D ) nós já temos.

P D = 1 6

Passo 8

Basta calcularmos P ( B ∩ D ) .

P B ∩ D = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C c + P ( A c ∩ B ∩ C )

Concorda ? probabilidade de B ser um dos que resolveu o problema é isso aí mesmo num é? Beleza então.

Usando os valores que a gente já calculou no passo 6.

P B ∩ D = 1 60 + 2 60 + 3 60 = 6 60

Passo 9

Terminando, só substituir na fórmula da prob. condicional.

P B     D ) = 6 60 1 6 = 0,6

Resposta

a   0,6

b 1 6

c   0,6