Eventos Mutuamente Exclusivos

Teoria Completa

E tudo volta à Teoria dos Conjuntos...

Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando eles são disjuntos, ou seja, quando não possuem interseção.

Isso quer dizer que

A ∩ B = ∅

Com isso podemos concluir outras coisas como:

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

P A ∪ B = P A + P B

Além disso, quando dois eventos não tiverem interseção a probabilidade condicional também irá mudar. Vamos dar uma olhada na fórmula:

P A B = P A ∩ B P B

Como P A ∩ B = 0   teremos:

P A B = 0 P B = 0

Ou seja, quando falamos de eventos mutuamente exclusivos podemos afirmar que a probabilidade condicional deles, um em relação ao outro é ZERO.

Importante!

Não podemos confundir eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS com eventos INDEPENDENTES.

Eventos independentes são aqueles que:

P A ∩ B = P A . P ( B )

Nada podemos afirmar sobre eles serem mutuamente exclusivos ou não. E vice versa!

Agora simbora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, 48-02

Se P A ∪ B = 0,8 ; P A = 0,5 e P B = r , determine o valor de r no caso de:

(a) A e B serem mutuamente exclusivos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Para eventos mutuamente exclusivos, a gente sabe que:

P A ∪ B = P A + P ( B )

Então, substituindo os valores do problema:

0,8 = 0,5 + r

r = 0,3

Resposta

a   0,3

Exercício Resolvido #2

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 49-03

Verifique se é válida a afirmação abaixo

Se P A = 1 3 e   P B A = 3 5 então A e B não podem ser disjuntos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Eventos disjuntos? O que é isso mesmo?

Disjuntos →   Interseção igual a zero Mutuamente Exclusivos

Se eles fossem disjuntos, teríamos que: P A ∩ B = 0

E assim

P B A = P B ∩ A P A = 0

Certo?

Dessa forma se P B A ≠ 0 →   não podem ser disjuntos!

Resposta

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2015.1-1B

b) Considere a seguinte afirmação: Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então P A B = P ( A ) , indicando que a ocorrência do evento B não traz informação sobre a probabilidade de ocorrência do evento A . Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então, a gente até usou essa ideia no conteúdo pra simplificar. Mas isso confunde muito, dizer que dois eventos são mutuamente exclusivos não significa que eles são independentes, só significa que a interseção deles é vazia.

De acordo com o enunciado, usando a fórmula a probabilidade condicional, a gente teria:

P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B × P B

Usando P A B = P ( A ) ...

P A ∩ B = P ( A ) × P ( B )

Que é a ideia de eventos independentes. Ou seja, a afirmação está erraaada. Porque uma coisa não implica na outra.

Passo 2

-

Na realidade, ao dizer que os eventos são mutuamente exclusivos, a gente diz que a interseção deles é zero. Então:

P A B = P A ∩ B P B = 0 P B

P A B = 0

Resposta

Exercício Resolvido #4

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 48 - 01

Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B) =0,5. Calcule:

a) P ( A ∩ B )

b) P ( A ∪ B )

c) P ( A c )

d) P ( A ∪ B c )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Mutuamente exclusivos →   Interseção igual a zero!

Assim, P A ∩ B = 0

Passo 2

b) P ( A ∪ B )

Sabemos que podemos escrever

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

Como P A ∩ B = 0

P A ∪ B = P A + P B = 0,3 + 0,5 = 0,8

Passo 3

c) P ( A c )

Opa, o que significa A c mesmo? É o complementar de A, ou seja, tudo que pertence ao meu espaço amostral mas NÃO pertence a A.

P A c = 1 - P A = 1 - 0,3 = 0,7

Passo 4

d) P ( A ∪ B c )

Seguindo a mesma linha de raciocínio da letra (c)

P A ∪ B c = 1 - P A ∪ B = 1 - 0,8 = 0,2

Resposta

a) 0

b) 0,8

c) 0,7

d) 0,2

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