• 4.10-2: Supondo que o gás de trabalho seja um gás ideal simples (com capacidades térmicas independentes da temperatura), mostre que a eficiência do motor do ciclo de Otto é dada pela equação 4.30.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, supondo que o gás de trabalho seja um gás ideal simples com capacidades térmicas independentes da temperatura, a eficiência do ciclo de Otto é dada pela equação 4.30.
Informações e pedidos do enunciado que vamos usar:
  • O gás é ideal simples e tem C_p e C_v constantes (independentes da temperatura).
  • O ciclo é o ciclo de Otto (dois processos adiabáticos reversíveis e dois processos isocóricos — aquecimento e resfriamento a volume constante).
  • Precisamos demonstrar a fórmula da eficiência do ciclo em função da razão de compressão e do expoente adiabático.
    Dados que vamos usar e nomes que vou adotar:
  • Estados do ciclo numerados como 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1.
  • Volumes correspondentes V_1, V_2, V_3, V_4. Observação: nos processos isocóricos temos V_2 = V_3 e V_1 = V_4.
  • Temperaturas correspondentes T_1, T_2, T_3, T_4.
  • Definiremos a razão de compressão como r = \dfrac{V_1}{V_2}.
  • Constante adiabática (razão de capacidades) \gamma = \dfrac{C_p}{C_v}.
  • Queremos obter uma expressão para a eficiência \eta do ciclo (energia útil / energia fornecida) em termos de r e \gamma.

Passo 2

Descrevendo os processos do ciclo e as fórmulas de calor e trabalho que vamos usar (isso é importante para entender cada passo da conta):
  • Processos do ciclo Otto:
    • 1 \to 2: compressão adiabática reversível (isentrópica).
    • 2 \to 3: aquecimento a volume constante (isocórico) — aqui entra calor Q_{in}.
    • 3 \to 4: expansão adiabática reversível (isentrópica).
    • 4 \to 1: resfriamento a volume constante (isocórico) — aqui sai calor Q_{out}.
  • Fórmula do calor em processo isocórico para gás ideal (por unidade de massa m ou por mol, tanto faz; vamos usar massa m):
Q = m\,C_v\,\Delta T
onde C_v é a capacidade térmica a volume constante e \Delta T é a variação de temperatura.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação (uma forma prática):
T V^{\gamma-1} = \text{constante}
ou, equivalentemente, para dois estados a e b,
\frac{T_b}{T_a} = \left(\frac{V_a}{V_b}\right)^{\gamma-1}.
Essas fórmulas são fundamentais: a primeira nos dá os calores em processos isocóricos; a segunda relaciona temperaturas e volumes nos processos adiabáticos isentrópicos.

Passo 3

Expressando os calores de entrada e saída do ciclo em termos das temperaturas:
  • Calor recebido no processo 2\to3 (aquecimento a volume constante):
Q_{in} = m\,C_v\,(T_3 - T_2).
  • Calor rejeitado no processo 4\to1 (resfriamento a volume constante):
Q_{out} = m\,C_v\,(T_4 - T_1).
A eficiência do ciclo, por definição, é a fração de calor de entrada que é convertido em trabalho:
\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}}.
Portanto precisamos calcular \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} = \dfrac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} usando as relações adiabáticas.

Passo 4

Usando as relações adiabáticas para ligar as temperaturas com a razão de compressão r:
  • Do processo 1\to2 (adiabático compressão), usando V_1/V_2 = r:
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = r^{\gamma-1}.
Logo:
T_2 = T_1\,r^{\gamma-1}.
  • Do processo 3\to4 (adiabático expansão), lembrando que V_3 = V_2 e V_4 = V_1, temos
\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = \frac{1}{r^{\gamma-1}}.
Logo:
T_4 = \frac{T_3}{r^{\gamma-1}}.

Passo 5

Substituindo as expressões de T_2 e T_4 na razão \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} = \dfrac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}:
Primeiro escrevemos a razão:
\frac{Q_{out}}{Q_{in}} = \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}.
Agora substituímos T_2 = T_1 r^{\gamma-1} e T_4 = \dfrac{T_3}{r^{\gamma-1}}:
\frac{Q_{out}}{Q_{in}} = \frac{\dfrac{T_3}{r^{\gamma-1}} - T_1}{T_3 - T_1 r^{\gamma-1}}.

Passo 6

Fatorando convenientemente para simplificar a expressão (aí vem a mágica algébrica simples):
Observe que o numerador é exatamente \dfrac{1}{r^{\gamma-1}} vezes o denominador. Para ver isso, multiplique o denominador por \dfrac{1}{r^{\gamma-1}}:
\frac{1}{r^{\gamma-1}}\,(T_3 - T_1 r^{\gamma-1}) = \frac{T_3}{r^{\gamma-1}} - T_1,
que é justamente o numerador. Portanto
\frac{Q_{out}}{Q_{in}} = \frac{\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}\,(T_3 - T_1 r^{\gamma-1})}{T_3 - T_1 r^{\gamma-1}} = \frac{1}{r^{\gamma-1}}.

Passo 7

Concluímos a eficiência substituindo a razão encontrada na expressão de \eta:
\eta = 1 - \frac{Q_{out}}{Q_{in}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}.
Essa é a expressão buscada: a eficiência do ciclo de Otto depende apenas da razão de compressão r e do expoente adiabático \gamma, não dependendo da quantidade de calor fornecida nem das temperaturas absolutas individuais (desde que o gás seja ideal e C_v, C_p constantes).

Resposta

\eta = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}

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