Aplicação de Derivadas

Resumo

Olá galera!! Sejam muito bem vindos ao Responde Aí, a plataforma de exatas criada para ajudar você a mandar super bem nas suas provas!

Hoje vamos introduzir um assunto bem interessante dentro do cálculo, a aplicação de derivadas. Esse assunto é sensacional porque a gente consegue ver que tem um motivo para aprender derivadas. Preparado?

Aplicação de Derivadas

N��s, alunos de engenharia, matemática, física, e vários outros cursos de exatas, assim que entramos na faculdade nos deparamos com o famoso Cálculo I 😮. Nessa disciplina aprendemos basicamente sobre Limites, Derivadas e Integrais.

E muitas vezes ficamos nos questionando o porquê de estarmos aprendendo essas coisas, em que isso vai contribuir na nossa formação, não é mesmo? Por esse motivo, ver as aplicações que essas ferramentas matemáticas tem na vida �� super interessante e motivador.

Aqui vamos citar rapidamente algumas aplicações de derivadas, para você ver que tem uma razão de estar aprendendo isso, beleza?

Taxas

Podemos calcular taxas de variação instantâneas usando as derivadas.

A própria definição de derivadas nos trás essa aplicação, pois a derivada é entendida como a taxa de variação instantânea da função em relação à variável independente.

Então de maneira geral, podemos definir a taxa de variação de uma função da seguinte maneira:

Definição de taxa de variação de uma função
Definição de taxa de variação de uma função

Esse cálculo de taxa de variação instantânea é muito útil dentro da física. A velocidade instantânea de um objeto, por exemplo, é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo. Então, se temos uma função que descreve a posição em relação ao tempo, basta a gente derivar essa função que encontramos a velocidade. Show de bola, não é?

Máximo e Mínimo

Nós conseguimos encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função apenas usando as derivadas.

Dá uma olhada aqui nessa função:

Gráfico de uma função indicando o ponto de máximo e de mínimo
Gráfico de uma função indicando o ponto de máximo e de mínimo

Olhando o gráfico a gente consegue ver claramente qual é o ponto de mínimo e qual é o ponto de máximo. Mas e se você não tiver o gráfico? Como saber onde está o ponto de máximo e de mínimo da função? Usando as derivadas.

Chamamos de ponto crítico, $c$, o valor de $x$ no qual a derivada da função vale zero. Esses pontos críticos são potenciais pontos de máximo e mínimo da função e por isso uma vez conhecido esses pontos, podemos fazer testes de derivadas para sabermos quais ou pontos de máximo e mínimo.

Um teste bem conhecido é o teste da segunda derivada, e ele diz o seguinte:

Enunciado formal do teste da segunda derivada
Enunciado formal do teste da segunda derivada

Esboço de Gráficos

Tem como a gente pegar a expressão de uma função $f(x)$ e fazer o esboço do gráfico dessa função? SIIIMMM, tem como, e fazemos isso usando as derivadas.

Existe todo um passo a passo para o esboço de gráficos de funções e em muitos desses passos nós utilizamos as derivadas para tirarmos alguma informação, como por exemplo, sabermos quais ou pontos críticos e os pontos de máximo e mínimo, como já comentamos anteriormente.

Ficou curioso? Relaxa que temos uma página que fala só sobre o esboço de gráficos, confere aí: Esboço de Gráficos.

E o melhor, nós não temos só uma página falando só sobre o esboço de gráficos, nós temos o conteúdo completo que você precisa saber sobre as aplicações de derivadas. E para que seu estudo seja mais focado e rápido nós organizamos todo o conteúdo em capítulos e tópicos. Tudo isso está no nosso Raio-X aqui embaixo 👇🏽

Está esperando o que para conferir? 👇🏽

Raio-X

Livros Resolvidos

  • Cálculo Volume 2 - James Stewart
  • Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - Louis Leithold
  • Cálculo -  Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)
  • Um curso de Cálculo Volume 1 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Um curso de Cálculo Volume 2 - Hamilton Luiz Guidorizzi
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  • Conteúdos Complementares

    Fórmulas de Aplicação de Derivadas

    Retas Paralelas Retas Perpendiculares