Funções Vetoriais

Resumo

Aqui nessa página nós temos o intuito de fazer uma introdução sobre as funções vetoriais para que você possa ter uma noção inicial desse assunto antes de se aprofundar. Então bora lá!

O que são Funções Vetoriais?

Vamos começar entendendo o que são funções vetoriais.

Você lembra que a gente pode representar um vetor indicando sua direção pelas coordenadas $x$ e $y$?

Representação de um vetor
Representação de um vetor

Quando essas corrdenadas, $x$ e $y$, de um vetor forem dadas por um função, dizemos que essa função é uma função vetorial.

Essa funções vetoriais podem ser de $1$, $2$, $3$, ou várias variáveis.

Vamos pegar um exemplo de função vetorial de três variáveis:

$$F(x,y,z)=(g(x,y,z),h(x,y,z))$$
$$F(x,y,z)=(x+y+z,2x+y+3z)$$

O que temos aqui é que a função $F$ tem três variáveis independentes ($x$, $y$ e $z$) e ela pega essas três variáveis e leva elas a vetores com apenas duas corrdenadas, $x'$ e $y'$, sendo a coordenada $x'$ dada por $x+y+z$ e a coordenada $y'$ por $2x+y+3z$.

Vamos pegar o ponto $(1,2,3)$. Se aplicarmos a função $F$ nesse ponto, teremos como resultado um vetor $v$ que será:

$$v=F(1,2,3)=(~(1+2+3),(2.1+2+3.3)~)=(6,13)$$

Sacou?

Domínio de Funções Vetoriais

O domínio de funções em geral é o conjunto de valores das variáveis independentes no qual a função está bem definida. Aqui nas funções vetoriais não é diferente, preisamos analisar todas as variáveis independentes envolvidas e ver em qual conjunto delas a função vetorial está bem definida.

Lembrando dos seguintes pontos para encontrar domínio:

  • Nas frações, o denominador não pode se zero;
  • Dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;
  • O valor dentro do logaritmo tem que ser positivo.

Vamos ver um exemplo aqui:

$$F(x,y)=(\sqrt{25-x^2-y^2}~,~x+y)$$

Temos a função, que podemos chamar de $f_1$, que descreve a primeira coordenada do vetor, e temos a função $f_2$, que descreve a segunda coordenada do vetor:

$$f_1=\sqrt{25-x^2-y^2}$$
$$f_2=x+y$$

Olhando para $f_2$ vemos que não tem nenhuma restrição, tanto $x$ quanto $y$ podem assumir qualquer valor.

Agora olhando para $f_1$, como temos uma raíz quadrada, precisamos garantir que o valor no interior da raíz seja positivo:

$$25-x^2-y^2\geqslant 0$$
$$x^2+y^2\leq 25$$

Então, temos que o domínio será:

$$Dom(F)=\{(x,y)\in R^2 ~|~x^2+y^2\leq25\}$$

Imagem de Funções Vetoriais

A imagem será o conjunto dos possíveis valores que são obtidos ao substituir as variáveis por um número na função.

Para uma função vetorial, a imagem normalmente será uma superfície e para encontrarmos essa superfície temos que achar uma relação entre as componentes do vetor que compõe a imagem.

Vamos no exemplo que fica mais tranquilo:

$$F(x,y)=(x,y,\sqrt{x^2+y^2})$$

Se chamarmos a terceira componente de $z$, temos:

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

Essa expessão é a nossa relação entre as componentes do vetor, e essa relação define a parte de cima de um cone. Então, todos os vetores obtidos por essa função estarão contidos nessa parte do cima do cone:

Esboço da imagem da função
Esboço da imagem da função

Bem irado não é?

Era isso que tínhamos para falar pra você nessa introdução de funções vetoriais. Se você quiser, pode conferir esse mesmo conteúdo de introdução em vídeo 👇🏽. É bom pra fixar bem hahaha

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