Funções Vetoriais

Aqui nessa página nós temos o intuito de fazer uma introdução sobre as funções vetoriais para que você possa ter uma noção inicial desse assunto antes de se aprofundar. Então bora lá!

O que são Funções Vetoriais?

Vamos começar entendendo o que são funções vetoriais.

Você lembra que a gente pode representar um vetor indicando sua direção pelas coordenadas $x$ e $y$?

  Representação de um vetor
Representação de um vetor

Quando essas corrdenadas, $x$ e $y$, de um vetor forem dadas por um função, dizemos que essa função é uma função vetorial.

Essa funções vetoriais podem ser de $1$, $2$, $3$, ou várias variáveis.

Vamos pegar um exemplo de função vetorial de três variáveis:

$$F(x,y,z)=(g(x,y,z),h(x,y,z))$$
$$F(x,y,z)=(x+y+z,2x+y+3z)$$

O que temos aqui é que a função $F$ tem três variáveis independentes ($x$, $y$ e $z$) e ela pega essas três variáveis e leva elas a vetores com apenas duas corrdenadas, $x'$ e $y'$, sendo a coordenada $x'$ dada por $x+y+z$ e a coordenada $y'$ por $2x+y+3z$.

Vamos pegar o ponto $(1,2,3)$. Se aplicarmos a função $F$ nesse ponto, teremos como resultado um vetor $v$ que será:

$$v=F(1,2,3)=(~(1+2+3),(2.1+2+3.3)~)=(6,13)$$

Sacou?

Domínio de Funções Vetoriais

O domínio de funções em geral é o conjunto de valores das variáveis independentes no qual a função está bem definida. Aqui nas funções vetoriais não é diferente, preisamos analisar todas as variáveis independentes envolvidas e ver em qual conjunto delas a função vetorial está bem definida.

Lembrando dos seguintes pontos para encontrar domínio:

  • Nas frações, o denominador não pode se zero;
  • Dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;
  • O valor dentro do logaritmo tem que ser positivo.

Vamos ver um exemplo aqui:

$$F(x,y)=(\sqrt{25-x^2-y^2}~,~x+y)$$

Temos a função, que podemos chamar de $f_1$, que descreve a primeira coordenada do vetor, e temos a função $f_2$, que descreve a segunda coordenada do vetor:

$$f_1=\sqrt{25-x^2-y^2}$$
$$f_2=x+y$$

Olhando para $f_2$ vemos que não tem nenhuma restrição, tanto $x$ quanto $y$ podem assumir qualquer valor.

Agora olhando para $f_1$, como temos uma raíz quadrada, precisamos garantir que o valor no interior da raíz seja positivo:

$$25-x^2-y^2\geqslant 0$$
$$x^2+y^2\leq 25$$

Então, temos que o domínio será:

$$Dom(F)=\{(x,y)\in R^2 ~|~x^2+y^2\leq25\}$$

Imagem de Funções Vetoriais

A imagem será o conjunto dos possíveis valores que são obtidos ao substituir as variáveis por um número na função.

Para uma função vetorial, a imagem normalmente será uma superfície e para encontrarmos essa superfície temos que achar uma relação entre as componentes do vetor que compõe a imagem.

Vamos no exemplo que fica mais tranquilo:

$$F(x,y)=(x,y,\sqrt{x^2+y^2})$$

Se chamarmos a terceira componente de $z$, temos:

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

Essa expessão é a nossa relação entre as componentes do vetor, e essa relação define a parte de cima de um cone. Então, todos os vetores obtidos por essa função estarão contidos nessa parte do cima do cone:

        Esboço da imagem da função
Esboço da imagem da função

Bem irado não é?

Era isso que tínhamos para falar pra você nessa introdução de funções vetoriais. Se você quiser, pode conferir esse mesmo conteúdo de introdução em vídeo 👇🏽. É bom pra fixar bem hahaha

Agora que já viu essa introdução fica bem mais fácil continuar explorando esse assunto. E fica ainda mais fácil com o Responde Aí, porque separamos todo o conteúdo que você precisa saber sobre funções vetoriais em capítulos e tópicos pra você estudar de maneira bem lógica e rápida. Confere nosso Raio-X aqui em baixo e veja tudo que temos para te oferecer 👇🏽

Vá do 0 à APROVAÇÃO com nosso RAIO‐X
de Funções Vetoriais, veja abaixo:

RAIO-X

Tá com pouco tempo para estudar e precisa mandar bem na prova?

Nosso RAIO-X te da o passo a passo para matar todo o assunto de Funções Vetoriais em pouco tempo, numa linguagem simples, e deixando mais seguro(a) para prova.

VAMOS AO RAIO-X:

Podemos separar Funções Vetoriais em 4 partes:

COMO APRENDER TUDO ISSO EM POUCO TEMPO?

O maior erro que você pode cometer é tentar estudar de forma desorganizada, seja procurando vídeos no YouTube, pulando pro caderno, livro do professor ou a famosa xerox. Você acaba perdendo muito tempo e não sente que está realmente avançando.

O segredo é ter um guia, que te diga não só que tópicos estudar e em que ordem, como também te indique bons resumos (em texto ou vídeo) e exercícios selecionados em ordem de dificuldade, com resolução passo a passo.

Comece abaixo com a primeira parte:
1.Introdução às Funções Vetoriais

1. Introdução às Funções Vetoriais

Para aprender Funções Vetoriais você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

Proxima parte de Funções Vetoriais
2.Introdução às Funções Vetoriais

2. Derivadas de Funções Vetoriais

Para aprender Funções Vetoriais você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

Proxima parte de Funções Vetoriais
3.Derivadas de Funções Vetoriais

3. Teorema da Função Inversa

Para aprender Funções Vetoriais você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

- Critério para Possuir Inversa de Funções Vetoriais

- Obtenção da Função Vetorial Inversa

- Teorema da Função Inversa

- Aproximação Linear da Função Inversa

Proxima parte de Funções Vetoriais
4.Teorema da Função Inversa

4. Teorema da Função Implícita

Para aprender Funções Vetoriais você deve estudar os seguintes tópicos, nessa ordem:

Proxima parte de Funções Vetoriais
5.Teorema da Função Implícita

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas