Equações Diferenciais

Resumo

Um dos assuntos estudado na Álgebra Linear e Geometria Analítica são as Equações Diferenciais e, é sobre elas que vamos falar aqui hoje. Vem comigo!

Vammos começar entendente o que é uma equação diferencial. Uma equação diferencial é uma equação que envolve a função e a derivada dessa função.

Olha essa equação aqui:

$$f'(x)=(f(x))^2-e^x$$

Percebe que na equação estão envolvidas a função $f(x)$ e a derivada dessa função $f'(x)$. Podemos fazer $f(x)=y$ e reescrever a equação:

$$y'=y^2=e^x$$

Agora, percebe que a incógnita da nossa equação é o $y$, e esse $y$ é uma função de $x$. Então, quando resolvemos uma equação diferencial, nós obtemos como resultado uma função e não um valor, que nem quando resolvemos uma equação simples, beleza?

Existem algumas classificações que podemos fazer das equações diferenciais. Podemos definí-las como Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) ou Equações Diferenciais Parciais (EDP).

EDO: Envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente

Exemplo:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+y$$

EDP: Envolve derivadas de uma função em relação a mais de uma variável independente

Exemplo:

$$\frac{dy}{dz}+\frac{dy}{dx}=y+e^x$$

Outra classificação é em relação a ordem da equação diferencial. Essa ordem é de acordo com a derivada de mais alta ordem envolvida na equação.

Exemplo: EDO de 1° ordem - Só envolve a derivada primeira da função.

$$y'=y^2+2x$$

Exemplo: EDO de 2° ordem - a derivada mais alta envolvida na equação é a segunda derivada.

$$y''+y'+y=3x$$

Tudo tranquilo dessas classificações?

Então, agora vamos ver como resolver um tipo bem específico de EDO para a Álgebra Linear e Geometria Analítica.

Olha essa EDO aqui:

$$2y'-3y=0$$

Vamos passar o $3y$ para o lado direto da equação e escrever $y'$ como $dy/dx$

$$2\frac{dy}{dx}=3y$$

Agora, vamos colocar tudo que tem $y$ do lado esquerdo e tudo que tem $x$ do lado direito, assim:

$$2\frac{dy}{y}=3dx$$

Agora, integramos os dois lados da equação:

$$\int 2\frac{dy}{y}=\int 3dx$$
$$2~ln(y)=3x +C$$
$$ln(y)=\frac{3x+C}{2}$$
$$y=e^{(3x+C)/2}$$
$$y=e^{(3x)/2}e^{C/2}$$

Note que, $e^{C/2}$ é uma constante, que podemos chamar de $K$. Então:

$$y=Ke^{(3x)/2}$$

E pronto, resolvemos a EDO.

Não precisa de desespero, viu? hahaha

Eu vou deixar um vídeo aqui embaixo pra você, que fala sobre essa mesma introdução de Equações Diferenciais. Se você quiser fixar ou preferir aprender por vídeo aula é só dar uma conferida aqui:

E para avançar no seu estudo sobre as equações diferenciais é só conferir o Raio-X, que deixamos logo aqui em seguida, com todo o conteúdo que você pecisa estudar de maneira bem organizada. 👇🏽 😉

Raio-X

Livros Resolvidos

  • Álgebra Linear - J. L. Boldrini
  • Álgebra Linear - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle