Espaços Vetoriais

Resumo

Fala aí, gente bonitaaa!!

Já ouvir falar do Responde Aí? Se você cursa engenharia ou qualquer outro curso de exatas e não conhece o Responde Aí você não sabe o que está perdendo. Nós somos uma plataforma de exatas que veio definitivamente pra salvar o seu semestre!

Aproveita que chegou até essa página aqui, onde nós vamos falar de Espaços Vetoriais, para conhecer um pouco, ver como é nossa didática de ensino e eu te dou dois minutos pra se apaixonar hahahaha. Bora lá!

Primeiro vamos entender o que são espaços vetoriais. Vamos supor que temos vários vetores e queremos organizar eles em caixinhas/conjuntos. Então eu posso falar assim, os vetores que tem as suas componentes dessa maneira aqui: $(0,0,z)$ eu vou colocar dentro da caixinha vermelha e os que são dessa outra maneira: $(x,y,1)$ eu vou colocar na caixinha verde. Com isso nós temos dois conjuntos, beleza?

Dentro de cada um desses conjuntos eu posso definir operações. Por exemplo, eu posso dizer que dentro da caixinha vermelha a soma/substração e multiplicação se dá pelas operações usuais que já conhecemos, mas que dentro da caixinha verde é diferente.

O que temos até o momento são conjuntos de vetores e dentro de cada um deles temos definido como são feitas as operações. Os espaços vetoriais nada mais são que conjuntos de vetores, MAASSSS para um conjunto ter esse título de espaço vetorial ele precisa obedecer algumas requisitos:

PRIMEIRO REQUISITO: O resultado de qualquer operação que fazemos dentro da caixinha tem que ser um vetor que também pertença a caixinha.

DEMAIS REQUISITOS: Além do primeiro requisito, para ser espaço vetorial, o conjunto obedecer os $8$ axiomas que seguem:

1. A soma é comutativa

2. A soma é associativa

3. Elemento neutro da soma

Em outras palavras, existe um vetor nesse espaço vetorial, denotado por $0$, cujo resultado da soma com qualquer outro vetor $v$ do espaço é esse outro vetor .

Ele é comumente denominado como $0$, mas é de extrema importância que você tenha em mente que ele não precisa ser o vetor $(0,0,0)$, se estivéssemos no $R^3$, por exemplo. O que tem que acontecer é que ele não deve influenciar na soma.

4. Inverso aditivo

Traduzindo, para todo vetor $v$ em $V$, existe um vetor $w$ também em $V$, tal que $v+w=0$. No universo de operações que conhecemos o inverso aditivo de $1$ é o $-1$, por exemplo.

5. Associativo

Trata-se do ditado “A ordem dos tratores não altera o viaduto” Não importa se multiplicarmos primeiramente o vetor pelo escalar $β$ para depois multiplicar pelo $α$ ou os escalares primeiro para depois multiplicar o resultado pelo vetor, o resultado será o mesmo.

6. Elemento neutro da multiplicação

O elemento neutro é o escalar $1$, cujo resultado da multiplicação dele com qualquer outro vetor $v$ do espaço é esse mesmo vetor $v$.

7. Distributividade 1

8. Distributividade 2

UFAA!! Acabaram os axiomas

São muitos os requisitos que um espaço vetorial deve ter não é mesmo? hahahaha

Normalmente nas questões de prova eles te dão um conjunto de vetores ou até de matrizes e pedem para você dizer se aquele conjunto é ou não um espaço vetorial. E pra fazer isso infelizmente teremos que testar todos esses requisitos aí e ver se o conjunto satisfaz isso ou não...

Mas calma, sem desespero hahaha

Meu conselho é começar vendo se o resultado das operações dentro do conjunto resultam em um vetor que também pertence ao conjunto, porque esse é o requisito mais básico e normalmente a gente já elimina nesse aí hahahaha.

Essa foi só uma introdução rápida de espaços vetoriais, curtiu?

Se você preferir pode ver essa introdução em vídeo também. É isso mesmo, aqui no Responde Aí, além de textos irados temos vídeos super didáticos. Confere o vídeo de espaços vetoriais aí 👇🏽

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Raio-X

Livros Resolvidos

  • Álgebra Linear - J. L. Boldrini
  • Álgebra Linear - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle