- 4.10-2: Supondo que o gás de trabalho seja um gás ideal simples (com capacidades térmicas independentes da temperatura), mostre que a eficiência do motor do ciclo de Otto é dada pela equação 4.30.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, supondo que o gás de trabalho seja um gás ideal simples com capacidades térmicas independentes da temperatura, a eficiência do ciclo de Otto é dada pela equação 4.30.
Informações e pedidos do enunciado que vamos usar:
Informações e pedidos do enunciado que vamos usar:
- O gás é ideal simples e tem
e constantes (independentes da temperatura). - O ciclo é o ciclo de Otto (dois processos adiabáticos reversíveis e dois processos isocóricos — aquecimento e resfriamento a volume constante).
- Precisamos demonstrar a fórmula da eficiência do ciclo em função da razão de compressão e do expoente adiabático.
Dados que vamos usar e nomes que vou adotar: - Estados do ciclo numerados como
. - Volumes correspondentes
. Observação: nos processos isocóricos temos e . - Temperaturas correspondentes
. - Definiremos a razão de compressão como
. - Constante adiabática (razão de capacidades)
. - Queremos obter uma expressão para a eficiência
do ciclo (energia útil / energia fornecida) em termos de e .
Passo 2
Descrevendo os processos do ciclo e as fórmulas de calor e trabalho que vamos usar (isso é importante para entender cada passo da conta):
- Processos do ciclo Otto:
-
: compressão adiabática reversível (isentrópica). -
: aquecimento a volume constante (isocórico) — aqui entra calor . -
: expansão adiabática reversível (isentrópica). -
: resfriamento a volume constante (isocórico) — aqui sai calor .
-
- Fórmula do calor em processo isocórico para gás ideal (por unidade de massa
ou por mol, tanto faz; vamos usar massa ):
onde
é a capacidade térmica a volume constante e
é a variação de temperatura.
- Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação (uma forma prática):
ou, equivalentemente, para dois estados
e
,
Essas fórmulas são fundamentais: a primeira nos dá os calores em processos isocóricos; a segunda relaciona temperaturas e volumes nos processos adiabáticos isentrópicos.
Passo 3
Expressando os calores de entrada e saída do ciclo em termos das temperaturas:
- Calor recebido no processo
(aquecimento a volume constante):
- Calor rejeitado no processo
(resfriamento a volume constante):
A eficiência do ciclo, por definição, é a fração de calor de entrada que é convertido em trabalho:
Portanto precisamos calcular
usando as relações adiabáticas.
Passo 4
Usando as relações adiabáticas para ligar as temperaturas com a razão de compressão
:
- Do processo
(adiabático compressão), usando :
Logo:
- Do processo
(adiabático expansão), lembrando que e , temos
Logo:
Passo 5
Substituindo as expressões de
e
na razão
:
Primeiro escrevemos a razão:
Primeiro escrevemos a razão:
Agora substituímos
e
:
Passo 6
Fatorando convenientemente para simplificar a expressão (aí vem a mágica algébrica simples):
Observe que o numerador é exatamente vezes o denominador. Para ver isso, multiplique o denominador por
:
Observe que o numerador é exatamente
que é justamente o numerador. Portanto
Passo 7
Concluímos a eficiência substituindo a razão encontrada na expressão de
:
Essa é a expressão buscada: a eficiência do ciclo de Otto depende apenas da razão de compressão
e do expoente adiabático
, não dependendo da quantidade de calor fornecida nem das temperaturas absolutas individuais (desde que o gás seja ideal e
constantes).