15.3(b) Qual é a temperatura em que a população do estado superior de um sistema de dois niveis é igual à metade da populaçăo do estado inferíor, sendo de
a separaçio entre os niveis?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: a temperatura em que a população do estado superior é igual à metade da população do estado inferior.
- Dados: a separação entre os níveis é
(ou seja, corresponde a essa energia). - Condição desejada:
.
Nada mais foi especificado sobre degenerações, portanto assumimos que ambos os níveis têm a mesma degeneração (isto é,), hipótese comum salvo indicação contrária.
Passo 2
Lei de Boltzmann e explicação das variáveis.
- A distribuição de Boltzmann diz que a população
de um nível de energia vale, à temperatura ,
onde
é a degeneração do nível
(número de estados com mesma energia),
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta (em Kelvin).
- Para dois níveis com energias
(inferior) e (superior) e , a razão das populações é
- Assumindo
, essa razão simplifica para
Passo 3
Aplicar a condição
e resolver simbolicamente por
.
- Impondo a condição:
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
- Isolando
:
Passo 4
Como transformar
dada em
para usar na fórmula.
- A separação foi dada como número de onda
. A relação entre energia e número de onda é
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz.
- É conveniente trabalhar com a combinação
. O fator converte em Kelvin; numericamente
- Assim
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Agora usar
. Como ,
- Arredondando de forma prática para a precisão dos dados, obtemos cerca de
.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
- Resultado: a temperatura necessária é da ordem de algumas centenas de kelvin (na verdade alta,
). - Isso faz sentido: um nível separado por
(energia moderada em espectroscopia) precisa de temperatura relativamente alta para que o estado superior atinja metade da população do inferior. Força aí que já deu um bom passo!