15.3(b) Qual é a temperatura em que a população do estado superior de um sistema de dois niveis é igual à metade da populaçăo do estado inferíor, sendo de 300 \mathrm{~cm}^{-1} a separaçio entre os niveis?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: a temperatura em que a população do estado superior é igual à metade da população do estado inferior.
  • Dados: a separação entre os níveis é \tilde{\nu}=300\\ \mathrm{cm^{-1}} (ou seja, \Delta E corresponde a essa energia).
  • Condição desejada: n_2 = \tfrac{1}{2}n_1.
    Nada mais foi especificado sobre degenerações, portanto assumimos que ambos os níveis têm a mesma degeneração (isto é, g_1=g_2), hipótese comum salvo indicação contrária.

Passo 2

Lei de Boltzmann e explicação das variáveis.
  • A distribuição de Boltzmann diz que a população n_i de um nível de energia E_i vale, à temperatura T,
n_i \propto g_i \exp\!\biggl(-\dfrac{E_i}{k_B T}\biggr),
onde g_i é a degeneração do nível i (número de estados com mesma energia), k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
  • Para dois níveis com energias E_1 (inferior) e E_2 (superior) e \Delta E=E_2-E_1, a razão das populações é
\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{g_2}{g_1}\exp\!\biggl(-\dfrac{\Delta E}{k_B T}\biggr).
  • Assumindo g_2=g_1, essa razão simplifica para
\dfrac{n_2}{n_1}=\exp\!\biggl(-\dfrac{\Delta E}{k_B T}\biggr).

Passo 3

Aplicar a condição n_2=\tfrac{1}{2}n_1 e resolver simbolicamente por T.
  • Impondo a condição:
\exp\!\biggl(-\dfrac{\Delta E}{k_B T}\biggr)=\tfrac{1}{2}.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\dfrac{\Delta E}{k_B T}=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.
  • Isolando T:
T=\dfrac{\Delta E}{k_B\ln 2}.

Passo 4

Como transformar \Delta E dada em \mathrm{cm^{-1}} para usar na fórmula.
  • A separação foi dada como número de onda \tilde{\nu}=300\\ \mathrm{cm^{-1}}. A relação entre energia e número de onda é
\Delta E = h c \tilde{\nu},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz.
  • É conveniente trabalhar com a combinação \dfrac{\Delta E}{k_B}=\dfrac{h c}{k_B}\tilde{\nu}. O fator \dfrac{h c}{k_B} converte \mathrm{cm^{-1}} em Kelvin; numericamente
\dfrac{h c}{k_B}\approx 1,4387769\\ \mathrm{K\cdot cm}.
  • Assim
\dfrac{\Delta E}{k_B}=\biggl(\dfrac{h c}{k_B}\biggr)\tilde{\nu}\approx 1,4387769\cdot 300\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
  • Primeiro calcule \dfrac{\Delta E}{k_B}:
\dfrac{\Delta E}{k_B}\approx 1,4387769\times 300 = 431,63307\\ \mathrm{K}.
  • Agora usar T=\dfrac{\Delta E}{k_B\ln 2}=\dfrac{\Delta E/k_B}{\ln 2}. Como \ln 2\approx 0,69314718,
T \approx \dfrac{431,63307}{0,69314718} \approx 622,76\\ \mathrm{K}.
  • Arredondando de forma prática para a precisão dos dados, obtemos cerca de 623\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado: a temperatura necessária é da ordem de algumas centenas de kelvin (na verdade alta, \sim 6{,}2\times10^{2}\\ \mathrm{K}).
  • Isso faz sentido: um nível separado por 300\\ \mathrm{cm^{-1}} (energia moderada em espectroscopia) precisa de temperatura relativamente alta para que o estado superior atinja metade da população do inferior. Força aí que já deu um bom passo!

Resposta

T \approx 623\\ \mathrm{K}