E4- Um balão esférico tem um diâmetro de 26 cm e contém ar à pressão de 1,7 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. O diâmetro do balão aumenta para 35 cm devido ao aquecimento e durante esse processo, a pressão é proporcional ao diâmetro. Calcule o trabalho realizado pelo ar durante esse processo.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pelo ar quando um balão esférico se expande de diâmetro inicial D_1=26\\ \mathrm{cm} para diâmetro final D_2=35\\ \mathrm{cm}, sabendo que a pressão inicial é p_1=1{,}7\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e que, durante o processo, a pressão é proporcional ao diâmetro.
Dados importantes fornecidos:
O que se pede: calcular o trabalho W realizado pelo ar ao se expandir de D_1 para D_2.
Passo 2
Conceito-chave: o trabalho realizado por um gás numa expansão é dado por
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V,
onde p é a pressão e V o volume. Aqui p varia com o diâmetro D, então é conveniente escrever p como função de D e transformar \mathrm{d}V em termos de \mathrm{d}D, para integrar em D.
Passo 3
Volume de uma esfera em função do diâmetro: tomando raio r=D/2,
Expliquei isso porque na prova você pode transformar integrais \int p\,\mathrm{d}V em integrais em outra variável usando \mathrm{d}V obtido por derivada.
Passo 4
A pressão é proporcional ao diâmetro: isso significa que existe uma constante k tal que
Arredondando de forma razoável (dados têm poucas cifras significativas), podemos apresentar o resultado como W\approx 2{,}63\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Passo 8
Recapitulando de forma prática (como na prova): escreva V=(\pi/6)D^{3}, compute \mathrm{d}V=(\pi/2)D^{2}\mathrm{d}D, use p=kD com k=p_1/D_1, substitua em W=\int p\,\mathrm{d}V e integre. As contas numéricas acima mostram passo a passo como chegar ao valor final.