E4- Um balão esférico tem um diâmetro de 26 cm e contém ar à pressão de 1,7 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. O diâmetro do balão aumenta para 35 cm devido ao aquecimento e durante esse processo, a pressão é proporcional ao diâmetro. Calcule o trabalho realizado pelo ar durante esse processo.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo ar quando um balão esférico se expande de diâmetro inicial D_1=26\\ \mathrm{cm} para diâmetro final D_2=35\\ \mathrm{cm}, sabendo que a pressão inicial é p_1=1{,}7\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e que, durante o processo, a pressão é proporcional ao diâmetro.
Dados importantes fornecidos:
D_1=26\\ \mathrm{cm},\qquad D_2=35\\ \mathrm{cm},\qquad p_1=1{,}7\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
O que se pede: calcular o trabalho W realizado pelo ar ao se expandir de D_1 para D_2.

Passo 2

Conceito-chave: o trabalho realizado por um gás numa expansão é dado por
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V,
onde p é a pressão e V o volume. Aqui p varia com o diâmetro D, então é conveniente escrever p como função de D e transformar \mathrm{d}V em termos de \mathrm{d}D, para integrar em D.

Passo 3

Volume de uma esfera em função do diâmetro: tomando raio r=D/2,
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{3}=\frac{\pi}{6}D^{3}.
Derivando em relação a D para obter \mathrm{d}V:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}D}=\frac{\pi}{6}\cdot 3D^{2}=\frac{\pi}{2}D^{2},
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\mathrm{d}V=\frac{\pi}{2}D^{2}\,\mathrm{d}D.
Expliquei isso porque na prova você pode transformar integrais \int p\,\mathrm{d}V em integrais em outra variável usando \mathrm{d}V obtido por derivada.

Passo 4

A pressão é proporcional ao diâmetro: isso significa que existe uma constante k tal que
p(D)=kD.
Usamos o ponto inicial para obter k:
k=\frac{p_1}{D_1}=\frac{1{,}7}{26}=\frac{17}{260}\\ \mathrm{kgf/cm^{3}}.
Obs.: a unidade de k é \mathrm{kgf/cm^{3}} porque p tem unidade \mathrm{kgf/cm^{2}} e D tem unidade \mathrm{cm}.

Passo 5

Substituímos p(D) e \mathrm{d}V na integral do trabalho:
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V=\int_{D_1}^{D_2} p(D)\,\frac{\pi}{2}D^{2}\,\mathrm{d}D =\int_{D_1}^{D_2} kD\cdot\frac{\pi}{2}D^{2}\,\mathrm{d}D =k\frac{\pi}{2}\int_{D_1}^{D_2}D^{3}\,\mathrm{d}D.
Calculando a integral:
\int D^{3}\,\mathrm{d}D=\frac{D^{4}}{4},
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W=k\frac{\pi}{2}\cdot\frac{D^{4}}{4}\Bigg|_{D_1}^{D_2} =k\frac{\pi}{8}\left(D_2^{4}-D_1^{4}\right).

Passo 6

Agora colocamos os números. Primeiro calcule D_1^{4} e D_2^{4}:
26^{4}=456\,976,\qquad 35^{4}=1\,500\,625,
D_2^{4}-D_1^{4}=1\,500\,625-456\,976=1\,043\,649.
Com k=\dfrac{17}{260} obtemos
W=\frac{17}{260}\cdot\frac{\pi}{8}\cdot 1\,043\,649=\frac{17\,742\,033\pi}{2080}\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
Fazendo a conta numérica (valor em \mathrm{kgf\cdot cm}):
W\approx 26\,797{,}23\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
Mostrei esse valor em \mathrm{kgf\cdot cm} porque a pressão e os diâmetros estavam em \mathrm{kgf/cm^{2}} e \mathrm{cm}.

Passo 7

Conversão para unidades usuais: primeiro para \mathrm{kgf\cdot m}, depois para joules ( \mathrm{J}):
1\\ \mathrm{kgf\cdot cm}=0{,}01\\ \mathrm{kgf\cdot m},
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W\approx 26\,797{,}23\\ \mathrm{kgf\cdot cm}=267{,}9723\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
E como 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{N\cdot m}=1\\ \mathrm{J},
W(\mathrm{J})=267{,}9723\cdot 9{,}80665\approx 2\,627{,}91\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (dados têm poucas cifras significativas), podemos apresentar o resultado como W\approx 2{,}63\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Recapitulando de forma prática (como na prova): escreva V=(\pi/6)D^{3}, compute \mathrm{d}V=(\pi/2)D^{2}\mathrm{d}D, use p=kD com k=p_1/D_1, substitua em W=\int p\,\mathrm{d}V e integre. As contas numéricas acima mostram passo a passo como chegar ao valor final.

Resposta

W\approx 2{,}627{,}9\\ \mathrm{J}

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