Calcular: a) a massa; b) o peso; c) o volume especifico e d) o peso especifico da água contida em uma esfera de 50 ft de diâmetro, sabendo-se que a massa especifica da água é 62,4 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3} e a aceleraçāo da gravidade é 32,2 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}. Respostas no sistema internacional. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a água contida numa esfera de diâmetro 50\\ \text{ft}, sabendo-se que a massa específica da água é 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^{3}} e que a aceleração da gravidade é 32{,}2\\ \mathrm{ft/s^{2}}. As perguntas são:
  • (a) a massa da água (em unidades SI);
  • (b) o peso (força) da água (em unidades SI);
  • (c) o volume específico da água (em unidades SI, isto é, \mathrm{m^{3}/kg});
  • (d) o peso específico da água (em unidades SI, isto é, \mathrm{N/m^{3}}).
Informações relevantes dadas:
  • Diâmetro da esfera: D = 50\\ \mathrm{ft}. Logo o raio é r = 25\\ \mathrm{ft}.
  • Massa específica (densidade de massa) da água: \rho_{\text{imperial}} = 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^{3}}.
  • Gravidade no sistema imperial fornecida: g_{\text{imperial}} = 32{,}2\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • As respostas devem ser dadas no Sistema Internacional (SI). Vou precisar converter unidades de pés e libras para metros, quilogramas e newtons.

Passo 2

Converter a massa específica dada para SI. Primeiro lembro as constantes de conversão:
  • 1\\ \mathrm{lb} = 0{,}45359237\\ \mathrm{kg}.
  • 1\\ \mathrm{ft} = 0{,}3048\\ \mathrm{m}.
  • Portanto 1\\ \mathrm{ft^{3}} = (0{,}3048)^{3}\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}028316846592\\ \mathrm{m^{3}}.
    Uma forma prática é usar o fator conhecido
1\\ \mathrm{lb/ft^{3}} = 16{,}018463374\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Assim a densidade em SI é
\rho = 62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^{3}}\times 16{,}018463374\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^{3}\cdot (lb/ft^{3})}} = 999{,}552\\ \mathrm{kg/m^{3}}\quad(\text{aprox.}).
Comentário didático rápido: a densidade da água deve ficar perto de 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}; esse cálculo confirma isso (pequena diferença por arredondamentos de unidade).

Passo 3

Calcular o volume da esfera e converter para SI. Fórmula do volume de uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde r é o raio em metros. Convertendo o raio:
r = 25\\ \mathrm{ft}\times 0{,}3048\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{ft}}=7{,}62\\ \mathrm{m}.
Calculo do volume:
r^{3}=7{,}62^{3}=442{,}450728\\ \mathrm{m^{3}},
V=\frac{4}{3}\pi\,(442{,}450728)=4{,}188790205\cdot 442{,}450728 \approx 1853{,}333\\ \mathrm{m^{3}}.
Dica prática: também dava para calcular em \mathrm{ft^{3}} e depois converter, o resultado é o mesmo.

Passo 4

Calcular a massa (item a). A massa é densidade vezes volume:
m=\rho V.
Substituindo os valores em SI:
m = 999{,}552\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 1853{,}333\\ \mathrm{m^{3}} \approx 1{,}8525027\times 10^{6}\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: a esfera enorme de 50\\ \text{ft} contém aproximadamente 1{,}85\times 10^{6}\\ \mathrm{kg} de água — número grande, normal para volumes dessa ordem.

Passo 5

Calcular o peso (força) da água (item b). No SI o peso (força peso) é
W = m g,
onde g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}}. O enunciado deu g_{\text{imperial}}=32{,}2\\ \mathrm{ft/s^{2}}. Converter para SI:
g = 32{,}2\\ \mathrm{ft/s^{2}}\times 0{,}3048\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{ft}} = 9{,}81456\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora o peso:
W = 1{,}8525027\times 10^{6}\\ \mathrm{kg}\times 9{,}81456\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 1{,}8181540\times 10^{7}\\ \mathrm{N}.
Checagem rápida: como g\approx 9{,}81, W é aproximadamente m vezes 9{,}81.

Passo 6

Calcular o volume específico (item c). O volume específico v é o volume por unidade de massa, ou recíproco da densidade:
v=\frac{1}{\rho}.
Usando \rho = 999{,}552\\ \mathrm{kg/m^{3}},
v=\frac{1}{999{,}552}\\ \mathrm{m^{3}/kg} \approx 1{,}00045\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Interpretação: cada quilograma de água ocupa cerca de 0{,}00100\\ \mathrm{m^{3}}, que é 1{,}0\\ \mathrm{L} — consistente com a ideia de que 1\\ \mathrm{kg} de água é aproximadamente 1\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Calcular o peso específico (item d). O peso específico \gamma é o peso por unidade de volume; em SI:
\gamma=\rho g.
Usando os valores em SI:
\gamma = 999{,}552\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9{,}81456\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 9{,}810166\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Checagem alternativa: \gamma = W/V. Se dividir W por V obtém-se o mesmo valor numérico (pequenas diferenças apenas por arredondamento).

Passo 8

Resumo final dos valores com unidades SI e notação prática, arredondando com boa precisão (4 algarismos significativos onde faz sentido):

Resposta

(a) m \approx 1{,}8525\times 10^{6}\\ \mathrm{kg}
(b) W \approx 1{,}8182\times 10^{7}\\ \mathrm{N}
(c) v \approx 1{,}00045\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/kg}
(d) \gamma \approx 9{,}8102\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m^{3}}

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